最优控制理论综述报告

1、最优控制问题基本介绍

最优控制是使控制系统的性能指标实现最优化的基本条件和综合方法。可概括为：对一个受控的动力学系统或运动过程，从一类允许的控制方案中找出一个最优的控制方案，使系统的运动在由某个初始状态转移到指定的目标状态的同时，其性能指标值为最优[1]。最优控制是最优化方法的一个应用。从数学意义上说，最优化方法是一种求极值的方法，即在一组约束为等式或不等式的条件下，使系统的目标函数达到极值，即最大值或最小值。从经济意义上说，是在一定的人力、物力和财力资源条件下，是经济效果达到最大（如产值、利润），或者在完成规定的生产或经济任务下，使投入的人力

、物力和财力等资源为最少。

图1

最优控制问题的示意图

1.1

最优控制问题的性能指标

在状态空间中要使系统的状态由初始状态x(t0)→x(tf),可以用不同的控制规律来实现。为了衡量控制系统在每一种控制规律作用下工作的优劣，就需要用一个性能指标来判断。

性能指标的内容、形式取决于最优控制所完成的任务。不同最优控制问题就应有不同的性能指标。同一最优控制问题，其性能指标也可能因设计者着眼点而异。

①

综合性或波尔扎（Bolza）型性能指标

——标量函数：动态性能指标

——标量函数：终端性能指标

——标量函数，对每一个控制函数都有一个对应值，

——控制函数整体

②

积分变量或拉格朗日（Lagrange）型性能指标

强调系统的过程要求。

③

终端型或麦耶尔（Mager）型性能指标

以上三种性能指标，通过一些简单的数学处理，可以相互转化。

在特殊情况下，可采用如下的二次型性能指标

F—终端加权矩阵

Q(t)—状态加权矩阵

R(t)—控制加权矩阵

1.2

最优控制问题的提法

所谓最优控制的提法，就是将通常的最优控制问题抽象成一个数学问题，并用数学语言严格的表示出来。

?给定系统的状态方程

?给定初始条件和终端条件

初始状态为：x(t0)=x0

终端状态x(tf)可用如下约束条件表示

N1[x(tf)，tf]=0

或N2[x(tf)，tf]≤0

?给定性能指标（目标函数）

确定最优控制向量，使系统从x(t0)→x(tf)，并使性能指标具有极大（小）值。

1.3

最优控制问题的分类

①

按状态方程分类：连续最优化系统、离散最优化系统

②

按控制作用实现方法分类：开环最优控制系统、闭环最优控制系统

③

按性能指标分类：最小时间控制问题

最少燃料控制问题

最少燃料控制问题

线性二次型性能指标最优控制问题

非线性性能指标最优控制问题

④

按终端条件分类：固定终端最优控制问题

自由终端（可变）最优控制问题

终端时间固定最优控制问题

终端时间可变最优控制问题

⑤

按应用领域来分：终端控制问题、调节器问题

跟踪问题、伺服机构问题

效果研究问题、最小时间问题

最少燃料问题

1.4

最优控制问题的解决方法

?变分法

变分法是求解泛函极值的一种经典方法，可以确定容许控制为开集的最优控制函数，也是研究最优控制问题的一种重要工具。掌握变分法的基本原理，还有助于理解以最小值原理和动态规划等最优控制理论的思想和内容。

但是，变分法作为一种古典的求解最优控制的方法，只有当控制向量u（t）不受任何约束，其容许控制集合充满整个m维控制空间，用古典变分法来处理等式约束条件下的最优控制问题才是行之有效的。在许多实际控制问题中，控制函数的取值常常受到封闭性的边界限制，如方向舵只能在两个极限值范围内转动，电动机的力矩只能在正负的最大值范围内产生等。因此，古典变分法对于解决许多重要的实际最优控制问题，是无能为力的。

?极小值原理

极小值原理是由庞德亚金提出来的，它对于解决受约束的最优控制问题是很有效的。当u（t）不受约束时，可以用变分法成功地解决最优控制的求解问题。实际上，u（t）一般都是有约束的。当要求u（t）在一个m维的密闭集中取值时，变分法就不再适用了。其次，用变分法求解带有约束的最优控制，有时也是行不通的，因为最优控制往往要求在闭集的边界上取值。

极小值原理的突出优点是可用于控制变量受限制的情况，能给出问题中最优控制所必须满足的条件。虽然最小值原理为解决带有闭集约束的最优控制问题提供了有效的方法，但遗憾的是它只是一个必要条件。

?动态规划

动态规划又称为多级决策理论，是贝尔曼提出的一种非线性规划方法。动态规划的核心是贝尔曼的最优性原理，它将一个多级决策问题化为一系列单极决策问题，从最后一级状态开始到初始状态为止，逆向递推求解最优决策。动态规划法原理简明，适用于计算机求解，在许多理论问题的研究中，都应用到动态规划的思路。

④三种方法之间的相互关系

动态规划法、极小值原理和变分法，都是求解最优控制问题的重要方法。由动态规划的哈密顿-雅克比方程，可以推得变分法中的欧拉方程和横截条件：也可以推得极小值原理的必要条件。

变分法对解决开集约束的最优控制问题十分有效，但对于处理闭集性约束就无能为力了。变分法与极小值原理都可以解微分方程所描述的变分问题作为目标，结果得出了一组常微分方程所表示的必要条件。这三种方法要求的条件不同，其中属动态规划要求最高。在所要求的条件都满足的情况下，使用这三种方法所得结论相同。

