高考数学深化复习+命题热点提分专题13空间中的平行与垂直文
2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题13空间中的平行与垂直文本文简介:专题13空间中的平行与垂直文1.已知直线a与平面α,β,α∥β,a?α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中()A.不一定存在与a平行的直线B.只有两条与a平行的直线C.存在无数条与a平行的直线D.存在唯一一条与a平行的直线【答案】:D【解析】:设直线a和点B所确定的平面为γ,则α∩γ=a,记β∩γ
2017年高考数学深化复习+命题热点提分专题13空间中的平行与垂直文本文内容:
专题13
空间中的平行与垂直
文
1.已知直线a与平面α,β,α∥β,a?α,点B∈β,则在β内过点B的所有直线中(
)
A.不一定存在与a平行的直线
B.只有两条与a平行的直线
C.存在无数条与a平行的直线
D.存在唯一一条与a平行的直线
【答案】:D
【解析】:设直线a和点B所确定的平面为γ,则α∩γ=a,记β∩γ=b,∵α∥β,∴a∥b,故存在唯一一条直线b与a平行.
2.设l,m,n表示不同的直线,α,β,γ表示不同的平面,给出下列四个命题:
①若m∥l,且m⊥α,则l⊥α;
②若m∥l,且m∥α,则l∥α;
③若α∩β=l,β∩γ=m,γ∩α=n,则l∥m∥n;
④若α∩β=m,β∩γ=l,γ∩α=n,且n∥β,则l∥m.
其中正确命题的个数是(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【答案】:B
3.如图所示,O为正方体ABCD
-A1B1C1D1的底面ABCD的中心,则下列直线中与B1O垂直的是(
)
A.A1D
B.AA1
C.A1D1
D.A1C1
【答案】:D
【解析】:由题意知,A1C1⊥平面DD1B1B,又OB1?面DD1B1B,所以A1C1⊥OB1,故选D.
4.设m、n为两条不同的直线,α、β为两个不同的平面,给出下列命题:
①若m⊥α,m⊥β,则α∥β;
②若m∥α,m∥β,则α∥β;
③若m∥α,n∥α,则m∥n;
④若m⊥α,n⊥α,则m∥n.
上述命题中,所有真命题的序号是(
)
A.①④
B.②③
C.①③
D.②④
【答案】:A
【解析】:由线面垂直的性质定理知①④正确;平行于同一条直线的两个平面可能相交,也可能平行,故②错;平行于同一平面的两条直线可能平行,也可能相交或异面,故③错.选A.
5.如图,在三棱锥P-ABC中,不能证明AP⊥BC的条件是(
)
A.AP⊥PB,AP⊥PC
B.AP⊥PB,BC⊥PB
C.平面BPC⊥平面APC,BC⊥PC
D.AP⊥平面PBC
【答案】:B
6.如图,L,M,N分别为正方体对应棱的中点,则平面LMN与平面PQR的位置关系是(
)
A.垂直
B.相交不垂直
C.平行
D.重合
【答案】:C
【解析】:如图,分别取另三条棱的中点A,B,C将平面LMN延展为平面正六边形AMBNCL,因为PQ∥AL,PR∥AM,且PQ与PR相交,AL与AM相交,所以平面PQR∥平面AMBNCL,即平面LMN∥平面PQR.
7.设α是空间中的一个平面,l,m,n是三条不同的直线,则下列命题中正确的是(
)
A.若m?α,n?α,l⊥m,l⊥n,则l⊥α
B.若m?α,n⊥α,l⊥n,则l∥m
C.若l∥m,m⊥α,n⊥α,则l∥n
D.若l⊥m,l⊥n,则n∥m
【答案】
C
8.以下命题中真命题的个数是(
)
①若直线l平行于平面α内的无数条直线,则直线l∥α;
②若直线a在平面α外,则a∥α;
③若直线a∥b,b?α,则a∥α;
④若直线a∥b,b?α,则a平行于平面α内的无数条直线.
A.1B.2
C.3
D.4
【答案】
A
【解析】
①中l可以在平面α内;②中直线a可以与平面
α相交,故错误;③a可以在平面α内;④正确.
9.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,线段B1D1上有两个动点E,F,且EF=,则下列结论中错误的是(
)
A.AC⊥BE
B.EF∥平面ABCD
C.直线AB与平面BEF所成的角为定值
D.异面直线AE,BF所成的角为定值
【答案】
D
10.
a、b、c为三条不重合的直线,α、β、γ为三个不重合的平面,现给出六个命题:
①?a∥b;②?a∥b;
③?α∥β;④?α∥β;
⑤?α∥a;⑥?a∥α.
其中正确的命题是(
)
A.①②③
B.①④⑤
C.①④
D.①③④
【答案】
C
【解析】
①④正确.②错,a、b可能相交或异面.③错,α与β可能相交.⑤⑥错,a可能在α内.
11.已知m,n是两条不同的直线,α,β是两个不同的平面,命题p:若m∥n,m∥β,则n∥β,命题q:“m⊥β,n⊥β,n⊥α”是“m⊥α”成立的充分条件,则下列结论正确的是(
)
A.p∧(綈q)是真命题B.(綈p)∨q是真命题
C.(綈p)∧q是假命题D.p∨q是假命题
【答案】
B
【解析】
对于命题p,若m∥n,m∥β,则n可能在平面β内,故命题p为假命题;对于命题q,若m⊥β,n⊥β,n⊥α,则有m⊥α,故命题q是真命题,故綈p为真命题,綈q为假命题,故(綈p)∨q是真命题,选B.
