高考数学第10章概率第2节古典概型教师用书文北师大版

2018高考数学第10章概率第2节古典概型教师用书文北师大版本文简介：第二节古典概型[考纲传真]1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．1．古典概型具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；(2)每一个试验结果出现的可

2018高考数学第10章概率第2节古典概型教师用书文北师大版本文内容：

第二节

古典概型

[考纲传真]

1.理解古典概型及其概率计算公式.2.会用列举法计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率．

1．古典概型

具有以下两个特征的随机试验的数学模型称为古典概型(古典的概率模型)．

(1)试验的所有可能结果只有有限个，每次试验只出现其中的一个结果；

(2)每一个试验结果出现的可能性相同．

2．古典概型的概率公式

P(A)＝＝.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽与不发芽”．(

)

(2)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件．(

)

(3)从－3，－2，－1,0,1,2中任取一数，取到的数小于0与不小于0的可能性相同．(

)

(4)利用古典概型的概率可求“在边长为2的正方形内任取一点，这点到正方形中心距离小于或等于1”的概率．(

)

[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．(教材改编)下列试验中，是古典概型的个数为(

)

①向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；

②向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；

③从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；

④在线段[0,5]上任取一点，求此点小于2的概率．

A．0

B．1

C．2

D．3

B

[由古典概型的意义和特点知，只有③是古典概型．]

3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机的概率是(

)

A.

B．

C．

D．

C

[∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，

∴事件总数有15种．

∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]

4．(2015·全国卷Ⅰ)如果3个正整数可作为一个直角三角形三条边的边长，则称这3个数为一组勾股数，从1,2,3,4,5中任取3个不同的数，则这3个数构成一组勾股数的概率为(

)

A.

B．

C．

D．

C

[从1,2,3,4,5中任取3个不同的数共有如下10个不同的结果：(1,2,3)，(1,2,4)，(1,2,5)，(1,3,4)，(1,3,5)，(1,4,5)，(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)，其中勾股数只有(3,4,5)，所以概率为.故选C.]

5．甲、乙两名运动员各自等可能地从红、白、蓝3种颜色的运动服中选择1种，则他们选择相同颜色运动服的概率为________．

[甲、乙两名运动员选择运动服颜色的情况为(红，红)，(红，白)，(红，蓝)，(白，白)，(白，红)，(白，蓝)，(蓝，蓝)，(蓝，白)，(蓝，红)，共9种．

而同色的有(红，红)，(白，白)，(蓝，蓝)，共3种．

所以所求概率P＝＝.]

简单古典概型的概率

(1)(2017·佛山质检)已知5件产品中有2件次品，其余为合格品．现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为(

)

A．0.4

B．0.6

C．0.8

D．1

(2)(2016·全国卷Ⅰ)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是(

)

A.

B．

C.

D．

(1)B

(2)C

[(1)记3件合格品分别为A1，A2，A3,2件次品分别为B1，B2，从5件产品中任取2件，有(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)，共10种可能．其中恰有一件次品有6种可能，由古典概型得所求事件概率为＝0.6.

(2)从4种颜色的花中任选2种颜色的花种在一个花坛中，余下2种颜色的花种在另一个花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、红紫—白黄、黄白—红紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共6种，其中红色和紫色的花不在同一花坛的种数有：红黄—白紫、红白—黄紫、黄紫—红白、白紫—红黄，共4种，故所求概率为P＝＝，故选C.]

[规律方法]

1.计算古典概型事件的概率可分三步，(1)计算基本事件总个数n；(2)计算事件A所包含的基本事件的个数m；(3)代入公式求出概率P.

2．用列举法写出所有基本事件时，可借助“树状图”列举，以便做到不重、不漏．

[变式训练1]

(1)从正方形四个顶点及其中心这5个点中，任取2个点，则这2个点的距离不小于该正方形边长的概率为(

)

A.

B．

C.

D．

(2)(2016·江苏高考)将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是____．

(1)C

(2)

[(1)设正方形的四个顶点分别是A，B，C，D，中心为O，从这5个点中，任取两个点的事件分别为AB，AC，AD，AO，BC，BD，BO，CD，CO，DO，共有10种，其中只有顶点到中心O的距离小于正方形的边长，分别是AO，BO，CO，DO，共有4种．

所以所求事件的概率P＝1－＝.

(2)将一颗质地均匀的骰子先后抛掷2次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，…，(6,6)，共36种情况．设事件A＝“出现向上的点数之和小于10”，其对立事件＝“出现向上的点数之和大于或等于10”，包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共6种情况．所以由古典概型的概率公式，得P()＝＝，所以P(A)＝1－＝.]

复杂古典概型的概率

(2016·山东高考)某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动．参加活动的儿童需转动如图10-2-1所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数．设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：

图10-2-1

①若xy≤3，则奖励玩具一个；

②若xy≥8，则奖励水杯一个；

③其余情况奖励饮料一瓶．

假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀．小亮准备参加此项活动．

(1)求小亮获得玩具的概率；

(2)请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由．

[解]

用数对(x，y)表示儿童参加活动先后记录的数，则基本事件空间Ω与点集S＝{(x，y)|x∈N，y∈N,1≤x≤4,1≤y≤4}一一对应．

因为S中元素的个数是4×4＝16，

所以基本事件总数n＝16.

3分

(1)记“xy≤3”为事件A，则事件A包含的基本事件数共5个，即(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(3,1)．

所以P(A)＝，即小亮获得玩具的概率为.

5分

(2)记“xy≥8”为事件B，“3

所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.

