届高考数学二轮复习三角函数、向量与解三角形第2讲三角函数的图象及性质学案

2019届高考数学二轮复习三角函数、向量与解三角形第2讲三角函数的图象及性质学案本文简介：第2讲三角函数的图象及性质1.高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．2.高考中主要涉及如下题型：(1)考查周期、单

2019届高考数学二轮复习三角函数、向量与解三角形第2讲三角函数的图象及性质学案本文内容：

第2讲

三角函数的图象及性质

1.

高考对三角函数的图象与性质的考查往往集中于正弦函数、余弦函数、正切函数的图象与性质；函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及性质，主要考查三角函数图象的识别及其简单的性质(周期、单调性、奇偶性、最值、对称性、图象平移及变换等)．

2.

高考中主要涉及如下题型：(1)

考查周期、单调性、极值等简单性质；(2)

考查与三角函数有关的零点问题；(3)

考查图象的识别．

1.

(2018·徐州期中)函数f(x)＝2sin(x＋)的周期为________．

答案：6

解析：由题意得w＝，所以周期T＝＝＝6.

2.

(2018·镇江期末)函数y＝3sin(2x＋)的图象相邻两对称轴的距离为________．

答案：

解析：

因为函数y＝3sin的最小正周期为T＝＝π，故相邻两对称轴的距离为.

3.

(2018·南京、盐城模拟)若函数y＝sin

ωx在区间[0，2π]上单调递增，则实数ω的取值范围是________．

答案：

解析：由函数在[0，2π]上单调递增，知ω＞0，根据函数y＝sin

ωx在[0，]上单调递增，得2π≤，所以0＜ω≤.

4.

(2018·南京学情调研)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0，|φ|＜π)的部分图象如图所示，则f(－π)的值为________．

答案：－1

解析：由图象可知，A＝2，＝π，则T＝＝3π，所以ω＝.由最高点的相位可知π＋φ＝2kπ＋，k∈Z得φ＝2kπ－，k∈Z.又|φ|＜π，所以φ＝－.所以f(x)＝2sin(x－)，所以f(－π)＝－1.,一)

三角函数的图象与解析式,1)

设函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0，－0，00)

的图象与x轴相切，且图象上相邻两个最高点之间的距离为.

(1)

求a，b的值；

(2)

求f(x)在[0，]上的最大值和最小值．

解：(1)

因为f(x)图象上相邻两个最高点之间的距离为，

所以f(x)的周期为，所以＝，a>0，所以a＝2,此时f(x)＝－sin(4x＋)＋＋b.

因为f(x)的图象与x轴相切，所以|b＋|＝，b>0,所以b＝－.

(2)

由(1)可得f(x)＝－sin(4x＋)＋，

因为x∈，所以4x＋∈，

所以当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最大值为；

当4x＋＝，即x＝时，f(x)有最小值为0.

已知函数f(x)＝1－2sin(x＋)·[sin(x＋)－cos(x＋)]．

(1)

求函数f(x)的最小正周期；

(2)

当x∈[－，]时，求函数f(x＋)的值域．

解：(1)

f(x)＝1－2sin(x＋)[sin(x＋)－cos(x＋)]

＝1－2sin2(x＋)＋2sin(x＋)cos(x＋)

＝cos(2x＋)＋sin(2x＋)＝sin(2x＋)＝cos

2x.所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)

由(1)可知f(x＋)＝cos(2x＋)，

由于x∈[－，]，所以2x＋∈[－，]，

所以cos(2x＋)∈[－，1]，

所以f(x＋)的值域为[－1，]．,三)

与三角函数有关的零点问题,3)

(1)

函数y＝tan(2x＋)的图象与x轴交点的坐标是____________．

(2)

已知函数f(x)＝sin

x(x∈[0，π])和函数g(x)＝tan

x的图象交于A，B，C三点，则△ABC的面积为________．

(1)

，k∈Z

解析：由2x＋＝kπ(k∈Z)，得x＝－(k∈Z)，

∴

函数y＝tan的图象与x轴交点的坐标是(－，0)，k∈Z.

(2)

解析：联立得sin

x＝0或cos

x＝.又知x∈[0，π]，所以x＝0或x＝或x＝π，从而得到函数f(x)＝sin

x(x∈[0，π])与函数g(x)＝tan

x图象的交点A(0，0)，B(，)，C(π，0)，所以△ABC的面积＝×π×＝.

(1)

(2017·南通调研)已知函数f(x)＝2sin(2x－)－1在区间[a，b](a，b∈R，且a＜b)上至少含有10个零点，在所有满足条件的[a，b]中，b－a的最小值为________．

答案：

解析：要使b－a最小，则f(x)在区间[a，b]上零点个数恰好是10，由函数f(x)的图象可知，一个周期内只有2个零点，且两个零点之间的最小间隔为，所以满足条件的b－a的最小值为＋4π＝.

(2)

(2017·南京三模)在同一直角坐标系中，函数y＝sin(x＋)(x∈[0，2π])的图象和直线y＝的交点的个数是________．

答案：2

解析：(解法1)令sin(x＋)＝，可得x＋＝2kπ＋或x＋＝2kπ＋，

即x＝2kπ－或x＝2kπ＋.