12.如图所示,直线PA垂直于⊙O所在的平面,△ABC内接于⊙O,且AB为⊙O的直径,点M为线段PB的中点,现有结论:①BC⊥PC;②OM∥平面APC;③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长,其中正确的是(
)
A.①②
B.①②③
C.①
D.②③
【答案】
B
13.
如图所示,b,c在平面α内,a∩c=B,b∩c=A,且a⊥b,a⊥c,b⊥c,若C∈a,D∈b,E在线段AB上(C,D,E均异于A,B),则△ACD是(
)
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.等腰三角形
【答案】
B
【解析】
∵a⊥b,b⊥c,a∩c=B,
∴b⊥面ABC,
∴AD⊥AC,故△ACD为直角三角形.
14.在正三棱锥P-ABC中,D,E分别是AB,BC的中点,有下列三个论断:①AC⊥PB;②AC∥平面PDE;③AB⊥平面PDE.其中正确论断的序号为________.
【答案】
①②
【解析】
如图,∵P-ABC为正三棱锥,
∴PB⊥AC.
又∵DE∥AC,DE?平面PDE,
AC?平面PDE,
∴AC∥平面PDE.故①②正确.
15.给出命题:
①在空间中,垂直于同一平面的两个平面平行;
②设l,m是不同的直线,α是一个平面,若l⊥α,l∥m,则m⊥α;
③已知α,β表示两个不同平面,m为平面α内的一条直线,“α⊥β”是“m⊥β”的充要条件;
④在三棱锥S-ABC中,SA⊥BC,SB⊥AC,则S在平面ABC内的射影是△ABC的垂心;
⑤a,b是两条异面直线,P为空间一点,过P总可以作一个平面与a,b之一垂直,与另一条平行.
其中,正确的命题是________(只填序号).
【答案】
②④
16.一个正方体纸盒展开后如图所示,在原正方体纸盒中有如下结论:
①AB⊥EF;
②AB与CM所成的角为60°;
③EF与MN是异面直线;
④MN∥CD.
以上四个命题中,正确命题的序号是________.
【答案】
①③
【解析】
把正方体的平面展开图还原成原来的正方体,
如图所示,则AB⊥EF,EF与MN为异面直线,AB∥CM,MN⊥CD,故①③正确.
17.设P表示一个点,a,b表示两条直线,α,β表示两个平面,给出下列四个命题,其中正确命题的序号是________.
①P∈a,P∈α?a?α;②a∩b=P,b?β?a?β;③a∥b,a?α,P∈b,P∈α?b?α;④α∩β=b,P∈α,P∈β?Ρ∈b.
【答案】
③④
18.如图所示,ABCD-A1B1C1D1是棱长为a的正方体,M、N分别是下底面的棱A1B1、B1C1的中点,P是上底面的棱AD上的一点,AP=,过P、M、N的平面交上底面于PQ,Q在CD上,则PQ=________.
【答案】
a
【解析】
如图所示,连接AC,易知MN∥平面ABCD,
∴MN∥PQ.又∵MN∥AC,
∴PQ∥AC.又∵AP=,
∴===,∴PQ=AC=a.
19.如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,
E、F分别是棱DD1
、C1D1的中点.
(1)求直线BE和平面ABB1A1所成角θ的正弦值;
(2)证明:B1F∥平面A1BE.
【解析】20.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1=AD=2,E是棱CD上的一点.
(1)求证:AD1⊥平面A1B1D;
(2)求证:B1E⊥AD1;
(3)若E是棱CD的中点,在棱AA1上是否存在点P,使得DP∥平面B1AE?若存在,求出线段AP的长;若不存在,请说明理由.
(3)解
当点P是棱AA1的中点时,有DP∥平面B1AE.
理由如下:
在AB1上取中点M,连接PM,ME.
因为P是棱AA1的中点,M是AB1的中点,
所以PM∥A1B1,且PM=A1B1.
又DE∥A1B1,且DE=A1B1,
所以PM∥DE,且PM=DE,
所以四边形PMED是平行四边形,
所以DP∥ME.
又DP?平面B1AE,ME?平面B1AE,
所以DP∥平面B1AE.
此时,AP=A1A=1.
21.如图,将边长为2的正六边形ABCDEF沿对角线BE翻折,连接AC、FD,形成如图所示的多面体,且AC=.
(1)证明:平面ABEF⊥平面BCDE;
(2)求三棱锥E-ABC的体积.
(2)解
连接AE、CE,则AG为三棱锥A-BCE的高,GC为△BCE的高.在正六边形ABCDEF中,BE=2AF=4,
故S△BCE=×4×=2,
所以VE-ABC=VA-BCE=×2×=2.
22.如图,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是菱形,PA=PD,∠BAD=60°,E是AD的中点,点Q在侧棱PC上.
(1)求证:AD⊥平面PBE;
(2)若Q是PC的中点,求证:PA∥平面BDQ;
(3)若VP-BCDE=2VQ-ABCD,试求的值.
23.一个正方体的平面展开图及该正方体直观图的示意图如图所示,在正方体中,设BC的中点为M,GH的中点为N.
(1)请将字母F,G,H标记在正方体相应的顶点处(不需说明理由);
(2)证明:直线MN∥平面BDH;
(3)过点M,N,H的平面将正方体分割为两部分,求这两部分的体积比.