高考考前讲义函数、解析几何、数列(教师、学生)

2013高考考前讲义函数、解析几何、数列(教师、学生)本文简介：2013高考考前讲义专题一：函数一、选择题1.1．函数在上是增函数，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．试题分析：函数导数时恒成立，即，设2．已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是()A．B．C．D．试题分析：因为，所以，又因为，函数在（1，4）上是减函数，所以在（1，4）恒成立，所以

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2013高考考前讲义

专题一：函数

一、选择题

1.

1．函数在上是增函数，则实数的取值范围是（

）

A．

B．

C．

D．

试题分析：函数导数

时恒成立，即

，设

2．已知函数在（1，4）上是减函数，则实数的取值范围是(

)

A．

B．

C．

D．

试题分析：因为，所以，又因为，函数在（1，4）上是减函数，所以在（1，4）恒成立，所以恒成立，而在（1,4）是减函数，所以，，故选D。

3.对一切实数x，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（

）

(A)

(B)

(C)

(D)

【答案】B

试题分析：根据题意，由于对一切实数x，不等式恒成立，那么可知

恒成立，那么可知

，当|x|=1,时成立，

当x=0时，则a可以取一切实数，

因此可知a的范围是取交集得到为，故选B.

4．设是R上的偶函数，对任意，都有且当时，内关于x的方程恰有3个不同的实数根，则a的取值范围是（

）

A．（1，2）B．C．

D．

【答案】D

【解析】∵对于任意的x∈R，都有，

∴函数f（x）是一个周期函数，且T=4

又∵当x∈时，f（x）=

-1，且函数f（x）是定义在R上的偶函数，

故函数在区间上的图象如下图所示：

若在区间内关于x的方程恰有3个不同的实数解

则解得：＜a＜2

故选D

二、填空题

1.若函数的零点个数为，则___4___

2.是奇函数，则为___2_______。

3函数的单调递减区间为______

三、解答题

1.已知是函数的一个极值点。

（Ⅰ）求；

（Ⅱ）求函数的单调区间；

（Ⅲ）若直线与函数的图象有3个交点，求的取值范围。

【解析】

试题分析：（Ⅰ）因为

，是函数的一个极值点，所以，

因此.

---3分

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

，

当时，

当时，

所以的单调增区间是，

---6分

的单调减区间是.

---8分

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，在内单调增加，在内单调减少，在上单调增加，

且当或时，

所以的极大值为，极小值为.

---10分

因此

所以在的三个单调区间,因为直线有的图象各有一个交点，当且仅当

2.设函数．

（1）求函数的单调递增区间；

（2）若关于的方程在区间内恰有两个相异的实根，求实数的取值范围．

解：（Ⅰ）函数的定义域为，………………………1分

∵，………………………2分

∵，则使的的取值范围为，

故函数的单调递增区间为．

…………………………4分

（Ⅱ）方法1：∵，

∴．…………………6分

令，

∵，且，

由．

∴在区间内单调递减，在区间内单调递增，……………………9分

故在区间内恰有两个相异实根……11分

即解得：．

综上所述，的取值范围是．………………13分

3.已知函数，其中．

（Ⅰ）若，求曲线在点处的切线方程；

（Ⅱ）若在区间上，恒成立，求的取值范围．

【解】（Ⅰ）当时，，．，．

所以曲线在点处的切线方程为，即．

（Ⅱ）．

令，解得或．针对区间，需分两种情况讨论：

(1)

若,则．

当变化时，的变化情况如下表：

增

极大值

减

所以在区间上的最小值在区间的端点得到．因此在区间上，恒成立，等价于

即解得，又因为，所以．

(2)

若，则．

当变化时，的变化情况如下表：

增

极大值

减

极小值

增

所以在区间上的最小值在区间的端点或处得到．

因此在区间上，恒成立，等价于

即

解得或，又因为，所以．

综合(1),(2),的取值范围为.