2、最优控制理论的应用

2.1非线性系统最优控制理论

非线性系统最优控制求解相当困难，寻求近似的最优控制求解方法是当下解决这一问题的主要途径，目前比较成熟的最优控制求解方法主要有七类，分别为幂级数展开法，Galerkin逐次逼近方法，广义正交多项式级数展开法，有限差分和有限元方法，状态相关Riccati方程方法，Riccati方程近似序列法，逐次逼近法，本文对这些现有研究成果对比进行了详细的阐述并对其优缺点进行了客观的对比，为非线性最优控制理论的进一步研究提供参考。

2.2最优控制理论在无级变速器控制系统中的应用

金属带式无级变速器能够最大限度地发挥发动机的经济性和动力性,适合在较大排量车辆上应用。在对金属带式无级变速器电液拉制系统进行分析的基础上,建立了速比阀控液压系统的传递函数和速比控制动态特性的数学模型,设计出了最优控制器，并运用Matlab软件进行了仿真。由仿真结果可以看出,系统对阶跃信号的响应速度快,超调量小,能够满足系统对快速性和稳定性的要求。因此,通过二次型最优控制,可以大大改善系统的动态性能。由此,所设计出来的最优控制器是可行的,为无级变速器的台架实验奠定了坚实的墓础。

2.3最优控制理论在电力拖动系统中的应用—电力拖动最优控制

文中介绍最优控制理论在电力拖动系统中的应用,包括时间最小,平稳快速以及能耗最小的最优控制规律。文中还给出实用控制线路结构,最后举应用实例,从理论分析,仿真验证到实验分析所得结论正确。还应提到,所得结论对交流异步电动机拖动系统也是适用的。因为所求的各种控制规律皆是从动力学角度出发,得出、、最优规律是通用的,所不同的只是的关系,异步机有其特殊情况作具体处理便可。

2.4汽车防抱死制动系统的自寻最优控制

针对汽车防抱死制动系统中路况经常变化的特殊性,采用自寻最优控制策略,能够根据不同的路况,自动搜寻到最佳滑移率,并使系统在最佳滑移率附近工作,达到最佳制动效果.

通过与逻辑门限值控制指标参数的对比,自寻最优控制策略可获得更高的制动效率、更好的防抱死效果.

文中为汽车制动性能的研究提供了有效可行的防抱死控制策略.

2.5动态交通系统最优控制的路径选择模型

文中通过分析影响动态交通系统最优控制的各种约束,依据相关原理和方法,并采用适当的假设建立了实用的路径选择动态交通系统最优控制模型,同时分析了该模型建立过程中的最优性条件,最后给出该模型求解算法的主要步骤及收敛标准.

然而,该模型在建立过程中受到有限条件的制约,难免使用了一些过于理想化的假设条件,这些问题有望在今后的研究中得到改进并完善,以使模型的最优解更加符合实际的交通情况.

3、总结

最优控制理论的实现，离不开一系列的最优化方法，主要包括两个方面就是如何将最优化问题表示为数学模型，如何根据数学模型尽快求出其最优解。在最优化问题的数学模型建立后，其求解方法大致可以分为解析法、数值解法（即直接法）、解析与数值相结合的求解方法、网络最优化方法。而随着模糊理论、神经网络等智能技术和计算机技术的发展，智能式的优化方法在控制领域中得到了重视和发展，比如将模糊控制与自适应算法相融合，或者将模糊控制与神经网络、遗传算法等相融合的智能优化。它们通过改进自学习算法、遗传算法，按给定的优化性能指标，对被控对象进行逐步寻优学习，从而有效地确定控制器的结构和参数。最优控制理论的应用领域十分广泛，如时间最短、能耗最小、线性二次型指标最优、跟踪问题、调节问题和伺服机构问题等。相信随着对这些问题的研究和探索的不断深入，最优控制技术将越来越成熟和实用。

参考文献

[1]袁亚湘，孙文瑜.最优化理论与方法[M].北京：科学出版社.1997

[2]Bellman

R.Dynamic

Programming.1957.

[3]Pontryagin

et

al.The

Mathematical

Theory

of

Optimal

Processes.Interscience

Publishers,New

York,1962.

[4]Kalman

R

E.On

the

General

Theory

of

Control

System,Proc.

of

the

First

Congress

of

IFAC,Moscow.1960.

[5]Kalman

R

E

et

al.Topics

in

Mathematical

System

Theory.McGraw-Hill,1969.

[6]Wiener

R.Cyberetics.New

York,1948.

[7]黄平.最优化理论与方法[M].北京：清华大学出版社，2009.

[8]胡寿松，王执铨，胡维礼.最优控制理论与系统[M].北京：科学出版社，2005.

[9]马玲珑，付玲芳.非线性系统最优控制理论综述.2010.

[10]唐铃凤，王雷，张峰.最优控制理论在无级变速器控制系统中的应用.2006.

[11]任兴权.最优控制理论在电力拖动系统中的应用—电力拖动最优控制.2010

[12]李文娟,付天雷,陈凤林,王旭东.汽车防抱死制动系统的自寻最优控制.2010

[13]杜文,王铨登.动态交通系统最优控制的路径选择模型.2010