上界的定义：偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。
上界是一个与偏序集有关的特殊元素。若数集S为实数集R的子集有上界，则显然它有无穷多个上界，而其中最小的一个上界常常具有重要的作用，称它为数集S的上确界。
考虑一个实数集合M。如果有一个实数s，使得M中任何数都不超过s，那么就称s是M的一个上界。
用数学符号表示为：对∀x∈M，都有x≤s，则称s是M的上界（upper bound）。
确界原理：若R的子集M有上界，则必有上确界；若集合M有下界，则必有下确界。
上确界定义：设S是R中的一个数集，若数η∈R满足
1、对∀x∈S，有η≥x，即η是S的上界。
2、对∀a<η，存在x0∈S，使得x0>a，即η是S的最小上界（least upper bound），则称η为数集S的上确界。
下确界定义：设S是R的一个数集，若数ξ∈R满足：
1、对∀x∈S，有ξ≤x，即ξ是S的下界；
2、对∀β>ξ，∃x0∈S，使得x0<β，即ξ是S的最大下界（greatest lower bound），则称ξ为数集的S的下确界。
由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界，非空有下界数集必有下确界同理。