上界的定义
夜风来兮
2021-10-28 14:53:28
上界的定义:偏序集中大于或等于它的子集中一切元素的元素。
上界是一个与偏序集有关的特殊元素。若数集S为实数集R的子集有上界,则显然它有无穷多个上界,而其中最小的一个上界常常具有重要的作用,称它为数集S的上确界。
考虑一个实数集合M。如果有一个实数s,使得M中任何数都不超过s,那么就称s是M的一个上界。
用数学符号表示为:对∀x∈M,都有x≤s,则称s是M的上界(upper bound)。
确界原理:若R的子集M有上界,则必有上确界;若集合M有下界,则必有下确界。
上确界定义:设S是R中的一个数集,若数η∈R满足
1、对∀x∈S,有η≥x,即η是S的上界。
2、对∀a<η,存在x0∈S,使得x0>a,即η是S的最小上界(least upper bound),则称η为数集S的上确界。
下确界定义:设S是R的一个数集,若数ξ∈R满足:
1、对∀x∈S,有ξ≤x,即ξ是S的下界;
2、对∀β>ξ,∃x0∈S,使得x0<β,即ξ是S的最大下界(greatest lower bound),则称ξ为数集的S的下确界。
由戴德金定理证明非空有上界数集必有上确界,非空有下界数集必有下确界同理。
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2021-10-28 14:53:28