_学年高中数学3.2古典概型学案新人教B版必修1

2016_2017学年高中数学3.2古典概型学案新人教B版必修1本文简介：3.2古典概型1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点)2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)[基础·初探]教材整理1古典概型阅读教材P102～P103“例1”以上部分，完成下列问题.1.古典概型(1)古典概型的概念：同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：①有限性：在一次试验中，

2016_2017学年高中数学3.2古典概型学案新人教B版必修1本文内容：

3.2

古典概型

1.理解古典概型及其概率计算公式，会判断古典概型.(难点)

2.会用列举法求古典概型的概率.(重点)

[基础·初探]

教材整理1

古典概型

阅读教材P102～P103“例1”以上部分，完成下列问题.

1.古典概型

(1)古典概型的概念：

同时具有以下两个特征的试验称为古典概型：

①有限性：在一次试验中，可能出现的结果只有有限个，即只有有限个不同的基本事件；

②等可能性：每个基本事件发生的可能性是均等的.

(2)概率的古典定义：

在基本事件总数为n的古典概型中，

①每个基本事件发生的概率为；

②如果随机事件A包含的基本事件数为m，由互斥事件的概率加法公式可得P(A)＝，所以在古典概型中P(A)＝，这一定义称为概率的古典定义.

1.判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若一次试验的结果所包含的基本事件的个数为有限个，则该试验符合古典概型.(

)

(2)“抛掷两枚硬币，至少一枚正面向上”是基本事件.(

)

(3)从装有三个大球、一个小球的袋中，取出一球的试验是古典概型.(

)

(4)一个古典概型的基本事件数为n，则每一个基本事件出现的概率都是.(

)

【答案】

(1)×

(2)×

(3)×

(4)√

2.甲、乙、丙三名同学站成一排，甲站在中间的概率是(

)

A.

B.

C.

D.

【解析】

基本事件有：甲乙丙、甲丙乙、乙甲丙、乙丙甲、丙甲乙、丙乙甲共六个，甲站在中间的事件包括乙甲丙、丙甲乙共2个，所以甲站在中间的概率：P＝＝.

【答案】

C

教材整理2

概率的一般加法公式(选学)

阅读教材P106～P107，完成下列问题.

1.事件A与B的交(或积)：

由事件A和B同时发生所构成的事件D，称为事件A与B的交(或积)，记作D＝A∩B(或D＝AB).

2.设A，B是Ω的两个事件，则有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)，这就是概率的一般加法公式.

已知A，B是两个事件，且P(A∪B)＝0.2，P(A)＝P(B)＝0.3，则P(AB)＝________.

【解析】

由概率的一般加法公式P(AB)＝－P(A∪B)＋P(A)＋P(B)＝0.3＋0.3－0.2＝0.4.

【答案】

0.4

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

疑问2：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

疑问3：_________________________________________________________

解惑：_________________________________________________________

[小组合作型]

基本事件和古典概型的判断

(1)抛掷一枚骰子，下列不是基本事件的是(

)

A.向上的点数是奇数

B.向上的点数是3

C.向上的点数是4

D.向上的点数是6

(2)下列是古典概型的是(

)

A.任意抛掷两枚骰子，所得点数之和作为基本事件

B.求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为基本事件

C.从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率

D.抛掷一枚质地均匀的硬币首次出现正面为止

【精彩点拨】

结合基本事件及古典概型的定义进行判断，基本事件是最小的随机事件，而古典概型具有两个特征——有限性和等可能性.

【尝试解答】

(1)向上的点数是奇数包含三个基本事件：向上的点数是1，向上的点数是3，向上的点数是5，则A项不是基本事件，B，C，D项均是基本事件.故选A.

(2)A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的基本事件是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中基本事件既不是有限个也不具有等可能性，故D不是.

【答案】

(1)A

(2)C

1.基本事件具有以下特点：①不可能再分为更小的随机事件；②两个基本事件不可能同时发生.

