高考数学一轮复习（例题精析）；14.4 垂直关系

2011高考数学一轮复习（例题精析）；14.4垂直关系本文简介：2011高考数学一轮复习（例题解析）：14.4垂直关系A组1．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．①若b?α，c∥α，则b∥c②若b?α，b∥c，则c∥α③若c∥α，α⊥β，则c⊥β④若c∥α，c⊥β，则α⊥β解析：①中，b，c

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2011高考数学一轮复习（例题解析）：14.4垂直关系

A组

1．(2010年宁波十校联考)设b、c表示两条直线，α，β表示两个平面，则下列命题是真命题的是________．

①若b?α，c∥α，则b∥c

②若b?α，b∥c，则c∥α

③若c∥α，α⊥β，则c⊥β

④若c∥α，c⊥β，则α⊥β

解析：①中，b，c亦可能异面；②中，也可能是c?α；③中，c与β的关系还可能是斜交、平行或c?β；④中，由面面垂直的判定定理可知正确．

答案：④

2．(2010年青岛质检)已知直线l⊥平面α，直线m?平面β，下面有三个命题：

①α∥β?l⊥m；②α⊥β?l∥m；③l∥m?α⊥β.则真命题的个数为________．

解析：对于①，由直线l⊥平面α，α∥β，得l⊥β，又直线m?平面β，故l⊥m，故①正确；对于②，由条件不一定得到l∥m，还有l与m垂直和异面的情况，故②错误；对于③，显然正确．故正确命题的个数为2.答案：2个

3．(2009年高考山东卷改编)已知α、β表示两个不同的平面，m为平面α内的一条直线，则“α⊥β”是“m⊥β”的________条件．

解析：由平面与平面垂直的判定定理知如果m为平面α内的一条直线，m⊥β，则α⊥β，反过来则不一定．所以“α⊥β”是“m⊥β”的必要不充分条件．

答案：必要不充分

4．(2009年高考浙江卷)如图，在长方形ABCD中，AB＝2，BC＝1，E为DC的中点，F为线段EC(端点除外)上一动点．现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC.在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足．设AK＝t，则t的取值范围是________．

解析：如图，过D作DG⊥AF，垂足为G，连结GK，∵平面ABD⊥平面ABC，又DK⊥AB，

∴DK⊥平面ABC，∴DK⊥AF.

∴AF⊥平面DKG，∴AF⊥GK.

容易得到，当F接近E点时，K接近AB的中点，当F接近C点时，K接近AB的四等分点．∴t的取值范围是(，1)．答案：(，1)

5．(原创题)已知a、b为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，且a⊥α，b⊥β，则下列命题中假命题的有________．

①若a∥b，则α∥β；②若α⊥β，则a⊥b；③若a、b相交，则α、β相交；④若α、β相交，则a，b相交．

解析：若α、β相交，则a、b既可以是相交直线，也可以是异面直线．

答案：④

6．(2009年高考山东卷)如图，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E，E1分别是棱AD，AA1的中点．

(1)设F是棱AB的中点，证明：直线EE1∥平面FCC1；

(2)证明：平面D1AC⊥平面BB1C1C.

证明：(1)法一：取A1B1的中点为F1，连结FF1，C1F1.

由于FF1∥BB1∥CC1，

所以F1∈平面FCC1.

因此平面FCC1即为平面C1CFF1.

连结A1D，F1C，

由于A1F1綊D1C1綊CD，

所以四边形A1DCF1为平行四边形，

因此A1D∥F1C.又EE1∥A1D，

得EE1∥F1C.

而EE1?平面FCC1，F1C?平面FCC1，

故EE1∥平面FCC1.

法二：因为F为AB的中点，

CD＝2，AB＝4，AB∥CD，

所以CD綊AF，

因此四边形AFCD为平行四边形，

所以AD∥FC.

又CC1∥DD1，FC∩CC1＝C，FC?平面FCC1，CC1?平面FCC1，AD∩DD1＝D，AD?平面ADD1A1，DD1?平面ADD1A1.

所以平面ADD1A1∥平面FCC1.

又EE1?平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.

(2)连结AC，在△FBC中，FC＝BC＝FB，

又F为AB的中点，所以AF＝FC＝FB.

因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC.

又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C，

所以AC⊥平面BB1C1C.

而AC?平面D1AC，

故平面D1AC⊥平面BB1C1C.

B组

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则能得出a⊥b的是____．

①a⊥α，b∥β，α⊥β

②a⊥α，b⊥β，α∥β

③a?α，b⊥β，α∥β

④a?α，b∥β，α⊥β

解析：由α∥β，b⊥β

?b⊥α，又a?α，故a⊥b.答案：③

2．设α，β为不重合的平面，m，n为不重合的直线，则下列命题正确的是________．

①若m?α，n?β，m∥n，则α∥β

②若n⊥α，n⊥β，m⊥β，则m⊥α

③若m∥α，n∥β，m⊥n，则α⊥β

④若α⊥β，α∩β＝n，m⊥n，则m⊥α

解析：由n⊥α，n⊥β可得α∥β，又因m⊥β，所以m⊥α.答案：②

3．设m，n是两条不同的直线，

α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是．

①m⊥α，n?β，m⊥n?α⊥β

②α∥β，m⊥α，n∥β

?m⊥n

③α⊥β，m⊥α，n∥β

?m⊥n

④α⊥β，α∩β＝m，n⊥m?n⊥β

解析：①错，不符合面面垂直的判断定理的条件；②由空间想象易知命题正确；③错，两直线可平行；④错，由面面垂直的性质定理可知只有当直线n在平面α内时命题才成立．答案：②

