届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之

届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之本文简介：高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十一第十一章圆锥曲线一、基础知识1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a(2a>|F1F2|=2c).第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b

届高三数学毕业班课本知识点整理归纳之本文内容：

高三毕业班数学课本知识点整理归纳之十一

第十一章

圆锥曲线

一、基础知识

1．椭圆的定义，第一定义：平面上到两个定点的距离之和等于定长（大于两个定点之间的距离）的点的轨迹，即|PF1|+|PF2|=2a

(2a>|F1F2|=2c).

第二定义：平面上到一个定点的距离与到一条定直线的距离之比为同一个常数e(0b>0)，

参数方程为（为参数）。

若焦点在y轴上，列标准方程为

(a>b>0)。

3．椭圆中的相关概念，对于中心在原点，焦点在x轴上的椭圆

，

a称半长轴长，b称半短轴长，c称为半焦距，长轴端点、短轴端点、两个焦点的坐标分别为(±a,0),(0,±b),(±c,0)；与左焦点对应的准线（即第二定义中的定直线）为，与右焦点对应的准线为；定义中的比e称为离心率，且，由c2+b2=a2知0b>0),F1(-c,0),F2(c,0)是它的两焦点。若P(x,y)是椭圆上的任意一点，则|PF1|=a+ex,|PF2|=a-ex.

5．几个常用结论：1）过椭圆上一点P(x0,y0)的切线方程为

；

2）斜率为k的切线方程为；

3）过焦点F2(c,0)倾斜角为θ的弦的长为

。

6．双曲线的定义，第一定义：

满足||PF1|-|PF2||=2a(2a0)的点P的轨迹；

第二定义：到定点的距离与到定直线距离之比为常数e(>1)的点的轨迹。

7．双曲线的方程：中心在原点，焦点在x轴上的双曲线方程为

，

参数方程为（为参数）。

焦点在y轴上的双曲线的标准方程为

。

8．双曲线的相关概念，中心在原点，焦点在x轴上的双曲线

(a,b>0),a称半实轴长，b称为半虚轴长，c为半焦距，实轴的两个端点为(-a,0),(a,0).

左、右焦点为F1(-c,0),F2(c,0)，对应的左、右准线方程分别为离心率，由a2+b2=c2知e>1。两条渐近线方程为，双曲线与有相同的渐近线，它们的四个焦点在同一个圆上。若a=b，则称为等轴双曲线。

9．双曲线的常用结论，1）焦半径公式，对于双曲线，F1（-c,0）,F2(c,0)是它的两个焦点。设P(x,y)是双曲线上的任一点，若P在右支上，则|PF1|=ex+a,|PF2|=ex-a；若P（x,y）在左支上，则|PF1|=-ex-a，|PF2|=-ex+a.

2)

过焦点的倾斜角为θ的弦长是。

10．抛物线：平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，点F叫焦点，直线l叫做抛物线的准线。若取经过焦点F且垂直于准线l的直线为x轴，x轴与l相交于K，以线段KF的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，设|KF|=p，则焦点F坐标为，准线方程为，标准方程为y2=2px(p>0)，离心率e=1.

11．抛物线常用结论：若P(x0,y0)为抛物线上任一点，

1）焦半径|PF|=；

2）过点P的切线方程为y0y=p(x+x0)；

3）过焦点倾斜角为θ的弦长为。

12．极坐标系，在平面内取一个定点为极点记为O，从O出发的射线为极轴记为Ox轴，这样就建立了极坐标系，对于平面内任意一点P，记|OP|=ρ,∠xOP=θ，则由（ρ，θ）唯一确定点P的位置，（ρ，θ）称为极坐标。

13．圆锥曲线的统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比为常数e的点P，若01，则点P的轨迹为双曲线的一支；若e=1，则点P的轨迹为抛物线。这三种圆锥曲线统一的极坐标方程为。

二、方法与例题

1．与定义有关的问题。

例1

已知定点A（2，1），F是椭圆的左焦点，点P为椭圆上的动点，当3|PA|+5|PF|取最小值时，求点P的坐标。

[解]

