高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版

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高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版本文简介:第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版选修4-1(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边长度为21cm,则其余两边的长度之和为(

高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版本文内容:

第1章

相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评

新人教B版选修4-1

(时间120分钟

满分150分)

一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)

1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边长度为21cm,则其余两边的长度之和为(

)

A.24cm

B.21cm

C.19cm

D.9cm

【解析】

设其余两边的长度分别为xcm,ycm,则==,解得x=15cm,y=9cm.

故x+y=24cm.

【答案】

A

2.如图1所示,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,=,则△ADE与四边形DBCE的面积之比为(

)

图1

A.B.

C.D.

【解析】

∵DE∥BC,

∴△ADE∽△ABC,

∴S△ADE∶S△ABC=(AE∶AC)2=4∶9.

则△ADE与四边形DBCE的面积的比为4∶(9-4)=4∶5.

【答案】

C

3.如图2所示,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论:

图2

①△AOB∽△COD;

②△AOD∽△ACB;

③S△DOC∶S△AOD=CD∶AB;

④S△AOD=S△BOC.

其中正确的个数为(

)

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】

∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD,①正确.由①知,=.S△DOC∶S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,③正确.

∵S△ADC=S△BCD,

∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,

∴S△AOD=S△BOC,④正确.

故①③④正确.

【答案】

C

4.如图3所示,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高(

)

【导学号:61650022】

图3

A.11.25m

B.6.6m

C.8m

D.10.5m

【解析】

本题是一个实际问题,可抽象为如下数学问题:如图,等腰△AOC∽等腰△BOD,OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF,即1∶16=0.5∶DF,解得DF=8m.

【答案】

C

5.如图4,⊙O经过⊙O1的圆心,∠ADB=α,∠ACB=β,则α与β之间的关系是(

)

图4

A.β=α

B.β=180°-2α

C.β=(90°-α)

D.β=(180°-α)

【解析】

如右图所示,分别连接AO1,BO1.

根据圆内接四边形的性质定理,可得

∠AO1B+∠ADB=180°,

∴∠AO1B=180°-∠ADB=180°-α.

∵∠ACB=∠AO1B,

∴β=(180°-α),故选D.

【答案】

D

6.已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD),若CD=6,则AD的长为(

)

A.8

B.9

C.10

D.11

【解析】

如图,连接AC,CB.

∵AB是⊙O的直径,

∴∠ACB=90°.

设AD=x,∵CD⊥AB于D,

∴由射影定理得CD2=AD·DB.

即62=x(13-x),∴x2-13x+36=0,

解得x1=4,x2=9.

∵AD>BD,∴AD=9.

【答案】

B

7.如图5所示,AB为⊙O的直径,P为⊙O外一点,PA交⊙O于D,PB交⊙O于C,连结BD、AC交于E,下列关系式中不成立的是(

)

图5

A.∠ADB=∠ACB=90°

B.∠AED=∠P

C.∠P=∠AEB

D.∠PAC=∠DBP

【解析】

由直径AB所对的圆周角是直角和A正确.由P,D,E,C四点共圆知B正确.又易知∠PAC=∠DBP=90°-∠P,∴D正确.

【答案】

C

8.如图6,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,BE∥MN交AC于点E,若AB=6,BC=4,则AE=(

)

图6

A.B.

C.1D.

【解析】

∵MN为⊙O的切线,

∴∠BCM=∠A.

∵MN∥BE,∴∠BCM=∠EBC,

∴∠A=∠EBC.

又∠ACB=∠BCE,

∴△ABC∽△BEC.∴=.

∵AB=AC,∴BE=BC.∴=.

∴EC=,∴AE=6-=.

【答案】

A

9.如图7,AB、AC为⊙O的切线,B和C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD.如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于(

)

图7

A.70°B.***°

C.62°D.51°

【解析】

∵AB、AC为⊙O的切线,

∴∠CAO=∠BAO,又∵OB=BD,

∴∠OAB=∠DAB,∵∠DAC=78°,

∴∠OAD=×78°=52°,∴∠ADO=***°.

【答案】

B

10.如图8,已知AT切⊙O于T.若AT=6,AE=3,AD=4,DE=2,则BC=(

)

图8

A.3B.4

C.6D.8

【解析】

∵AT为⊙O的切线,

∴AT2=AD·AC,

∵AT=6,AD=4,∴AC=9.

∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB,

∴△EAD∽△CAB,

即=,∴BC===6.

【答案】

C

11.在Rt△ABC中,∠A=90°,点O在BC上,以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F,若AB=a,AC=b,则⊙O的半径为(

)

A.B.