4.设函数

（１）若存在使不等式能成立，求实数的最小值；

（２）关于的方程在上恰有两个相异实根，求实数的取值范围．

解：（１）依题意得，…………２分

，…………３分

当时，故在区间上单调递增，

所以．故，即实数的最小值是．…………6分

（２）依题意得，在上恰有两个相异实根，

令，则，……８分

当时，当时，故在上是减函数，在上是增函数，故．

，，因为，所以只要，即可以使方程在上恰有两个相异实根．即

…………………………12分

5.若函数

（Ⅰ）求函数的单调区间

（Ⅱ）若对所有的成立，求实数a的取值范围.

解：（1）的定义域为…………12分

…………2分

①当…………3分

②时

…………4分

…………5分

综上：

单调递减区间为

的单调递增区间（0，+）

（2）

则

专题二：解析几何

1．“”是“直线和线垂直”的

A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

试题分析：∵直线和直线垂直，∴，解得m=0或-1，故“”是“直线和直线垂直”的充分而不必要条件

考点：本题考查了充要条件的判断及直线垂直的充要条件

点评：若直线l与l的方程分别为Ax+By+C=0和Ax+By+C=0,则

l⊥lAA+BB=0.

2．下列双曲线中，渐近线方程是的是

A．

B．

C．

D．

【答案】A

【解析】

试题分析：根据已知题意，由于渐近线方程是，则要分情况，当焦点在x轴上时，则满足，可知，而满足焦点位置的为选项A,B，分别验证，可知选项A中，成立,选项B中，不成立，故当焦点在y轴时，则有，C,D验证可知都不满足题意，故选A

3已知椭圆，过椭圆右焦点F的直线L交椭圆于A、B两点，交y轴于P点。设,则等于（

）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

试题分析：设出直线方程，代入椭圆方程，利用韦达定理，结合向量条件，即可得到结论．

由题意a=5，b=3，c=4，所以F点坐标为（4，0）

设直线l方程为：y=k（x-4），A点坐标为（x1，y1），B点坐标为（x2，y2），得P点坐标（0，-4k），

因为，所以（x1，y1+4k）=λ1（4-x1，-y1）

因为，所以（x2，y2+4k）=λ2（4-x2，-y2）．

得到,直线方程代入椭圆中，得到

故选B

4.若直线与曲线有公共点，则的取值范围是（

）

A．[,3]

B．[,]

C．[,3]D．[-1,]

【答案】A

【解析】本题要借助图形来求参数b的取值范围，曲线方程可化简为（1≤y≤3），即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，画出图形即可得出参数b的范围．

曲线方程可化简为（1≤y≤3），

即表示圆心为（2，3）半径为2的半圆，如图

依据数形结合，当直线y=x+b与此半圆相切时须满足圆心（2，3）到直线y=x-b距离等于2，即

=2解得b=1+2或b=1-2，

因为是下半圆故可知b=1+2（舍），故b=1-2

当直线过（0，3）时，解得b=3，故1-2≤b≤3，故选A

5．双曲线的离心率为，则它的渐近线方程是（

）

A．

B．

C．

D．

【答案】A【解析】分析：根据题意，得双曲线的渐近线方程为y=±x．再由双曲线离心率为，得到c=a，由定义知b=

=a，代入即得此双曲线的渐近线方程．

解答：解：∵双曲线C方程为：（a＞0，b＞0）∴双曲线的渐近线方程为y=±x

又∵双曲线离心率为，∴c=a，可得b==a

因此，双曲线的渐近线方程为y=±x故答案为A

6.设F1，F2分别是双曲线的左、右焦点。若双曲线上存在点A，使∠F1AF2=90o，且|AF1|=3|AF2|，则双曲线离心率为（

B

）

(A)

(B)(C)

(D)

二、填空题

1．已知椭圆上的一点M到焦点F1的距离为2，N是MF1的中点，O为原点，则等于

4

2.已知椭圆和双曲线，其中为椭圆的焦点，且P是椭圆与双曲线的一个交点，则＝____________.