2.判断随机试验是否为古典概型，关键是抓住古典概型的两个特征——有限性和等可能性，二者缺一不可.

[再练一题]

1.下列试验是古典概型的为________.

①从6名同学中选出4人参加数学竞赛，每人被选中的可能性大小；

②同时掷两颗骰子，点数和为6的概率；

③近三天中有一天降雨的概率；

④10人站成一排，其中甲、乙相邻的概率.

【解析】

①②④是古典概型，因为符合古典概型的定义和特点.③不是古典概型，因为不符合等可能性，降雨受多方面因素影响.

【答案】

①②④

基本事件的计数问题

有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验：用(x，y)表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具朝下的点数，y表示第2个正四面体玩具朝下的点数.试写出：

(1)试验的基本事件；

(2)事件“朝下点数之和大于3”；

(3)事件“朝下点数相等”；

(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”.

【精彩点拨】

根据事件的定义，按照一定的规则找到试验中所有可能发生的结果，列举出来即可.

【尝试解答】

(1)这个试验的基本事件为：

(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).

(2)事件“朝下点数之和大于3”包含以下13个基本事件：

(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4).

(3)事件“朝下点数相等”包含以下4个基本事件：(1,1)，(2,2)，(3,3)，(4,4).

(4)事件“朝下点数之差的绝对值小于2”包含以下10个基本事件：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4).

1.在求基本事件时，一定要按规律去写，这样不容易漏写.

2.确定基本事件是否与顺序有关.

3.写基本事件时，主要用列举法，具体写时可用列表法或树状图法.

[再练一题]

2.列出下列各试验中的基本事件，并指出基本事件的个数(不考虑先后顺序).

(1)从字母a，b，c中任意取出两个字母的试验；

(2)从装有形状、大小完全一样且分别标有1,2,3,4,5号的5个球的袋中任意取出两个球的试验.

【导学号：25440051】

【解】

(1)从三个字母中任取两个字母的所有等可能结果即基本事件.

分别是(a，b)，(a，c)，(b，c)共3个.

(2)从袋中取两个球的等可能结果为：

球1和球2，球1和球3，球1和球4，球1和球5，

球2和球3，球2和球4，球2和球5，球3和球4，

球3和球5，球4和球5.

故共有10个基本事件.

简单的古典概型的概率计算

袋子中装有除颜色外其他均相同的编号为a，b的2个黑球和编号为c，d，e的3个红球，从中任意摸出2个球.

(1)写出所有不同的结果；

(2)求恰好摸出1个黑球和1个红球的概率；

(3)求至少摸出1个黑球的概率.

【精彩点拨】

(1)可以利用初中学过的树状图写出；(2)找出恰好摸出1个黑球和1个红球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出；(3)找出至少摸出1个黑球的基本事件，利用古典概型的概率计算公式求出.

【尝试解答】

(1)用树状图表示所有的结果为：

所以所有不同的结果是ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，cd，ce，de.

(2)记“恰好摸出1个黑球和1个红球”为事件A，

则事件A包含的基本事件为ac，ad，ae，bc，bd，be，共6个基本事件，

所以P(A)＝＝0.6，

即恰好摸出1个黑球和1个红球的概率为0.6.

(3)记“至少摸出1个黑球”为事件B，

则事件B包含的基本事件为ab，ac，ad，ae，bc，bd，be，共7个基本事件，

所以P(B)＝＝0.7，

即至少摸出1个黑球的概率为0.7.

1.求古典概型概率的计算步骤：

(1)确定基本事件的总数n；

(2)确定事件A包含的基本事件的个数m；

(3)计算事件A的概率P(A)＝.

2.解决古典概型问题的基本方法是列举法，但对于较复杂的古典概型问题，可采用转化的方法：一是将所求事件转化为彼此互斥事件的和；二是先求对立事件的概率，再求所求事件的概率.

[再练一题]

3.袋中有红、白色球各一个，每次任取一个，有放回地摸三次，求基本事件的个数，写出所有基本事件的全集，并计算下列事件的概率：

(1)三次颜色恰有两次同色；(2)三次颜色全相同；(3)三次摸到的红球多于白球.