见图11-1，由题设a=5,b=4,c==3,.椭圆左准线的方程为，又因为，所以点A在椭圆内部，又点F坐标为（-3，0），过P作PQ垂直于左准线，垂足为Q。由定义知，则|PF|=|PQ|。

所以3|PA|+5|PF|=3(|PA|+|PF|)=3(|PA|+|PQ|)≥3|AM|(AM左准线于M)。

所以当且仅当P为AM与椭圆的交点时，3|PA|+5|PF|取最小值，把y=1代入椭圆方程得，又xb>0）.F坐标为(-c,0).设另一焦点为。连结，OP，则。所以|FP|+|PO|=(|FA|+|A|)=a.

所以点P的轨迹是以F，O为两焦点的椭圆（因为a>|FO|=c），将此椭圆按向量m=(,0)平移，得到中心在原点的椭圆：。由平移公式知，所求椭圆的方程为

[解法二]

相关点法。设点P(x,y),A(x1,y1)，则，即x1=2x+c,y1=2y.

又因为点A在椭圆上，所以代入得关于点P的方程为。它表示中心为，焦点分别为F和O的椭圆。

例4

长为a,b的线段AB，CD分别在x轴，y轴上滑动，且A，B，C，D四点共圆，求此动圆圆心P的轨迹。

[解]

设P(x,y)为轨迹上任意一点，A，B，C，D的坐标分别为A(x-,0),B(x+,0),C(0,y-),D(0,y+),记O为原点，由圆幂定理知|OA|?|OB|=|OC|?|OD|，用坐标表示为，即

当a=b时，轨迹为两条直线y=x与y=-x；

当a>b时，轨迹为焦点在x轴上的两条等轴双曲线；

当a0,b>0)的右焦点F作B1B2轴，交双曲线于B1，B2两点，B2与左焦点F1连线交双曲线于B点，连结B1B交x轴于H点。求证：H的横坐标为定值。

[证明]

设点B，H，F的坐标分别为(asecα,btanα),(x0,0),(c,0)，则F1，B1，B2的坐标分别为(-c,0),(c,),(c,)，因为F1，H分别是直线B2F，BB1与x轴的交点，所以

①

所以

。

由①得

代入上式得

即

（定值）。

注：本例也可借助梅涅劳斯定理证明，读者不妨一试。

例7

设抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F，经过点F的直线交抛物线于A，B两点，点C在准线上，且BC//x轴。证明：直线AC经过定点。

[证明]

设，则，焦点为，所以，，，。由于，所以?y2-y1=0，即=0。因为，所以。所以，即。所以，即直线AC经过原点。

例8

椭圆上有两点A，B，满足OAOB，O为原点，求证：为定值。

[证明]

设|OA|=r1,|OB|=r2,且∠xOA=θ,∠xOB=，则点A，B的坐标分别为A(r1cosθ,r1sinθ),B(-r2sinθ,r2cosθ)。由A，B在椭圆上有

即

①

②

①+②得（定值）。

4．最值问题。

例9

设A，B是椭圆x2+3y2=1上的两个动点，且OAOB（O为原点），求|AB|的最大值与最小值。

[解]

由题设a=1，b=,记|OA|=r1,|OB|=r2,，参考例8可得=4。设m=|AB|2=,因为，且a2>b2，所以，所以b≤r1≤a，同理b≤r2≤a.所以。又函数f(x)=x+在上单调递减，在上单调递增，所以当t=1即|OA|=|OB|时，|AB|取最小值1；当或时，|AB|取最大值。

例10

设一椭圆中心为原点，长轴在x轴上，离心率为，若圆C：1上点与这椭圆上点的最大距离为，试求这个椭圆的方程。

[解]

设A，B分别为圆C和椭圆上动点。由题设圆心C坐标为，半径|CA|=1，因为|AB|≤|BC|+|CA|=|BC|+1，所以当且仅当A，B，C共线，且|BC|取最大值时，|AB|取最大值，所以|BC|最大值为

因为；所以可设椭圆半长轴、半焦距、半短轴长分别为2t,,t，椭圆方程为，并设点B坐标为B(2tcosθ,tsinθ)，则|BC|2=(2tcosθ)2+=3t2sin2θ-3tsinθ++4t2=-3(tsinθ+)2+3+4t2.