3.在极坐标系中已知一个圆的方程为那么过圆心且与极轴垂直的直线的极坐标方程为______________

三．解答题

1.设椭圆中心在坐标原点，是它的两个顶点，直线与AB相交于点D，与椭圆相交于E、F两点．

（Ⅰ）若，求的值；

（Ⅱ）求四边形面积的最大值．

（Ⅰ）解：依题设得椭圆的方程为，

直线的方程分别为，．2分

如图，设，其中，

D

F

B

y

x

A

O

E

且满足方程，

故．①

由知，得；

由在上知，得．所以，化简得，

解得或．

（Ⅱ）解法一：根据点到直线的距离公式和①式知，点到的距离分别为，．又，所以四边形的面积为

，当，即当时，上式取等号．所以的最大值为．1解法二：由题设，，．

设，，由①得，，

故四边形的面积为

，

当时，上式取等号．所以的最大值为．

2.已知直线过椭圆E:的右焦点，且与E相交于两点.

P

Q

o

x

y

F

(1)设（为原点），求点的轨迹方程；

(2)若直线的倾斜角为60°，求的值.

解：(1)设

由，易得右焦点

----------（2分）

当直线轴时，直线的方程是：，根据对称性可知

当直线的斜率存在时，可设直线的方程为

代入E有;

----（5分）

于是

;

消去参数得而也适上式，故R的轨迹方程是-（8分）

(2)设椭圆另一个焦点为，

在中设，则

由余弦定理得

同理，在，设，则

也由余弦定理得

于是

---------（12分）

3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F且斜率为1的直线交椭圆C于A，B两点，N为弦AB的中点。

（1）求直线ON（O为坐标原点）的斜率KON

；

（2）对于椭圆C上任意一点M

，试证：总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

解：(1）设椭圆的焦距为2c,因为，所以有，故有。从而椭圆C的方程可化为：

①

………2分

易知右焦点F的坐标为（），

据题意有AB所在的直线方程为：

②

………3分

由①，②有：

③

设，弦AB的中点，由③及韦达定理有：

所以，即为所求。

………5分

(2）显然与可作为平面向量的一组基底，由平面向量基本定理，对于这一平面内的向量，有且只有一对实数，使得等式成立。设，由1）中各点的坐标有：

，所以

。

………7分

又点在椭圆C上，所以有整理为。

④

由③有：。所以

⑤

又A﹑B在椭圆上，故有

⑥

将⑤，⑥代入④可得：。

………11分

对于椭圆上的每一个点，总存在一对实数，使等式成立，而

在直角坐标系中，取点P（），设以x轴正半轴为始边，以射线OP为终边的角为，显然

。

也就是：对于椭圆C上任意一点M

，总存在角（∈R）使等式：＝cos＋sin成立。

专题3：数列部分

一、选择题

1.已知等差数列的前项和为，且满足，则数列的公差是（

）

A．B．1C．2D．3

2.已知等比数列满足，且，则当时，

A.

B.

C.

D.

【解析】由得，，则，

，选C.

【答案】C

二、填空题

1.设数列的前项和为，关于数列有下列四个命题：

①若既是等差数列又是等比数列，则；

②若，则是等差数列；

③若，则是等比数列；

④若是等比数列，则也成等比数列；

⑤若是等差数列，则是等比数列

其中正确的命题是

（填上正确的序号）。

2.数列{an}中：，则S2002

3.数列{}的前n项和为，=1，

(

n∈),则{}的通项公式为

。

解：由=1，=2，当n≥2时==得=3，因此{}是首项为=2，q=3的等比数列。故=

(n≥2),而=1不满足该式

所以=。

4.设等差数列的前项和为，若,则=

。

解:

是等差数列,由,得

.