【解】

每个基本事件为(x，y，z)，其中x，y，z分别取红、白球，故基本事件个数n＝8个.全集I＝{(红，红，红)，(红，红，白)，(红，白，红)，(白，红，红)，(红，白，白)，(白，红，白)，(白，白，红)，(白，白，白)}.

(1)记事件A为“三次颜色恰有两次同色”.

∵A中含有基本事件个数为m＝6，

∴P(A)＝＝＝0.75.

(2)记事件B为“三次颜色全相同”.

∵B中含基本事件个数为m＝2，

∴P(B)＝＝＝0.25.

(3)记事件C为“三次摸到的红球多于白球”.

∵C中含有基本事件个数为m＝4，

∴P(C)＝＝0.5.

概率的一般加法公式(选学)

甲、乙、丙、丁四人参加4×100米接力赛，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率.

【精彩点拨】

由于一人跑四棒中的任一棒都是等可能的，故此试验是古典概型，可以利用概率的一般加法公式求解.

【尝试解答】

设事件A为“甲跑第一棒”，事件B为“乙跑第四棒”，则P(A)＝，P(B)＝.记甲跑第x棒，乙跑第y棒，则结果可记为(x，y)，共有12种等可能结果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3).

而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一种可能：(1,4)，

故P(A∩B)＝.

所以，甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.

概率的一般加法公式与概率的加法公式在限制条件上的区别为：

(1)在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A、B是互斥事件；

(2)在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A、B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件.可借助Venn图直观理解.

[再练一题]

4.在对200家公司的最新调查中发现，40%的公司在大力研究广告效果，50%的公司在进行短期销售预测，而30%的公司在从事这两项研究.假设从这200家公司中任选一家，记事件A为“该公司在研究广告效果”，记事件B为“该公司在进行短期销售预测”，求P(A)，P(B)，P(A∪B).

【解】

P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，

又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，

∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.

[探究共研型]

基本事件的特征

探究1

为什么说基本事件是彼此互斥的？

【提示】

基本事件是试验的最基本结果，这些基本结果不能用其他结果加以描述.在一次试验中，只可能出现一种结果，即产生一个基本事件，如掷骰子试验中，一次试验只会出现一个点数，任何两个点数不可能在一次试验中同时发生，即基本事件不可能同时发生，因而基本事件是彼此互斥的，但其他试验结果都可以用基本事件加以描述.

探究2

基本事件的表示方法有哪些？

【提示】

写出所有的基本事件可采用的方法较多，例如列表法、坐标系法、树状图法，但不论采用哪种方法，都要按一定的顺序进行，做到不重不漏.

古典概型的特征

探究3

古典概型有何特点？何为非古典概型？

【提示】

一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点：有限性和等可能性，并不是所有的试验都是古典概型.

下列三类试验都不是古典概型：

(1)基本事件个数有限，但非等可能；

(2)基本事件个数无限，但等可能；

(3)基本事件个数无限，也不等可能.

探究4

举例说明古典概型的概率与模型选择无关？

【提示】

以“甲、乙、丙三位同学站成一排，计算甲站在中间的概率”为例，若从三个同学的站位顺序来看，则共有“甲乙丙”、“甲丙乙”、“乙甲丙”、“乙丙甲”、“丙甲乙”、“丙乙甲”六种结果，其中“甲站在中间”包含“乙甲丙”、“丙甲乙”两个基本事件，因此所求事件的概率为P＝＝；若仅从甲的站位来看，则只有“甲站1号位”、“甲站2号位”、“甲站3号位”三种结果，其中“甲站在中间”只有“甲站2号位”这一种情况，因此所求概率为P＝.

先后抛掷两枚大小相同的骰子.

(1)求点数之和出现7点的概率；

(2)求出现两个4点的概率；

(3)求点数之和能被3整除的概率.

