版高考数学复习不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理

2018版高考数学复习不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理本文简介：第七章不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表

2018版高考数学复习不等式7.3二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题理本文内容：

第七章

不等式

7.3

二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

理

1．二元一次不等式表示的平面区域

(1)一般地，二元一次不等式Ax＋By＋C>0在平面直角坐标系中表示直线Ax＋By＋C＝0某一侧所有点组成的平面区域．我们把直线画成虚线以表示区域不包括边界直线．当我们在坐标系中画不等式Ax＋By＋C≥0所表示的平面区域时，此区域应包括边界直线，则把边界直线画成实线．

(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C，所得的符号都相同，所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点，由Ax0＋By0＋C的符号即可判断Ax＋By＋C>0表示的直线是Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．

2．线性规划相关概念

名称

意义

约束条件

由变量x，y组成的一次不等式

线性约束条件

由x，y的一次不等式(或方程)组成的不等式组

目标函数

欲求最大值或最小值的函数

线性目标函数

关于x，y的一次解析式

可行解

满足线性约束条件的解

可行域

所有可行解组成的集合

最优解

使目标函数取得最大值或最小值的可行解

线性规划问题

在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题

3.重要结论

画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域：

(1)直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线；

(2)特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取(0,1)或(1,0)来验证．

【知识拓展】

1．利用“同号上，异号下”判断二元一次不等式表示的平面区域：

对于Ax＋By＋C>0或Ax＋By＋C0时，区域为直线Ax＋By＋C＝0的上方；

(2)当B(Ax＋By＋C)0表示的平面区域一定在直线Ax＋By＋C＝0的上方．(

×

)

(3)点(x1，y1)，(x2，y2)在直线Ax＋By＋C＝0同侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)>0，异侧的充要条件是(Ax1＋By1＋C)(Ax2＋By2＋C)0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a＝________.

答案

(1)5

(2)

解析

(1)显然，当m2，此时不等式组所表示的平面区域如图所示，

平面区域为一个三角形区域，

其顶点为A(1,1)，B(m－1,1)，C(，)．

由图可知，当直线y＝x－z经过点C时，z取得最小值，

最小值为－＝.

由题意，得＝－1，解得m＝5.

(2)作出不等式组表示的可行域，如图(阴影部分)．

易知直线z＝2x＋y过交点A时，z取最小值，

由得

∴zmin＝2－2a＝1，解得a＝.

思维升华

(1)先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值．

(2)当目标函数是非线性的函数时，常利用目标函数的几何意义来解题，常见代数式的几何意义：

①表示点(x，y)与原点(0,0)的距离，表示点(x，y)与点(a，b)的距离；

②

表示点(x，y)与原点(0,0)连线的斜率，表示点(x，y)与点(a，b)连线的斜率．

(3)当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件．

(1)变量x，y满足约束条件若z＝2x－y的最大值为2，则实数m等于(

)

A．－2

B．－1

C．1

D．2

(2)当实数x，y满足时，1≤ax＋y≤4恒成立，则实数a的取值范围是________．

答案

(1)C

(2)[1，]

解析

(1)对于选项A，当m＝－2时，可行域如图①，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故A不正确；

对于选项B，当m＝－1时，mx－y≤0等同于x＋y≥0，可行域如图②，直线y＝2x－z的截距可以无限小，z不存在最大值，不符合题意，故B不正确；

对于选项C，当m＝1时，可行域如图③，当直线y＝2x－z过点A(2,2)时截距最小，z最大为2，满足题意，故C正确；

对于选项D，当m＝2时，可行域如图④，直线y＝2x－z与直线OB平行，截距最小值为0，z最大为0，不符合题意，故D不正确．

(2)画可行域如图所示，设目标函数z＝ax＋y，即y＝－ax＋z，要使1≤z≤4恒成立，则a>0，数形结合知，满足即可，解得1≤a≤.所以a的取值范围是[1，]．

题型三

线性规划的实际应用问题

例6

某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时．若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元．

(1)试用每天生产的卫兵个数x与骑兵个数y表示每天的利润ω(元)；

(2)怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？

解

(1)依题意每天生产的伞兵个数为100－x－y，

所以利润ω＝5x＋6y＋3(100－x－y)＝2x＋3y＋300.

(2)约束条件为

整理得

目标函数为ω＝2x＋3y＋300，

作出可行域，如图所示，

作初始直线l0：2x＋3y＝0，平移l0，当l0经过点A时，ω有最大值，

由得

∴最优解为A(50,50)，此时ωmax＝550元．

故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，且最大利润为550元．

思维升华

解线性规划应用问题的一般步骤

(1)审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系．

(2)设元：设问题中起关键作用(或关联较多)

的量为未知量x，y，并列出相应的不等式组和目标函数．

(3)作图：准确作出可行域，平移找点(最优解)．

(4)求解：代入目标函数求解(最大值或最小值)．

(5)检验：根据结果，检验反馈．

某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台A型或B型电视机所得利润分别为6和4个单位，而生产一台A型和B型电视机所耗原料分别为2和3个单位，所需工时分别为4和2个单位，如果允许使用的原料为100个单位，工时为120个单位，且A型和B型电视机产量分别不低于5台和10台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？

解

设生产A型电视机x台，B型电视机y台，

则根据已知条件知线性约束条件为

即

线性目标函数为z＝6x＋4y.