三、解答题

1.已知数列{an}中，a1>0,且an+1=，

(Ⅰ)试求a1的值，使得数列{an}是一个常数数列；

(Ⅱ)试求a1的取值范围,使得an+1>an对任何自然数n都成立；

(Ⅲ)若a1

=

2，设bn

=

|

an+1－an|

(n

=

1，2，3，…)，并以Sn表示数列{bn}的前n项的和，求证：Sn0，可得an>0并解出：an=，即a1

=

an

=

……………………4’

(Ⅱ)研究an+1－an=－=

(n≥2)

注意到>0

因此，可以得出：an+1－an，an－an－1，an－1－an－2，…，a2－a1有相同的符号……………7’

要使an+1>an对任意自然数都成立,只须a2－a1>0即可.由>0，解得：0

因此当a1=2时，an+1－an<0

……………………………………………10’

∴

Sn=

b1+b2+…bn=|a2－a1|

+

|a3－a2|

+…+

|an+1－an|=a1－a2＋a2－a3＋…＋an－an+1

=a1－an+1=2－an+1

………………………………………………………13’

又：an+2=,故Sn<2－=………………………………………

2.数列

(Ⅰ)求并求数列的通项公式；

(Ⅱ)设证明：当

解

(Ⅰ)因为

一般地，当时，

＝，即

所以数列是首项为1、公差为1的等差数列，因此

当时，

所以数列是首项为2、公比为2的等比数列，因此

故数列的通项公式为

(Ⅱ)由(Ⅰ)知，

①

②

①-②得，

所以

要证明当时，成立，只需证明当时，成立.

证法一

(1)当n=6时，成立.

(2)假设当时不等式成立，即

则当n=k+1时，

由(1)、(2)所述，当n≥6时，，即当n≥6时，

证法二

令，则

所以当时，.因此当时，

于是当时，

综上所述，当时，

3．已知函数f(x)＝－x3＋ax在(0，1)上是增函数．(1)

求实数a的取值集合A；

(2)

当a取A中最小值时，定义数列{an}满足：2an＋1＝f(an)，且a1＝b∈(0，1)(b为常数)，试比较an＋1与an的大小；

(3)

在(2)的条件下，问是否存在正实数c．使0<＜2对一切n∈N＊恒成立？

(1)f

(x)＝3x2＋a＞0，对x∈(0，1)恒成立，求出a≥3．………………4分

(2)当a＝3时，由题意：an＋1＝－a＋an，且a1＝b∈(0，1)

以下用数学归纳法证明：an∈(0，1)，对n∈N＊恒成立．

①当n＝1时，a1＝b∈(0，1)成立；………………………………………………6分

②假设n＝k时，ak∈(0，1)成立，那么当n＝k＋1时，

ak＋1＝ak3＋ak，由①知g(x)＝(－x3＋3x)

在(0，1)上单调递增，∴g(0)＜g(ak)＜g(1)

即0＜ak＋1＜1，

由①②知对一切n∈N＊都有an∈(0，1)

而an＋1－an＝－an3＋an－an＝an(1－an2)＞0

∴an＋1＞an…………………………………10分

(3)存在正实数c，使0＜＜2恒成立,令y＝＝1＋，在(c，＋∞)上是减数，

∴随着an增大，而小，

又{an}为递增数列，所以要使0＜＜2恒成立，

只须∴0＜c＜，即0＜c＜

………

14分

4.（1）若证明：

（2）数列

中，

（i）求数列的通项公式

（ii）求证：

解：（1）令

当时，在上递增

当时，在上递减

（2）（i）

（ii）由（1）令则

5.已知为锐角，且，

函数，数列{an}的首项.

⑴

求函数的表达式；

⑵

求证：；

⑶

求证：

解：⑴

又∵为锐角

∴

∴

⑵

∵

∴都大于0

∴

∴

⑶

∴

∴

∵,,又∵

∴

∴

∴

6.已知数列满足

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）若数列满足，证明：是等差数列；

（Ⅲ）证明：

解：（1），，故数列是首项为2，公比为2的等比数列。，（2），，①

②

②—①得，即③……………………8分

④

④—③得，即……………………9分

所以数列是等差数列

（3）设，则