12分

[规律方法]

1.本题易错点有两个：(1)题意理解不清，不能把基本事件列举出来；(2)不能恰当分类，列举基本事件有遗漏．

2．求较复杂事件的概率问题，解题关键是理解题目的实际含义，把实际问题转化为概率模型，必要时将所求事件转化成彼此互斥事件的和，或者先求其对立事件的概率，进而再用互斥事件的概率加法公式或对立事件的概率公式求解．

[变式训练2]

(2017·潍坊质检)某中学调查了某班全部45名同学参加书法社团和演讲社团的情况，数据如下表：(单位：人)

参加书法社团

未参加书法社团

参加演讲社团

8

5

未参加演讲社团

2

30

(1)从该班随机选1名同学，求该同学至少参加上述一个社团的概率；

(2)在既参加书法社团又参加演讲社团的8名同学中，有5名男同学A1，A2，A3，A4，A5,3名女同学B1，B2，B3.现从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，求A1被选中且B1未被选中的概率.

【导学号：6***82463】

[解]

(1)由调查数据可知，既未参加书法社团又未参加演讲社团的有30人，2分

故至少参加上述一个社团的共有45－30＝15人，

所以从该班随机选1名同学，该同学至少参加上述一个社团的概率为P＝＝.

5分

(2)从这5名男同学和3名女同学中各随机选1人，其一切可能的结果组成的基本事件有

{A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A2，B1}，{A2，B2}，{A2，B3}，{A3，B1}，{A3，B2}，{A3，B3}，{A4，B1}，{A4，B2}，{A4，B3}，{A5，B1}，{A5，B2}，{A5，B3}，共15个.

8分

根据题意，这些基本事件的出现是等可能的．

事件“A1被选中且B1未被选中”所包含的基本事件有{A1，B2}，{A1，B3}，共2个.

10分

因此A1被选中且B1未被选中的概率为P＝.

12分

古典概型与统计的综合应用

(2015·全国卷Ⅱ)某公司为了解用户对其产品的满意度，从A，B两地区分别随机调查了20个用户，得到用户对产品的满意度评分如下：

A地区：62

73

81

92

95

85

74

***

53

76

78

86

95

66

97

78

88

82

76

89

B地区：73

83

62

51

91

46

53

73

***

82

93

48

65

81

74

56

54

76

65

79

(1)根据两组数据完成两地区用户满意度评分的茎叶图，并通过茎叶图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度(不要求计算出具体值，给出结论即可)；

图10-2-2

(2)根据用户满意度评分，将用户的满意度从低到高分为三个等级：

满意度评分

低于70分

70分到89分

不低于90分

满意度等级

不满意

满意

非常满意

记事件C：“A地区用户的满意度等级高于B地区用户的满意度等级”．假设两地区用户的评价结果相互独立．根据所给数据，以事件发生的频率作为相应事件发生的概率，求C的概率．

[解]

(1)两地区用户满意度评分的茎叶图如下：

2分

通过茎叶图可以看出，A地区用户满意度评分的平均值高于B地区用户满意度评分的平均值；A地区用户满意度评分比较集中，B地区用户满意度评分比较分散.

5分

(2)记CA1表示事件：“A地区用户的满意度等级为满意或非常满意”；

CA2表示事件：“A地区用户的满意度等级为非常满意”；

CB1表示事件：“B地区用户的满意度等级为不满意”；

CB2表示事件：“B地区用户的满意度等级为满意”；

则CA1与CB1独立，CA2与CB2独立，CB1与CB2互斥，且C＝CB1CA1＋CB2CA2.

∴P(C)＝P(CB1CA1∪CB2CA2)

＝P(CB1CA1)＋P(CB2CA2)

＝P(CB1)P(CA1)＋P(CB2)P(CA2).

8分

又根据茎叶图知P(CA1)＝，P(CA2)＝，P(CB1)＝，P(CB2)＝.

10分

因此P(C)＝×＋×＝＝0.48.

12分

[规律方法]

1.本题求解的关键在于作出茎叶图，并根据茎叶图准确提炼数据信息，考查数据处理能力和数学应用意识．

2．有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表、分布直方图、茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是关键．

[变式训练3]

海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如下表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.

地区

A

B

C

数量

50

150

100

(1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；

(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．

[解]

(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是

＝，2分

所以样本中包含三个地区的个体数量分别是

50×＝1,150×＝3,100×＝2.所以A，B，C三个地区的商品被选取的件数分别为1,3,2.

5分

(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为：A；B1，B2，B3；C1，C2.

则从6件样品中抽取的这2件商品构成的所有基本事件为{A，B1}，{A，B2}，{A，B3}，{A，C1}，{A，C2}，{B1，B2}

，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2

，B3}，{B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3

，C2}，{C1，C2}，共15个.

8分

每个样品被抽到的机会均等，因此这些基本事件的出现是等可能的．

记事件D：“抽取的这2件商品来自相同地区”，则事件D包含的基本事件有

{B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4个.

10分

所以这2件商品来自相同地区的概率P(D)＝.

12分

[思想与方法]

1．古典概型计算三步曲

第一，本试验是不是等可能的；第二，本试验的基本事件有多少个；第三，事件A是什么，它包含的基本事件有多少个．

2．确定基本事件的方法

(1)当基本事件总数较少时，可列举计算；

(2)列表法、树状图法．

3．较复杂事件的概率可灵活运用互斥事件、对立事件的概率公式简化运算．

[易错与防范]

古典概型的重要特征是事件发生的等可能性，一定要注意在计算基本事件总数和事件包括的基本事件个数时，它们是否是等可能的．