版高考数学复习立体几何8.3空间点直线平面之间的位置关系理

2018版高考数学复习立体几何8.3空间点直线平面之间的位置关系理本文简介：第八章立体几何8.3空间点、直线、平面之间的位置关系理1．四个公理公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．公理4：平行于同一条直线的两条直线互相

2018版高考数学复习立体几何8.3空间点直线平面之间的位置关系理本文内容：

第八章

立体几何

8.3

空间点、直线、平面之间的位置关系

理

1．四个公理

公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面．

公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线．

公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行．

2．直线与直线的位置关系

(1)位置关系的分类

(2)异面直线所成的角

①定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．

②范围：.

3．直线与平面的位置关系有直线在平面内、直线与平面相交、直线与平面平行三种情况．

4．平面与平面的位置关系有平行、相交两种情况．

5．等角定理

空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补．

【知识拓展】

1．唯一性定理

(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．

(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．

(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．

(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．

2．异面直线的判定定理

经过平面内一点的直线与平面内不经过该点的直线互为异面直线．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)如果两个不重合的平面α，β有一条公共直线a，就说平面α，β相交，并记作α∩β＝a.(

√

)

(2)两个平面α，β有一个公共点A，就说α，β相交于过A点的任意一条直线．(

×

)

(3)两个平面ABC与DBC相交于线段BC.(

×

)

(4)经过两条相交直线，有且只有一个平面．(

√

)

(5)没有公共点的两条直线是异面直线．(

×

)

1．下列命题正确的个数为(

)

①梯形可以确定一个平面；

②若两条直线和第三条直线所成的角相等，则这两条直线平行；

③两两相交的三条直线最多可以确定三个平面；

④如果两个平面有三个公共点，则这两个平面重合．

A．0

B．1

C．2

D．3

答案

C

解析

②中两直线可以平行、相交或异面，④中若三个点在同一条直线上，则两个平面相交，①③正确．

2．(2016·浙江)已知互相垂直的平面α，β交于直线l.若直线m，n满足m∥α，n⊥β，则(

)

A．m∥l

B．m∥n

C．n⊥l

D．m⊥n

答案

C

解析

由已知，α∩β＝l，∴l?β，又∵n⊥β，∴n⊥l，C正确．

3．(2017·合肥质检)已知l，m，n为不同的直线，α，β，γ为不同的平面，则下列判断正确的是(

)

A．若m∥α，n∥α，则m∥n

B．若m⊥α，n∥β，α⊥β，则m⊥n

C．若α∩β＝l，m∥α，m∥β，则m∥l

D．若α∩β＝m，α∩γ＝n，l⊥m，l⊥n，则l⊥α

答案

C

解析

m，n可能的位置关系为平行，相交，异面，故A错误；根据面面垂直与线面平行的性质可知B错误；根据线面平行的性质可知C正确；若m∥n，根据线面垂直的判定可知D错误，故选C.

4.(教材改编)如图所示，已知在长方体ABCD－EFGH中，AB＝2，AD＝2，AE＝2，则BC和EG所成角的大小是______，AE和BG所成角的大小是________．

答案

45°

60°

解析

∵BC与EG所成的角等于EG与FG所成的角即∠EGF，tan∠EGF＝＝＝1，∴∠EGF＝45°，

∵AE与BG所成的角等于BF与BG所成的角即∠GBF，tan∠GBF＝＝＝，∴∠GBF＝60°.

5．如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________．

答案

4

解析

EF与正方体左、右两侧面均平行．所以与EF相交的侧面有4个.

题型一

平面基本性质的应用

例1

(1)(2016·山东)已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A

解析

若直线a和直线b相交，则平面α和平面β相交；若平面α和平面β相交，那么直线a和直线b可能平行或异面或相交，故选A.

(2)已知空间四边形ABCD(如图所示)，E、F分别是AB、AD的中点，G、H分别是BC、CD上的点，且CG＝BC，CH＝DC.求证：

①E、F、G、H四点共面；

②三直线FH、EG、AC共点．

证明

①连接EF、GH，如图所示，

∵E、F分别是AB、AD的中点，

∴EF∥BD.

又∵CG＝BC，CH＝DC，

∴GH∥BD，∴EF∥GH，

∴E、F、G、H四点共面．

②易知FH与直线AC不平行，但共面，

∴设FH∩AC＝M，∴M∈平面EFHG，M∈平面ABC.