若，则当sinθ=-1时，|BC|2取最大值t2+3t+，与题设不符。

若t>,则当sinθ=时，|BC|2取最大值3+4t2，由3+4t2=7得t=1.

所以椭圆方程为。

5．直线与二次曲线。

例11

若抛物线y=ax2-1上存在关于直线x+y=0成轴对称的两点，试求a的取值范围。

[解]

抛物线y=ax2-1的顶点为(0,-1)，对称轴为y轴，存在关于直线x+y=0对称两点的条件是存在一对点P(x1,y1)，(-y1,-x1)，满足y1=a且-x1=a(-y1)2-1，相减得x1+y1=a(),因为P不在直线x+y=0上，所以x1+y1≠0,所以1=a(x1-y1)，即x1=y1+

所以此方程有不等实根，所以，求得，即为所求。

例12

若直线y=2x+b与椭圆相交，（1）求b的范围；（2）当截得弦长最大时，求b的值。

[解]

二方程联立得17x2+16bx+4(b2-1)=0.由Δ>0，得0)，则动点的轨迹是________.

3．椭圆上有一点P，它到左准线的距离是10，它到右焦点的距离是________.

4．双曲线方程，则k的取值范围是________.

5．椭圆，焦点为F1，F2，椭圆上的点P满足∠F1PF2=600，则ΔF1PF2的面积是________.

6．直线l被双曲线所截的线段MN恰被点A（3，-1）平分，则l的方程为________.

7．ΔABC的三个顶点都在抛物线y2=32x上，点A（2，8），且ΔABC的重心与这条抛物线的焦点重合，则直线BC的斜率为________.

8．已知双曲线的两条渐近线方程为3x-4y-2=0和3x+4y-10=0，一条准线方程为5y+4=0，则双曲线方程为________.

9．已知曲线y2=ax，与其关于点（1，1）对称的曲线有两个不同的交点，如果过这两个交点的直线的倾斜角为450，那么a=________.

10.P为等轴双曲线x2-y2=a2上一点，的取值范围是________.

11．已知椭圆与双曲线有公共的焦点F1，F2，设P是它们的一个焦点，求∠F1PF2和ΔPF1F2的面积。

12．已知（i）半圆的直径AB长为2r；（ii）半圆外的直线l与BA的延长线垂直，垂足为T，设|AT|=2a(2a1)的一个顶点C（0，1）为直角顶点作此椭圆的内接等腰直角三角形ABC，这样的三角形最多可作_________个.

11．求椭圆上任一点的两条焦半径夹角θ的正弦的最大值。

12．设F，O分别为椭圆的左焦点和中心，对于过点F的椭圆的任意弦AB，点O都在以AB为直径的圆内，求椭圆离心率e的取值范围。

13．已知双曲线C1：(a>0)，抛物线C2的顶点在原点O，C2的焦点是C1的左焦点F1。

（1）求证：C1，C2总有两个不同的交点。

（2）问：是否存在过C2的焦点F1的弦AB，使ΔAOB的面积有最大值或最小值？若存在，求直线AB的方程与SΔAOB的最值，若不存在，说明理由。

五、联赛一试水平训练题

1．在平面直角坐标系中，若方程m(x2+y2+2y+1)=(x-2y+3)2表示的曲线为椭圆，则m的取值范围是_________.

2．设O为抛物线的顶点，F为焦点，且PQ为过F的弦，已知|OF|=a，|PQ|=b，ΔOPQ面积为_________.

3．给定椭圆，如果存在过左焦点F的直线交椭圆于P，Q两点，且OPOQ，则离心率e的取值范围是_________.

