版高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文新人教版

2018版高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文新人教版本文简介：2018版高考数学大一轮复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文新人教版1．向量的夹角已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．2．平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cosθ叫做a与b的数量积，

2018版高考数学复习第五章平面向量5.3平面向量的数量积教师用书文新人教版本文内容：

2018版高考数学大一轮复习

第五章

平面向量

5.3

平面向量的数量积教师用书

文

新人教版

1．向量的夹角

已知两个非零向量a和b，作＝a，＝b，则∠AOB就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]．

2．平面向量的数量积

定义

设两个非零向量a，b的夹角为θ，则数量|a||b|·cos

θ叫做a与b的数量积，记作a·b

投影

|a|cos

θ叫做向量a在b方向上的投影，

|b|cos

θ叫做向量b在a方向上的投影

几何意义

数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos

θ的乘积

3.平面向量数量积的性质

设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角．则

(1)e·a＝a·e＝|a|cos

θ.

(2)a⊥b?a·b＝0.

(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；

当a与b反向时，a·b＝－|a||b|.

特别地，a·a＝|a|2或|a|＝.

(4)cos

θ＝.

(5)|a·b|≤|a||b|.

4．平面向量数量积满足的运算律

(1)a·b＝b·a；

(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；

(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.

5．平面向量数量积有关性质的坐标表示

设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到

(1)若a＝(x，y)，则|a|2＝x2＋y2或|a|＝.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离AB＝||＝.

(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b?x1x2＋y1y2＝0.

(4)若a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角，则cos

θ＝＝.

【知识拓展】

1．两个向量a，b的夹角为锐角?a·b>0且a，b不共线；

两个向量a，b的夹角为钝角?a·b4，∴0<<1，

∴当sin

θ＝时，tsin

θ取得最大值.

由＝4，得k＝8，

此时θ＝，＝(4,8)，

∴·＝(8,0)·(4,8)＝32.