又∵平面EFHG∩平面ABC＝EG，

∴M∈EG，∴FH、EG、AC共点．

思维升华

共面、共线、共点问题的证明

(1)证明点或线共面问题的两种方法：①首先由所给条件中的部分线(或点)确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②将所有条件分为两部分，然后分别确定平面，再证两平面重合．

(2)证明点共线问题的两种方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．

(3)证明线共点问题的常用方法是：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．

如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与四边形ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°，BC∥AD且BC＝AD，BE∥AF且BE＝AF，G、H分别为FA、FD的中点．

(1)证明：四边形BCHG是平行四边形；

(2)C、D、F、E四点是否共面？为什么？

(1)证明

由已知FG＝GA，FH＝HD，

可得GH綊AD.

又BC綊AD，∴GH綊BC.

∴四边形BCHG为平行四边形．

(2)解

∵BE綊AF，G是FA的中点，∴BE綊FG，

∴四边形BEFG为平行四边形，∴EF∥BG.

由(1)知BG綊CH，∴EF∥CH，∴EF与CH共面．

又D∈FH，∴C、D、F、E四点共面．

题型二

判断空间两直线的位置关系

例2

(1)(2015·广东)若直线l1和l2是异面直线，l1在平面α内，l2在平面β内，l是平面α与平面β的交线，则下列命题正确的是(

)

A．l与l1，l2都不相交

B．l与l1，l2都相交

C．l至多与l1，l2中的一条相交

D．l至少与l1，l2中的一条相交

(2)如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列判断错误的是(

)

A．MN与CC1垂直

B．MN与AC垂直

C．MN与BD平行

D．MN与A1B1平行

(3)在图中，G、N、M、H分别是正三棱柱(两底面为正三角形的直棱柱)的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有________．(填上所有正确答案的序号)

答案

(1)D

(2)D

(3)②④

解析

(1)若l与l1，l2都不相交，则l∥l1，l∥l2，∴l1∥l2，这与l1和l2异面矛盾，∴l至少与l1，l2中的一条相交．

(2)连接B1C，B1D1，如图所示，

则点M是B1C的中点，MN是△B1CD1的中位线，∴MN∥B1D1，

又BD∥B1D1，∴MN∥BD.

∵CC1⊥B1D1，AC⊥B1D1，

∴MN⊥CC1，MN⊥AC.

又∵A1B1与B1D1相交，

∴MN与A1B1不平行，故选D.

(3)图①中，直线GH∥MN；

图②中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，

因此直线GH与MN异面；

图③中，连接MG，GM∥HN，因此GH与MN共面；

图④中，G、M、N共面，但H?面GMN，

因此GH与MN异面．

所以图②④中GH与MN异面．

思维升华

空间中两直线位置关系的判定，主要是异面、平行和垂直的判定．对于异面直线，可采用直接法或反证法；对于平行直线，可利用三角形(梯形)中位线的性质、公理4及线面平行与面面平行的性质定理；对于垂直关系，往往利用线面垂直的性质来解决．

(1)已知a，b，c为三条不重合的直线，有下列结论：①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.其中正确的个数为(

)

A．0

B．1

C．2

D．3

(2)(2016·南昌一模)已知a、b、c是相异直线，α、β、γ是相异平面，则下列命题中正确的是(

)

A．a与b异面，b与c异面?a与c异面

B．a与b相交，b与c相交?a与c相交

C．α∥β，β∥γ?α∥γ

D．a?α，b?β，α与β相交?a与b相交

答案

(1)B

(2)C

解析

(1)在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错，③显然成立．

(2)如图(1)，在正方体中，a、b、c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c＝A，故A错误；在图(2)的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图(3)，α∩β＝c，a∥c，则a与b不相交，故D错误．

题型三

求两条异面直线所成的角

例3

(2016·重庆模拟)如图，四边形ABCD和ADPQ均为正方形，它们所在的平面互相垂直，则异面直线AP与BD所成的角为________．

答案

解析

如图，将原图补成正方体ABCD－QGHP，连接GP，则GP∥BD，

所以∠APG为异面直线AP与BD所成的角，

在△AGP中，AG＝GP＝AP，

所以∠APG＝.

引申探究

在本例条件下，若E，F，M分别是AB，BC，PQ的中点，异面直线EM与AF所成的角为θ，求cos

θ的值．

解

设N为BF的中点，连接EN，MN，

则∠MEN是异面直线EM与AF所成的角或其补角．

不妨设正方形ABCD和ADPQ的边长为4，

则EN＝，EM＝2，MN＝.

在△MEN中，由余弦定理得

cos

∠MEN＝

＝

＝－＝－.

即cos

θ＝.

思维升华

用平移法求异面直线所成的角的三步法

(1)一作：根据定义作平行线，作出异面直线所成的角；

(2)二证：证明作出的角是异面直线所成的角；

(3)三求：解三角形，求出作出的角．如果求出的角是锐角或直角，则它就是要求的角；如果求出的角是钝角，则它的补角才是要求的角．

已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

解析

画出正四面体ABCD的直观图，如图所示．

设其棱长为2，取AD的中点F，

连接EF，

设EF的中点为O，连接CO，

则EF∥BD，

则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角．

△ABC为等边三角形，

则CE⊥AB，

易得CE＝，

同理可得CF＝，

故CE＝CF.