4．设F1，F2分别是双曲线(a>b>0)的左、右焦点，P为双曲线上的动点，过F1作∠F1PF2平分线的垂线，垂足为M，则M的轨迹为_________.

5．ΔABC一边的两顶点坐标为B（0，）和C（0，），另两边斜率的乘积为，若点T坐标为(t,0)(t∈R+),则|AT|的最小值为_________.

6．长为l(l0),P(x,y)为轨迹上任一点，则。化简为2k2x2+2y2=m2(1+k2).

当k≠1时，表示椭圆；当k=1时，表示圆。

3．12．由题设a=10,b=6,c=8，从而P到左焦点距离为10e=10×=8,所以P到右焦点的距离为20-8=12。

4．-25或-20,设x1,x2是方程②的两根，由韦达定理

③

由①，③得

y1+y2=kx1+(1-2k)+kx2+(1-2k)

=k(x1+x2)+2(1-2k)=

④

设P1P2的中点P坐标(x,y)，由中点公式及③，④得

消去k得

点（2，0）满足此方程，故这就是点P的轨迹方程。

高考水平测试题

1．由椭圆方程得焦点为，设双曲线方程，渐近线为由题设，所以a2=3b2,又,c2=a2+b2.

所以b2=12,a2=36.

2.

900。见图1，由定义得|FA|=|AA1|,|FB|=|BB1|，有∠1=∠BFB1，∠2=∠AFA1，又∠1=∠3，∠2=∠4，所以∠3+∠4=∠BFB1+∠AFA1=900。

3．相切，若P(x,y)在左支上，设F1为左焦点，F2为右焦点，M为PF1中点，则|MO|=|PF2|=(a-ex)，又|PF1|=-a-ex，所以两圆半径之和(-a-ex)+a=(a-ex)=|MO|，所以两圆外切。当P(x,y)在右支上时，同理得两圆内切。

4．与F1对应的另一条准线为x=-11，因|MF1|与M到直线x=-11距离d1之比为e，且d1=|xm+11|=10.所以，所以|MF1|=

5．充要。将y=2x+1代入椭圆方程得(b2+4a2)x2+4a2x+a2

(1-b2)=0.

①

若Δ=(4a2)

2-4(b2+4a2)a2

(1-b2)=0，则直线与椭圆仅有一个公共点，即b2+4a2=1；反之，4a2+b2=1，直线与椭圆有一个公共点。

6．y=2(x-1)。消去参数得(y-2m)

2=4(x-m)，焦点为它在直线y=2(x-1)上。

7．1≤mm,所以1≤m0)，CA的直线方程为y=kx+1，代入椭圆方程为(a2k2+1)x2+2a2kx=0，得x=0或，于是，|CA|=

由题设，同理可得|CB|=,利用|CA|=|CB|可得

(k-1)[k2-(a2-1)k+1]=0,解得

k=1或k2-(a2-1)k+1]=0。①

对于①，当1时，①有两个不等实根，故最多有3个。

11．解

设焦点为F1，F2，椭圆上任一点为P(x0,y0),∠F1PF2=θ,根据余弦定理得

|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|?|PF2|cosθ,又|PF1|+|PF2|=2a，则4c2=(2a)2-2|PF1|?|PF2|(1+cosθ),再将|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0及a2=b2+c2代入得4b2=2(a2-e2)(1+cosθ).

于是有

由0，得，所以。因θ∈[0，π]，所以cosθ为减函数，故0

当2b2>a2即时，，arccos，sinθ为增函数，sinθ取最大值；当2b2≤a2时，arccos,θ∈[0,π]，则sinθ最大值为1。

12．解

设A(x1,y1),B(x2,y2)，若AB斜率不为0，设为k，直线AB方程为y=k(x+c)，代入椭圆方程并化简得

(b2+a2k2)x2+2a2k2cx+a2

(k2c2-b2)=0.