C.D.

【解析】

如图所示,分别连接OE、OF,则四边形OEAF是正方形,不妨设⊙O的半径为r,则

由切线长定理,可得AE=AF=r,

∵BE=AB-AE,CF=AC-AF,

∴BE=a-r,CF=b-r,

∵△BEO与△OFC相似,∴=,

∴=,解得r=.

【答案】

C

12.如图9所示,PT与⊙O切于T,CT是⊙O的直径,PBA是割线,与⊙O的交点是A、B,与直线CT的交点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB=(

)

图9

A.10B.20

C.5D.8

【解析】

根据相交弦定理,可得

AD·DB=CD·DT,∴3×4=2DT,解得DT=6,∴圆的半径r=4,AB=7,不妨设PB=x,则PA=x+7,根据切割线定理,可得PT2=PB·PA,∴PT2=x·(x+7),在Rt△PTD中,DT2+PT2=PD2,∴36+PT2=(x+4)2,∴36+x(x+7)=(x+4)2,解得x=20.

【答案】

B

二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)

13.如图10,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,那么△MON与△AOC面积的比是________.

图10

【解析】

∵MN是△ABC的中位线,

∴△MON∽△COA,且=,

∴S△MON∶S△COA=()2=.

【答案】

1∶4

14.D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点,且AD∶DB=1∶2,AE=1.5,AC=4.5,若AM交DE于N,交BC于M,则AN∶NM=________.

【解析】

如图,∵=,

∴=.

又==,

∴=.

又∠DAE=∠BAC,

∴△ADE∽△ABC.

∴==,=,

化简得=.

【答案】

15.(湖南高考)如图11,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为________.

图11

【解析】

如图,连AE,易知AE∥BD,

∴=,

易知△***是等边三角形,可得BD=1,AD=AF+FD=.

∴AF=.

【答案】

16.如图12,P是圆O外的一点,PD为切线,D为切点,割线PEF经过圆心O,PF=6,PD=2,则∠DFP=________.

图12

【解析】

如图,连接OD.

∵PD为⊙O的切线,

∴OD⊥PD,PD2=PE·PF,

∴PE=2.∴OP=4,

∴sin∠POD==.

∴∠POD=60°,∴∠DFP=30°.

【答案】

30°

三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)

17.(本小题满分10分)已知如图13,正方形ABCD的边长为4,P为AB上的一点,且AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC,试求PQ的长.

图13

【解】

∵PQ⊥PC,

∴∠APQ+∠BPC=90°,

∴∠APQ=∠BCP.

∴Rt△APQ∽Rt△BCP,

∵AB=4,AP∶PB=1∶3,∴PB=3,AP=1,∴=,

即AQ===.

∴PQ===.

18.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图14,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.

图14

(1)证明:∠D=∠E;

(2)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.

证明

(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE,由已知CB=CE得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.

(2)如图,设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.

又AD不是⊙O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.

所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.

又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,

由(1)知,∠D=∠E,

所以△ADE为等边三角形.

19.(本小题满分12分)如图15所示,在△ABC中,D为BC边上的中点,延长AD到点E,使AD=2DE,延长AB交CE的延长线于点P.求证:AP=3AB.

图15

【证明】

如图所示,过点E作EF∥BC交AP于点F,则△ABD∽△AFE.

∵AD=2DE,

∴AD∶AE=2∶3.

∴AB∶AF=BD∶EF=AD∶AE=2∶3.

∵BD=DC,∴BC∶EF=4∶3.

∵EF∥BC,∴△PEF∽△PCB.

∴PF∶PB=EF∶BC=3∶4.

∴PF∶FB=3∶1,∵AB∶AF=2∶3,

∴AB∶BF=2∶1.

∴PF∶FB∶AB=3∶1∶2.

∴AP∶AB=6∶2=3∶1.

即AP=3AB.

20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.

图16

(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;

(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.

【导学号:61650023】

解:(1)连接PB,BC,

则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.

因为=,所以∠PBA=∠PCB.又∠BPD=∠BCD,

所以∠BFD=∠PCD.

又∠PFB+∠BFD=180°,

∠PFB=2∠PCD,

所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.

(2)证明:因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.

21.(本小题满分12分)如图17所示,PA为⊙O的切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E,求AD·AE的值.

图17

【解】

如图所示,连接CE.

∵PA是⊙O的切线,PBC是⊙O的割线,∴PA2=PB·PC.

又PA=10,PB=5,∴PC=20,BC=15.

∵PA切⊙O于A,∴∠PAB=∠ACP.