因为OE＝OF，所以CO⊥EF.

又EO＝EF＝BD＝，

所以cos∠FEC＝＝＝.

16．构造模型判断空间线面位置关系

典例

已知m，n是两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，有下列四个命题：

①若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β；

②若m∥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

③若m⊥α，n∥β，m⊥n，则α∥β；

④若m⊥α，n∥β，α∥β，则m⊥n.

其中所有正确的命题是________．

思想方法指导

本题可通过构造模型法完成，构造法实质上是结合题意构造符合题意的直观模型，然后将问题利用模型直观地作出判断，这样减少了抽象性，避免了因考虑不全面而导致解题错误．对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定，可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断．

解析

借助于长方体模型来解决本题，对于①，可以得到平面α、β互相垂直，如图(1)所示，故①正确；对于②，平面α、β可能垂直，如图(2)所示，故②不正确；对于③，平面α、β可能垂直，如图(3)所示，故③不正确；对于④，由m⊥α，α∥β可得m⊥β，因为n∥β，所以过n作平面γ，且γ∩β＝g，如图(4)所示，所以n与交线g平行，因为m⊥g，所以m⊥n，故④正确．

答案

①④

1．设a，b是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，a?α，b⊥β，则“α∥β”是“a⊥b”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A

解析

若a?α，b⊥β，α∥β，则由α∥β，b⊥β?b⊥α，

又a?α，所以a⊥b；若a⊥b，a?α，b⊥β，

则b⊥α或b∥α或b?α，此时α∥β或α与β相交，

所以“α∥β”是“a⊥b”的充分不必要条件，故选A.

2．(2016·福州质检)在三棱柱ABC－A1B1C1中，E、F分别为棱AA1、CC1的中点，则在空间中与直线A1B1、EF、BC都相交的直线(

)

A．不存在

B．有且只有两条

C．有且只有三条

D．有无数条

答案

D

解析

在EF上任意取一点M，直线A1B1与M确定一个平面，这个平面与BC有且仅有1个交点N，当M的位置不同时确定不同的平面，从而与BC有不同的交点N，而直线MN与A1B1、EF、BC分别有交点P、M、N，如图，故有无数条直线与直线A1B1、EF、BC都相交．

3．对于任意的直线l与平面α，在平面α内必有直线m，使m与l(

)

A．平行

B．相交

C．垂直

D．互为异面直线

答案

C

解析

不论l∥α，l?α，还是l与α相交，α内都有直线m使得m⊥l.

4．在四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF与HG交于点M，则(

)

A．M一定在直线AC上

B．M一定在直线BD上

C．M可能在AC上，也可能在BD上

D．M既不在AC上，也不在BD上

答案

A

解析

由于EF∩HG＝M，且EF?平面ABC，

HG?平面ACD，所以点M为平面ABC与平面ACD的一个公共点，而这两个平面的交线为AC，

所以点M一定在直线AC上，故选A.

5．四棱锥P－ABCD的所有侧棱长都为，底面ABCD是边长为2的正方形，则CD与PA所成角的余弦值为(

)

A.

B.

C.

D.

答案

B

解析

因为四边形ABCD为正方形，故CD∥AB，则CD与PA所成的角即为AB与PA所成的角，即为∠PAB.

在△PAB内，PB＝PA＝，AB＝2，利用余弦定理可知cos∠PAB＝＝＝，故选B.

6．下列命题中，正确的是(

)

A．若a，b是两条直线，α，β是两个平面，且a?α，b?β，则a，b是异面直线

B．若a，b是两条直线，且a∥b，则直线a平行于经过直线b的所有平面

C．若直线a与平面α不平行，则此直线与平面内的所有直线都不平行

D．若直线a∥平面α，点P∈α，则平面α内经过点P且与直线a平行的直线有且只有一条

答案

D

解析

对于A，当α∥β，a，b分别为第三个平面γ与α，β的交线时，由面面平行的性质可知a∥b，故A错误．

对于B，设a，b确定的平面为α，显然a?α，故B错误．

对于C，当a?α时，直线a与平面α内的无数条直线都平行，故C错误．易知D正确．故选D.