①

则x1,x2为方程①的两根，由韦达定理得

②

③

因为y1y2=k2(x1+c)(x2+c)，再由②，③得

所以=x1x2+y1y2=,O点在以AB为直径的圆内，等价0，所以方程②必有两个不同实根，设为x1,x2,由韦达定理得x1x2=-a20，设y1,y2分别为A，B的纵坐标，则y1+y2=,y1y2=-12a2.所以(y1-y2)2=48a2(m2+1).所以SΔAOB=|y1-y2|?|OF1|=a?a?，当且仅当m=0时，SΔAOB的面积取最小值；当m→+∞时，SΔAOB→+∞，无最大值。所以存在过F的直线x=使ΔAOB面积有最小值6a2.

联赛一试水平训练题

1．m>5.由已知得，说明(x,y)到定点（0,-1）与到定直线x-2y+3=0的距离比为常数，由椭圆定义5.

2.因为b=|PQ|=|PF|+|QF|=,所以。所以SΔOPQ=absinθ=.

3.。设点P坐标为(r1cosθ,r1sinθ),点Q坐标为(-r2sinθ,r2cosθ)，因为P，Q在椭圆上，可得，RtΔOPQ斜边上的高为≤|OF|=c.

所以a2b2≤c2(a2+b2)，解得≤e1时|AT|min=|t-2|.由题设kAB?kAC=-,设A(x,y)，则(x≠0)，整理得=1(x≠0)，所以|AT|2=(x-t)2+y2=(x-t)2+(x-2t)2+2-t2.因为|x|≤2,所以当t∈(0,1]时取x=2t,|AT|取最小值。当t>1时，取x=2，|AT|取最小值|t-2|.

6.设点M(x0,y0)

，直线AB倾斜角为θ，并设A(x0-),B(x0+),因为A，B在抛物线上，所以

①

②

由①，②得

2x0cosθ=sinθ.

③

所以

因为l20，从而时取值最大，此时，故；当时，xp=-a2，yp=,此时以下比较与的大小。令，得，故当00，所以，从而

所以直线l的方程为，抛物线C的方程为

联赛二试水平训练题

1．以A为原点，直线AC为x轴，建立直角坐标系，设C(c,0),F(f,0),D(xD,kxD),B(xB,-kxB)，则直线DF的方程为

①

直线BC的方程为

②

c×①-f×②得

(c-f)x+

③

③表示一条直线，它过原点，也过DF与BC的交点G，因而③就是直线AG的方程。

同理

，直线AE的方程为

(c-f)x+

④

③，④的斜率互为相反数，所以∠GAC=∠EAC。

2．证明

假设这样的闭折线存在，不妨设坐标原点是其中一个顶点，记它为A0，其他顶点坐标为：，…，，其中都是既约分数，并记An+1=A0.若p与q奇偶性相同，则记p≡q，否则记p≠q，下面用数学归纳法证明。

bk≡1,dk≡1(k=1,2,…,n)，ak+ck≠ak-1+ck-1(k=1,2,…,n,n+1)。

当k=1时，由，得，因为a1,b1互质，所以d1被b1整除，反之亦然（即b1被d1整除）。

因此b1=±d1，从而不可能都是偶数（否则b1也是偶数，与互质矛盾）；不可能都是奇数，因为两个奇数的平方和模8余2不是4的倍数，也不可能是完全平方数，因此，a1≠c1,b1≡d1≡1，并且a1+c1≠0=a0+c0.

设结论对k=1,2,…,m-1≤n都成立，令

这里是既约分数，因为每一段的长为1，所以=1，与k=1情况类似：a≡c,d≡b≡1，又因为，分数既约，所以bm是bbm-1的一个因子，bm≡1.

同理可知dm≡1,又am≡abm-1+bam-1（同理cm≡cdm-1+dcm-1）.

因此(am+cm-am-1-cm-1)≡(abm-1+bam-1+cdm-1+dcm-1-am-1-cm-1)≡am-1(b-1)+abm-1+cm-1(d-1)+cdm-1≡a+c≡1.