【精彩点拨】

明确先后掷两枚骰子的基本事件总数，然后用古典概型概率计算公式求解，可借图来确定基本事件情况.

【尝试解答】

如图所示，从图中容易看出基本事件与所描点一一对应，共36种.

(1)记“点数之和出现7点”为事件A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共6个：(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6).故P(A)＝＝.

(2)记“出现两个4点”为事件B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件只有1个，即(4,4).故P(B)＝.

(3)记“点数之和能被3整除”为事件C，则事件C包含的基本事件共12个：(1,2)，(2,1)，(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)，(3,6)，(6,3)，(4,5)，(5,4)，(6,6).故P(C)＝＝.

1.在求概率时，若事件可以表示成有序数对的形式，则可以把全体基本事件用平面直角坐标系中的点表示，以便我们准确地找出***所包含的基本事件个数.

2.数形结合能使解决问题的过程变得形象、直观，给问题的解决带来方便.

[再练一题]

5.抛掷两颗骰子，求：

(1)点数之和是4的倍数的概率；

(2)点数之和大于5小于10的概率.

【解】

如图，基本事件共有36种.

(1)记“点数之和是4的倍数”的事件为A，从图中可以看出，事件A包含的基本事件共有9个：(1,3)，(2,2)，(2,6)，(3,1)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(6,6)，所以P(A)＝.

(2)记“点数之和大于5小于10”的事件为B，从图中可以看出，事件B包含的基本事件共有20个.即(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)，(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，(3,6)，(4,5)，(5,4)，(6,3).所以P(B)＝.

[构建·体系]

1.同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的基本事件数是(

)

A.3

B.4

C.5

D.6

【解析】

事件A包含的基本事件有6个：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1).

【答案】

D

2.下列关于古典概型的说法中正确的是(

)

①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个基本事件出现的可能性相等；④基本事件的总数为n，随机事件A若包含k个基本事件，则P(A)＝.

A.②④

B.①③④

C.①④

D.③④

【解析】

根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确.

【答案】

B

3.从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(

)

A.

B.

C.

D.1

【解析】

从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲、乙)、(甲、丙)、(乙、丙)共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.

【答案】

C

4.据报道：2015年我国高校毕业生为749万人，创历史新高，就业压力进一步加大.若某公司从五位大学毕业生甲、乙、丙、丁、戊中录用三人，这五人被录用的机会均等，则甲或乙被录用的概率为________.

【解析】

记事件A：甲或乙被录用.从五人中录用三人，基本事件有(甲，乙，丙)、(甲，乙，丁)、(甲，乙，戊)、(甲，丙，丁)、(甲，丙，戊)、(甲，丁，戊)、(乙，丙，丁)、(乙，丙，戊)、(乙，丁，戊)、(丙，丁，戊)，共10种可能，而A的对立事件仅有(丙，丁，戊)一种可能，∴A的对立事件的概率为P()＝，

∴P(A)＝1－P()＝.

【答案】

5.一个盒子里装有完全相同的十个小球，分别标上1,2,3，…，10这10个数字，今随机地抽取两个小球，如果：

(1)小球是不放回的；

(2)小球是有放回的.

分别求两个小球上的数字为相邻整数的概率.

【导学号：25440052】

【解】

随机选取两个小球，记事件A为“两个小球上的数字为相邻整数”，可能结果为(1,2)，(2,3)，(3,4)，(4,5)，(5,6)，(6,7)，(7,8)，(8,9)，(9,10)，(2,1)，(3,2)，(4,3)，(5,4)，(6,5)，(7,6)，(8,7)，(9,8)，(10,9)共18种.

(1)如果小球是不放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，共有可能结果90种.

因此，事件A的概率是＝＝.

(2)如果小球是有放回的，按抽取顺序记录结果(x，y)，则x有10种可能，y有10种可能，共有可能结果100种.

因此，事件A的概率是＝.

我还有这些不足：

(1)_________________________________________________________

(2)_________________________________________________________

我的课下提升方案：

(1)_________________________________________________________

(2)_________________________________________________________