7．(2016·南昌高三期末)如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面为直角三角形．∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝CC1＝，P是BC1上一动点，则CP＋PA1的最小值为________．

答案

5

解析

连接A1B，将△A1BC1与△CBC1同时展平形成一个平面四边形A1BCC1，则此时对角线CP＋PA1＝A1C达到最小，在等腰直角三角形△BCC1中，BC1＝2，∠CC1B＝45°，在△A1BC1中，A1B＝＝2，A1C1＝6，BC1＝2，∴A1C＋BC＝A1B2，即∠A1C1B＝90°.对于展开形成的四边形A1BCC1，在△A1C1C中，C1C＝，A1C1＝6，∠A1C1C＝135°，由余弦定理有，CP＋PA1＝A1C＝＝＝5.

8.如图是正四面体(各面均为正三角形)的平面展开图，G、H、M、N分别为DE、BE、EF、EC的中点，在这个正四面体中，

①GH与EF平行；

②BD与MN为异面直线；

③GH与MN成60°角；

④DE与MN垂直．

以上四个命题中，正确命题的序号是________．

答案

②③④

解析

把正四面体的平面展开图还原，如图所示，GH与EF为异面直线，BD与MN为异面直线，GH与MN成60°角，DE⊥MN.

9．(2015·浙江)如图，三棱锥ABCD中，AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，点M，N分别是AD，BC的中点，则异面直线AN，CM所成的角的余弦值是________．

答案

解析

如图所示，连接DN，取线段DN的中点K，连接MK，CK.

∵M为AD的中点，

∴MK∥AN，

∴∠KMC为异面直线AN，CM所成的角．

∵AB＝AC＝BD＝CD＝3，AD＝BC＝2，

N为BC的中点，

由勾股定理求得AN＝DN＝CM＝2，

∴MK＝.

在Rt△CKN中，CK＝＝.

在△CKM中，由余弦定理，得

cos∠KMC＝

＝＝.10.(2017·郑州质检)如图，矩形ABCD中，AB＝2AD，E为边AB的中点，将△ADE沿直线DE翻折成△A1DE.若M为线段A1C的中点，则在△ADE翻折过程中，下面四个命题中不正确的是________．

①BM是定值；

②点M在某个球面上运动；

③存在某个位置，使DE⊥A1C；

④存在某个位置，使MB∥平面A1DE.

答案

③

解析

取DC中点F，连接MF，BF，MF∥A1D且MF＝A1D，FB∥ED且FB＝ED，所以∠MFB＝∠A1DE.由余弦定理可得MB2＝MF2＋FB2－2MF·FB·cos∠MFB是定值，所以M是在以B为圆心，MB为半径的球上，可得①②正确；由MF∥A1D与FB∥ED可得平面MBF∥平面A1DE，可得④正确；A1C在平面ABCD中的投影与AC重合，AC与DE不垂直，可得③不正确．

11.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，H为直线B1D与平面ACD1的交点．求证：D1、H、O三点共线．

证明

如图，连接BD，B1D1，

则BD∩AC＝O，

∵BB1綊DD1，

∴四边形BB1D1D为平行四边形，又H∈B1D，

B1D?平面BB1D1D，

则H∈平面BB1D1D，

∵平面ACD1∩平面BB1D1D＝OD1，∴H∈OD1.

即D1、H、O三点共线．

12.如图所示，等腰直角三角形ABC中，∠A＝90°，BC＝，DA⊥AC，DA⊥AB，若DA＝1，且E为DA的中点．求异面直线BE与CD所成角的余弦值．

解

如图所示，取AC的中点F，连接EF，BF，

在△ACD中，E、F分别是AD、AC的中点，

∴EF∥CD.

∴∠BEF或其补角即为异面直线BE与CD所成的角．

在Rt△EAB中，AB＝AC＝1，AE＝AD＝，

∴BE＝.

在Rt△EAF中，AF＝AC＝，AE＝，

∴EF＝.

在Rt△BAF中，AB＝1，AF＝，∴BF＝.

在等腰三角形EBF中，cos∠FEB＝＝＝.

∴异面直线BE与CD所成角的余弦值为.13.已知正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q.求证：

(1)D、B、F、E四点共面；

(2)若A1C交平面DBFE于R点，则P，Q，R三点共线．

证明

(1)如图所示，因为EF是△D1B1C1的中位线，

所以EF∥B1D1.

在正方体ABCD－A1B1C1D1中，B1D1∥BD，

所以EF∥BD.

所以EF，BD确定一个平面．

即D、B、F、E四点共面．

(2)在正方体ABCD－A1B1C1D1中，

设平面A1ACC1确定的平面为α，

又设平面BDEF为β.

因为Q∈A1C1，所以Q∈α.

又Q∈EF，所以Q∈β.

则Q是α与β的公共点，

同理，P点也是α与β的公共点．

所以α∩β＝PQ.

又A1C∩β＝R，

所以R∈A1C，则R∈α且R∈β.

则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．