根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示，

作直线l0：3x＋2y＝0，当直线l0平移至点A时，z取最大值，

解方程组得

所以生产两种类型电视机各20台时，所获利润最大．

8．含参数的线性规划问题

典例

(1)在直角坐标系xOy中，若不等式组表示一个三角形区域，则实数k的取值范围是________．

(2)已知x，y满足约束条件若z＝ax＋y的最大值为4，则a＝________.

错解展示

解析

(1)如图，直线y＝k(x－1)－1过点(1，－1)，作出直线y＝2x，当k2时，不等式组表示一个三角形区域．

(2)由不等式组表示的可行域，可知z＝ax＋y在点A(1,1)处取到最大值4，

∴a＋1＝4，∴a＝3.

答案

(1)(－∞，－1)∪(0,2)∪(2，＋∞)

(2)3

现场纠错

解析

(1)直线y＝k(x－1)－1过定点(1，－1)，当这条直线的斜率为负值时，该直线与y轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为(－∞，－1)，只有此时可构成三角形区域．

(2)作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示．

由得A(1,1)．

z＝ax＋y等价于y＝－ax＋z，

因为z的最大值为4，

即直线y＝－ax＋z的纵截距最大为4.

若z＝ax＋y在A(1,1)处取得最大值，

则纵截距必小于2，

故只有直线y＝－ax＋z过点(2,0)且－a0所表示的平面区域内，则m的取值范围是(

)

A．m≥1

B．m≤1

C．m1

答案

D

解析

由2m＋3－5>0，得m>1.

2．若函数y＝log2x的图象上存在点(x，y)，满足约束条件则实数m的最大值为(

)

A.

B．1

C.

D．2

答案

B

解析

如图，作出不等式组表示的可行域，当函数y＝log2x的图象过点(2,1)时，实数m有最大值1.

3．直线2x＋y－10＝0与不等式组表示的平面区域的公共点有(

)

A．0个

B．1个

C．2个

D．无数个

答案

B

解析

由不等式组画出可行域的平面区域如图(阴影部分)．

直线2x＋y－10＝0恰过点A(5,0)，且其斜率k＝－20)仅在点(3,0)处取得最大值，则a的取值范围是__________．

答案

解析

画出x、y满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数z＝ax＋y仅在点(3,0)处取得最大值，则直线y＝－ax＋z的斜率应小于直线x＋2y－3＝0的斜率，即－a.

12．(2016·宜春中学、新余一中联考)设x，y满足约束条件则的取值范围是________．

答案

[3,11]

解析

设z＝＝＝1＋2·，

设z′＝，则z′的几何意义为动点P(x，y)到定点D(－1，－1)的斜率．画出可行域如图阴影部分所示，则易得z′∈[kDA，kDB]，易得z′∈[1,5]，∴z＝1＋2·z′∈[3,11]．13.给定区域D：令点集T＝{(x0，y0)∈D|x0，y0∈Z，(x0，y0)是z＝x＋y在D上取得最大值或最小值的点}，则T中的点共确定________条不同的直线．

答案

6

解析

作出图形可知，△ABF所围成的区域即为区域D，其中A(0,1)是z在D上取得最小值的点，B，C，D，E，F是z在D上取得最大值的点，则T中的点共确定AB，AC，AD，AE，AF，BF共6条不同的直线．

14.

已知D是以点A(4,1)，B(－1，－6)，C(－3，2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)．如图所示．

(1)写出表示区域D的不等式组；

(2)设点B(－1，－6)，C(－3,2)在直线4x－3y－a＝0的异侧，求a的取值范围．

解

(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x－5y－23＝0，x＋7y－11＝0,4x＋y＋10＝0.

原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为

(2)根据题意有[4×(－1)－3×(－6)－a][4×(－3)－3×2－a]<0，

即(14－a)(－18－a)<0，

解得－18

15．某客运公司用A、B两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务，每辆车每天往返一次．A、B两种车辆的载客量分别为36人和60人，从甲地去乙地的营运成本分别为1

600元/辆和2

400元/辆，公司拟组建一个不超过21辆车的客运车队，并要求B型车不多于A型车7辆．若每天运送人数不少于900，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备A型车、B型车各多少辆？

解

设A型、B型车辆分别为x、y辆，相应营运成本为z元，则z＝1

600x＋2

400y.

由题意，得x，y满足约束条件

作出可行域如图阴影部分所示，可行域的三个顶点坐标分别为P(5，12)，Q(7,14)，R(15,6)．

由图可知，当直线z＝1

600x＋2

400y经过可行域的点P时，直线z＝1

600x＋2

400y在y轴上的截距最小，即z取得最小值．

故应配备A型车5辆、B型车12辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小．