届高考数学二轮复习专题二导数第3讲函数的极值与最值课时训练
2019届高考数学二轮复习专题二导数第3讲函数的极值与最值课时训练本文简介:第3讲函数的极值与最值1.当函数y=x·2x取极小值时,x=________.答案:-解析:令y′=2x+x·2xln2=0,所以x=-.经验证,当x=-时,函数y=x·2x取极小值.2.(2018·南京外国语)函数f(x)=+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.答案:-解析:f
2019届高考数学二轮复习专题二导数第3讲函数的极值与最值课时训练本文内容:
第3讲
函数的极值与最值
1.
当函数y=x·2x取极小值时,x=________.
答案:-
解析:令y′=2x+x·2xln
2=0,所以x=-.经验证,当x=-时,函数y=x·2x取极小值.
2.
(2018·南京外国语)函数f(x)=+x2-3x-4在[0,2]上的最小值是________.
答案:-
解析:f′(x)=x2+2x-3,由f′(x)=0,x∈[0,2],得x=1.比较f(0)=-4,f(1)=-,f(2)=-,可知最小值为-.
3.
函数y=x3-3x+9的极小值是________.
答案:7
解析:y′=3x2-3,令y′>0,得x1;令y′0.当00,
即当x=时,f(x)取得极大值f()=;
当x=3时,f(x)取得极小值f(3)=-9.
12.
(2018·南京学情调研)已知函数f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,a∈R.
(1)
曲线y=f(x)在x=0处的切线的斜率为3,求a的值;
(2)
若对于任意x∈(0,+∞),f(x)+f(-x)≥12ln
x恒成立,求a的取值范围.
解:(1)
因为f(x)=2x3-3(a+1)x2+6ax,所以f
′(x)=6x2-6(a+1)x+6a,所以曲线y=f(x)在x=0处的切线斜率k=f
′(0)=6a,
所以6a=3,所以a=.
(2)
f(x)+f(-x)=-6(a+1)x2≥12ln
x对任意x∈(0,+∞)恒成立,
所以-(a+1)≥.
令g(x)=,x>0,则g′(x)=.
令g′(x)=0,解得x=.
当x∈(0,)时,g′(x)>0,所以g(x)在(0,)上单调递增;
当x∈(,+∞)时,g′(x)<0,所以g(x)在(,+∞)上单调递减.
所以g(x)max=g()=,
所以-(a+1)≥,即a≤-1-,
所以a的取值范围是.
13.
设函数f(x)=ex-ax-1.
(1)
若函数f(x)在R上单调递增,求a的取值范围;
(2)
当a>0时,设函数f(x)的最小值为g(a),求证:g(a)≤0.
(1)
解:由题意知f′(x)=ex-a≥0对x∈R恒成立,且ex>0,故a的取值范围是a≤0.
(2)
证明:当a>0时,由f′(x)=ex-a,可得函数f(x)在(-∞,ln
a)上单调递减,在(ln
a,+∞)上单调递增,
故函数f(x)的最小值为g(a)=f(ln
a)=eln
a-aln
a-1=a-aln
a-1,则g′(a)=-ln
a,
故当a∈(0,1)时,g′(a)>0,当a∈(1,+∞)时,g′(a)<0.
从而可知,g(a)在(0,1)上单调递增,在(1,+∞)上单调递减,且g(1)=0,
故g(a)≤g(1),即g(a)≤0.
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