4．已知两条不同的直线m，n，两个不同的平面α，β，则下列命题中正确的是_．

①若m⊥α，n⊥β，α⊥β，则m⊥n

②若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

③若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n

④若m∥α，n⊥β，α⊥β，则m∥n

解析：易知①正确．而②中α⊥β且m⊥α?m∥β或m∈β，又n∥β，容易知道m，n的位置关系不定，因此②错误．而③中分别平行于两平行平面的直线的位置关系不定，因此③错误．而④中因为②不对，此项也不对．综上可知①正确．答案：①

5．设a，b，c表示三条直线，α，β表示两个平面，则下列命题的逆命题不成立的是________．

①c⊥α，若c⊥β，则α∥β

②b?β，c是a在β内的射影，若b⊥c，则a⊥b

③b?β，若b⊥α，则β⊥α

④b?α，c?α，若c∥α，则b∥c

解析：当b?β，若β⊥α，则未必有b⊥α.答案：③

6．已知二面角α－l－β的大小为30°，m、n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β，则m、n所成的角为________．

解析：∵m⊥α，n⊥β，

∴m、n所成的夹角与二面角α－l－β所成的角相等或互补．

∵二面角α－l－β为30°，

∴异面直线m、n所成的角为30°.答案：30°

7．如图所示，在斜三棱柱ABC－A1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，则C1在底面ABC上的射影H必在直线______上．

解析：由AC⊥AB，AC⊥BC1，AC⊥平面ABC1，AC?平面ABC，∴平面ABC1⊥平面ABC，C1在平面ABC上的射影H必在两平面的交线AB上．答案：AB

8．(2010年江苏昆山模拟)在矩形ABCD中，AB＝3，AD＝4，P在AD上运动，设∠ABP＝θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为________．

解析：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP.

∴在Rt△ABH中，AH＝3sinθ，BH＝3cosθ.

在△BHC中，CH2＝(3cosθ)2＋42－2×4×3cosθ×cos(90°－θ)，

∴在Rt△ACH中，

AC2＝25－12sin2θ，

∴θ＝45°时，AC长最小．答案：45°

9．在正四棱锥P－ABCD中，PA＝AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有________条．

解析：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a.

由PM⊥BC，

∴PM＝＝a，

连结PG并延长与AD相交于N点，

则PN＝a，MN＝AB＝a，

∴PM2＋PN2＝MN2，

∴PM⊥PN，又PM⊥AD，

∴PM⊥面PAD，

∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．答案：无数

10．如图，在三棱锥S－ABC中，OA＝OB，O为BC中点，SO⊥平面ABC，E为SC中点，F为AB中点．

(1)求证：OE∥平面SAB；

(2)求证：平面SOF⊥平面SAB.

证明：(1)取AC的中点G，连结OG，EG，

∵OG∥AB，EG∥AS，EG∩OG＝G，SA∩AB＝A，

∴平面EGO∥平面SAB，OE?平面OEG

∴OE∥平面SAB

(2)∵SO⊥平面ABC，

∴SO⊥OB，SO⊥OA，

又∵OA＝OB，SA2＝SO2＋OA2，SB2＝SO2＋OB2，

∴SA＝SB，又F为AB中点，

∴SF⊥AB，∵SO⊥AB，

∵SF∩SO＝S，∴AB⊥平面SOF，

∵AB?平面SAB，∴平面SOF⊥平面SAB.

11．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝2AB＝2BC，E，F，E1分别是棱AA1，BB1，A1B1的中点．

(1)求证：CE∥平面C1E1F；

(2)求证：平面C1E1F⊥平面CEF.

证明：(1)取CC1的中点G，连结B1G交C1F于点F1，连结E1F1，A1G，FG，

∵F是BB1的中点，BCC1B1是矩形，

∵四边形FGC1B1也是矩形，

∴FC1与B1G相互平分，即F1是B1G的中点．

又E1是A1B1的中点，∴A1G∥E1F1.

又在长方体中，AA1綊CC1，E，G分别为AA1，CC1的中点，

∴A1E綊CG，∴四边形A1ECG是平行四边形，

∴A1G∥CE，∴E1F1∥CE.

∵CE?平面C1E1F，E1F1?平面C1E1F，

∴CE∥平面C1E1F.

(2)∵长方形BCC1B1中，BB1＝2BC，F是BB1的中点，

∴△BCF、△B1C1F都是等腰直角三角形，

∴∠BFC＝∠B1FC1＝45°，

∴∠CFC1＝180°－45°－45°＝90°，

∴C1F⊥CF.

∵E，F分别是矩形ABB1A1的边AA1，BB1的中点，

∴EF∥AB.

又AB⊥平面BCC1B1，又C1F?平面BCC1B1，

∴AB⊥C1F，∴EF⊥C1F.

又CF∩EF＝F，∴C1F⊥平面CEF.

∵C1F?平面C1E1F，∴平面C1E1F⊥平面CEF.

12．(2010年江苏淮安模拟)如图，已知空间四边形ABCD中，BC＝AC，AD＝BD，E是AB的中点．

求证：(1)AB⊥平面CDE；

(2)平面CDE⊥平面ABC；

(3)若G为△ADC的重心，试在线段AE上确定一点F，使得GF∥平面CDE.

证明：(1)?CE⊥AB，同理，

?DE⊥AB，

又∵CE∩DE＝E，∴AB⊥平面CDE.

(2)由(1)知AB⊥平面CDE，

又∵AB?平面ABC，

∴平面CDE⊥平面ABC.

(3)连结AG并延长交CD于H，连结EH，则＝，

在AE上取点F使得＝，

则GF∥EH，