又x∈[0，2π]，所以x＝或x＝，故原函数图象与直线y＝的交点个数为2.

(解法2)在同一个直角坐标系内画出这两个函数的图象，可得交点个数为2.

1.

(2018·北京卷)设函数f(x)＝cos

(ωx－)(ω＞0)，若f(x)≤f

()对任意的实数x都成立，则ω的最小值为________．

答案：

解析：∵

f(x)≤f

对任意的实数x都成立，∴

f

是函数的最大值，∴ω－＝2kπ(k∈Z)．∴

ω＝8k＋(k∈Z)．∵

ω＞0，∴

当k＝0时，ω取最小值为.

2.

(2018·江苏卷)已知函数y＝sin(2x＋φ)

(－＜φ＜)的图象关于直线x＝对称，则φ＝________．

答案：－

解析：由题意可得sin

＝±1，所以＋φ＝＋kπ(k∈Z)，所以φ＝－＋kπ(k∈Z)．因为－＜φ＜，所以k＝0，φ＝－.

3.

(2017·全国卷Ⅲ)函数f(x)＝sin(x＋)＋cos(x－)的最大值为________．

答案：

解析：因为f(x)＝(sin

x＋cos

x)＋cos

x＋sin

x＝(sin

x＋cos

x)＝sin(x＋)，

所以函数f(x)的最大值为.

4.

(2017·北京卷)已知函数f(x)＝cos(2x－)－2sin

xcos

x.

(1)

求f(x)的最小正周期；

(2)

求证：当x∈[－，]时，f(x)≥－.

(1)

解：f(x)＝cos

2x＋sin

2x－sin

2x

＝sin

2x＋cos

2x＝sin(2x＋)，

所以f(x)的最小正周期T＝＝π.

(2)

证明：因为－≤x≤，

所以－≤2x＋≤，

所以sin(2x＋)≥sin(－)＝－，

所以当x∈[－，]时，f(x)≥－.

(本题模拟高考评分标准，满分14分)

(2018·苏州一调)已知函数f(x)＝(cos

x＋sin

x)2－2sin

2x.

(1)

求函数f(x)的最小值，并写出f(x)取得最小值时自变量x的取值集合；

(2)

若x∈[－，]，求函数f(x)的单调增区间．

解：(1)

f(x)＝(cos

x＋sin

x)2－2sin

2x

＝3cos2x＋2sin

xcos

x＋sin2x－2sin

2x

＝＋－sin

2x

(2分)

＝cos

2x－sin

2x＋2＝2cos(2x＋)＋2.

(4分)

当2x＋＝2kπ＋π，即x＝kπ＋(k∈Z)时，f(x)取得最小值0.

故f(x)取得最小值时自变量x的取值集合为.

(7分)

(注：结果不写成集合形式扣1分)

(2)

因为f(x)＝2cos(2x＋)＋2，

令π＋2kπ≤2x＋≤2π＋2kπ(k∈Z)，

(

8分)

解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)．

(10分)

又x∈，令k＝－1，则x∈，令k＝0，则x∈，

所以函数在上的单调增区间是和.

(14分)

(注：如果写成两区间的并集，扣1分，其中写对一个区间给2分)

1.

(苏北四市2018届高三一模)若函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象与直线y＝m的三个相邻交点的横坐标分别是，，，则实数ω的值为________．

答案：4

解析：由题意得函数f(x)相邻的对称轴为x＝和x＝，所以T＝－＝，所以T＝，即＝，解得w＝4.

2.

已知A为△ABC的内角，求y＝cos2A＋cos2(＋A)的取值范围．

解：y＝cos2A＋cos2(＋A)

＝＋

＝1＋＋(coscos

2A－sinsin

2A)

＝1＋(cos

2A＋sin

2A)＝1＋cos(2A－)．

∵

A为三角形的内角，

∴

0＜A＜π，∴

－1≤cos(2A－)≤1，

∴

y＝cos2A＋cos2(＋A)的取值范围是[，]．

3.

已知函数f(x)＝psin

2x－qcos

2x(其中p，q是实数)的部分图象如图所示．

(1)

求函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)形式的解析式及其最小正周期；

(2)

将函数y＝f(x)的图象向左平移m(0

解：(1)

∵

f(x)＝psin

2x－qcos

2x，

则由图象得

解得

故f(x)＝sin

2x＋cos

2x＝2sin(2x＋)，

故函数f(x)的解析式为f(x)＝2sin(2x＋)，

最小正周期T＝π.

(2)

由(1)可知g(x)＝f(x＋m)＝2sin(2x＋2m＋)．

于是当且仅当Q(0，2)在y＝g(x)的图象上时满足条件．

∴

g(0)＝2sin(2m＋)＝2.

由0

故g(x)＝2sin(2x＋)＝2cos

2x，

当x∈[－，]，即－≤2x≤时，

函数y＝g(x)的单调增区间为[－，0]∪[，]，最大值是2，最小值是－2.