首先，我们可以通过乘法交换律将式子变形：
$$
333\times 334+222\times 999=333\times 334+222\times (1000-1)
$$
然后，我们可以利用分配律展开后面的项：
$$
333\times 334+222\times (1000-1)=333\times 334+222\times 1000-222\times 1
$$
接下来，我们可以继续利用乘法的结合律，将后面的两项相加：
$$
333\times 334+222\times 1000-222\times 1=333\times 334+(222\times 1000-222\times 1)
$$
然后，我们可以利用乘法的因数分解，将后面的括号里的项化简：
$$
222\times 1000-222\times 1=222\times (1000-1)=222\times 999
$$
最后，将化简后的项代入原式中，得到：
$$
333\times 334+222\times 999=333\times 334+222\times 1000-222\times 1=333\times 334+222\times 999
$$
因此，最终结果为$333\times 334+222\times 999=333\times 334+222\times 1000-222\times 1=333\times 334+222\times 999=334\,722$.