所以am+cm≠am-1+cm-1，结论成立，于是在顶点数n+1为奇数时，an+1+cn+1≠a0+c0，故折线不可能是闭的。

3．证明

（1）由已知B0P0=B0Q0，并由圆弧P0Q0和Q0P0，Q0P1和P1Q1，P1Q1和Q1P1分别相内切于点Q0，P1，Q1，得C1B0+B0Q0=C1P1，B1C1+C1P1=B1C0+C0Q1以及C0Q1=C0B0+，四式相加，利用B1C1+C1B0=B1C0+C0B0，以及。在B0P0或其延长线上，有B0P0=B0，从而可知点与点P0重合。由于圆弧Q1P0的圆心C0，圆弧P0Q0的圆心B0以及P0在同一直线上，所以圆弧Q1P0和P0Q0相内切于点P0。

（2）现分别过点P0和P1引上述相应相切圆弧的公切线P0T和P1T交于点T。又过点Q1引相应相切圆弧的公切线R1S1，分别交P0T和P1T于点R1和S1，连接P0Q1和P1Q1，得等腰ΔP0Q1R1和ΔP1Q1S1，由此得∠P0Q1P1=π-∠P0Q1P1-∠P1Q1S1=π-(∠P1P0T-∠Q1P0P)-(∠P0P1T-∠Q1P1P0),而π-∠P0Q1P1=∠Q1P0P1+∠Q1P1P0，代入上式后，即得∠P0Q1P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0).

同理得∠P0Q0P1=π-(∠P0B0Q0+∠P1C1Q0)，所以P0，Q0，Q1，P1共圆。

4．证明

引理：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)在(x0,y0)处的切线斜率是2ax0+b.

引理的证明：设(x0,y0)处的切线方程为y-y0=k(x-x0)，代入抛物线方程得

ax2+(b-k)x+c+kx0-y0=0.

①

又

故①可化简成

(x-x0)[a(x+x0)+b-k]=0,②

因为②只有一个实根，所以k=2ax0+b.引理得证。

设P(x0,y0)为任一正交点，则它是由线y=x?tan?x2与y=x?tan?x2的交点，则两条切线的斜率分别为（由引理）

又由题设k1k2=-1，所以

③

又因为P(x0,y0)在两条抛物线上，所以

代入③式得

（※）

又因为tanα1,tanα2是方程?t2-t+=0的两根，所以

tanα1+tanα2=

④

tanα1?tanα2=。

⑤

把④，⑤代入（※）式得

，即

5．证明

以C为原点，CB所在直线为x轴，建立直角坐标系，设∠ADC=θ，|PD|=r.各点坐标分别为D(x1,0),E(0,x1),A(0,x1tanθ),B(x0,0),P(x1-rcosθ,rsinθ).

则lAB方程为，即x1x+x0?cotθ?y-x1x0=0,因为lAB与圆相切，可得x1?=x0x1?cotθ-x1x0|，约去x1,再两边平方得

，所以?x1.

①

又因为点P在圆上，所以(rcos)2+(x1-rsin)2=，化简得r=2x1sin.

②

要证DP=AP+AE2DP=AD+AE2r=+x1tan-x11+sin-cos=4sincos.

③

又因为，所以

因为=(x1-x0-rcosθ,rsinθ),=(x1-rcosθ,rsinθ),所以

(x1-rcosθ)(x1-rcosθ-x0)+r2sin2θ=0.

④

把②代入④化简得

⑤

由①得x0=x1?

代入⑤并约去x1,化简得4sin22-3sin2=0，因为sin2≠0，所以sin2=，又因为sin==cos，所以sin-cos>0.

所以sin-cos=，所以1+sin-cos==4sincos，即③成立。所以DP=AP+AE。

6．证明

设BC=d，CD=b，BD=c，则AC=CQ=，取BC中点M，则AMBC，以M为原点，直线BC为x轴建立直角坐标系，则各点坐标分别为，，，，，因为，所以点，所以

因为0<∠DRC<，0<∠ASQ<π，所以只需证tan∠ASQ=tan2∠DRC,即，化简得9d2-9c2-9b2=0即d2=b2+c2，显然成立。所以命题得证。