又∠P为公共角,△PAB∽△PCA,

∴===.

∵BC为⊙O的直径,∴∠CAB=90°,

∴AC2+AB2=BC2=225.

∴AC=6,AB=3,

又∠ABC=∠E,∠CAE=∠EAB.

∴△ACE∽△ADB,∴=,

∴AD·AE=AB·AC=90.

22.(本小题满分12分)(辽宁高考)如图18,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.

(1)证明:CD∥AB;

(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.

图18

【证明】

(1)因为EC=ED,

所以∠EDC=∠ECD.

因为A,B,C,D四点在同一圆上,

所以∠EDC=∠EBA.

故∠ECD=∠EBA.

所以CD∥AB.

(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.

连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,

故∠FAE=∠GBE.

又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,

所以∠FAB=∠GBA.

所以∠AFG+∠GBA=180°.

故A,B,G,F四点共圆.

去掉浮华虚夸 2022-07-21 21:32:04

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小聪明是什么意思

小聪明,汉语词汇,拼音:xiǎo cōng ming,释义:在小事情上或枝节方面显露出来的聪明,多损伤大局或不利于长远。常含贬意。是指此人虽聪明伶俐,但不能做到大智若愚,为人处事时总以为别人想不到,而运用自己的谋划和行动来达到自己的目的。
引证解释:
1、元·汤式《湘妃引·和陆进之韵》曲:“使聪明休使小聪明,学志诚休学假志诚。”
2、清·金松岑、曾朴《孽海花》第十四回:“威毅伯笑道:‘只是小儿女有点子小聪明,就要高着眼孔,这结亲一事,老夫倒着实为难。’”
3、鲁迅《故事新编·非攻》:“我们的老乡公输般,他总是倚恃着自己的一点小聪明,兴风作浪的。”
4、艾芜《人生哲学的一课》:“我得弄点小聪明,就是装假也不要紧。”
造句:
1、张剑总喜欢在同学们面前卖弄那点儿小聪明。
2、耍小聪明的人,往往聪明反被聪明误,常常把事情弄糟。
3、你就爱耍这种小聪明,但哪一次不是弄巧成拙,整了自己?

反常必有妖怪的前一句是什么

前一句是“事出”,全句是“事出反常必有妖”。意思是事情反常就一定有奇怪的地方。
出自清朝纪昀《阅微草堂笔记玉马精变》,原文是:越七八日乃萎落,其根从柱而出,纹理相连,近柱二寸许,尚是枯木,以上乃渐青。先太夫人,曹氏甥也,小时亲见之。咸曰瑞也,外祖雪峰先生曰:物之反常者为妖,何瑞之有!曹氏亦式微。
译文:
花叶繁茂下垂,过了七八天才枯萎谢落。花的根从柱生出,纹理与柱相连;靠近柱子二寸光景,还是枯木,往上才渐渐发青。先母太夫人是曹氏的外甥女,小时亲眼见过厅柱的牡丹,当时都认为是吉祥征兆。我的外祖雪峰先生说:“反常的物就是妖,哪有什么吉祥征兆?”后来曹氏门庭也衰落了。
纪昀(1724.7.26-1805.3.14),字晓岚,一字春帆,晚号石云,道号观弈道人,直隶献县(今河北沧州市)人。清代政治家、文学家,乾隆年间官员。历官左都御史,兵部、礼部尚书、协办大学士加太子太保管国子监事致仕,曾任《四库全书》总纂修官。

诫子书是什么体裁

《诫子书》的体裁是书信,《诫子书》是政治家诸葛亮临终前写给他儿子诸葛瞻的一封家书。
原文:
夫君子之行,静以修身,俭以养德。非淡泊无以明志,非宁静无以致远。夫学须静也,才须学也,非学无以广才,非志无以成学。淫慢则不能励精,险躁则不能治性。年与时驰,意与日去,遂成枯落,多不接世,悲守穷庐,将复何及!
译文:
君子的行为操守,从宁静来提高自身的修养,以节俭来培养自己的品德。不恬静寡欲无法明确志向,不排除外来干扰无法达到远大目标。学习必须静心专一,而才干来自学习。不学习就无法增长才干,没有志向就无法使学习有所成就。放纵懒散就无法振奋精神,急躁冒险就不能陶冶性情。年华随时光而飞驰,意志随岁月而流逝。最终枯败零落,大多不接触世事、不为社会所用,只能悲哀地坐守着那穷困的居舍,其时悔恨又怎么来得及?
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cos(π/2-α)=sinα。
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cos(3π/2-α)=-sinα。
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