韩信点兵问题及其算法（韩信点兵问题）

1、中国剩余定理 民间传说着一则故事——“韩信点兵”。

2、秦朝末年，楚汉相争。

3、一次，韩信将1500名将士与楚王大将李锋交战。

4、苦战一场，楚军不敌，败退回营，汉军也死伤四五百人，于是韩信整顿兵马也返回大本营。

5、当行至一山坡，忽有后军来报，说有楚军骑兵追来。

6、只见远方尘土飞扬，杀声震天。

7、汉军本来已十分疲惫，这时队伍大哗。

8、韩信兵马到坡顶，见来敌不足五百骑，便急速点兵迎敌。

9、他命令士兵3人一排，结果多出2名；接着命令士兵5人一排，结果多出3名；他又命令士兵7人一排，结果又多出2名。

10、韩信马上向将士们宣布：我军有1073名勇士，敌人不足五百，我们居高临下，以众击寡，一定能打败敌人。

11、汉军本来就信服自己的统帅，这一来更相信韩信是“神仙下凡”、“神机妙算”。

12、于是士气大振。

13、一时间旌旗摇动，鼓声喧天，汉军步步进逼，楚军乱作一团。

14、交战不久，楚军大败而逃。

15、在一千多年前的《孙子算经》中，有这样一道算术题： “今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二，问物几何？”按照今天的话来说：一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求这个数. 这样的问题，也有人称为“韩信点兵”.它形成了一类问题，也就是初等数论中解同余式.这类问题的有解条件和解的方法被称为“中国剩余定理”，这是由中国人首先提出的. ① 有一个数，除以3余2，除以4余1，问这个数除以12余几？ 解：除以3余2的数有： 2， 5， 8， 11，14， 17， 20， 23…. 它们除以12的余数是： 2，5，8，11，2，5，8，11，…. 除以4余1的数有： 1， 5， 9， 13， 17， 21， 25， 29，…. 它们除以12的余数是： 1， 5， 9， 1， 5， 9，…. 一个数除以12的余数是唯一的.上面两行余数中，只有5是共同的，因此这个数除以12的余数是5. 如果我们把①的问题改变一下，不求被12除的余数，而是求这个数.很明显，满足条件的数是很多的，它是 5＋12×整数， 整数可以取0，1，2，…，无穷无尽.事实上，我们首先找出5后，注意到12是3与4的最小公倍数，再加上12的整数倍，就都是满足条件的数.这样就是把“除以3余2，除以4余1”两个条件合并成“除以12余5”一个条件.《孙子算经》提出的问题有三个条件，我们可以先把两个条件合并成一个.然后再与第三个条件合并，就可找到答案. ②一个数除以3余2，除以5余3，除以7余2，求符合条件的最小数. 解：先列出除以3余2的数： 2， 5， 8， 11， 14， 17， 20， 23， 26，…， 再列出除以5余3的数： 3， 8， 13， 18， 23， 28，…. 这两列数中，首先出现的公共数是8.3与5的最小公倍数是15.两个条件合并成一个就是8＋15×整数，列出这一串数是8， 23， 38，…，再列出除以7余2的数 2， 9， 16， 23， 30，…， 就得出符合题目条件的最小数是23. 事实上，我们已把题目中三个条件合并成一个：被105除余23. 那么韩信点的兵在1000-1500之间，应该是105×10+23=1073人首先找出能被5与7整除而被3除余1的数70，被3与7整除而被5除余1的数21，被3与5整除而被7除余1的数15。

16、所求数被3除余2，则取数70×2＝140，140是被5与7整除而被3除余2的数。

17、所求数被5除余3，则取数21×3＝63，63是被3与7整除而被5除余3的数。

18、所求数被7除余2，则取数15×2=30，30是被3与5整除而被7除余2的数。

19、又，140＋63＋30=233，由于63与30都能被3整除，故233与140这两数被3除的余数相同，都是余2，同理233与63这两数被5除的余数相同，都是3，233与30被7除的余数相同，都是2。

20、所以233是满足题目要求的一个数。

21、而3、5、7的最小公倍数是105，故233加减105的整数倍后被3、5、7除的余数不会变，从而所得的数都能满足题目的要求。

22、由于所求仅是一小队士兵的人数，这意味着人数不超过100，所以用233减去105的2倍得23即是所求。