高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版本文简介:第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版选修4-1(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边长度为21cm,则其余两边的长度之和为(
高中数学第1章相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评新人教B版本文内容:
第1章
相似三角形定理与圆幂定理章末综合测评
新人教B版选修4-1
(时间120分钟
满分150分)
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)
1.若三角形的三条边长之比为3∶5∶7,与它相似的三角形的最长边长度为21cm,则其余两边的长度之和为(
)
A.24cm
B.21cm
C.19cm
D.9cm
【解析】
设其余两边的长度分别为xcm,ycm,则==,解得x=15cm,y=9cm.
故x+y=24cm.
【答案】
A
2.如图1所示,D、E分别是AB、AC上的点,DE∥BC,=,则△ADE与四边形DBCE的面积之比为(
)
图1
A.B.
C.D.
【解析】
∵DE∥BC,
∴△ADE∽△ABC,
∴S△ADE∶S△ABC=(AE∶AC)2=4∶9.
则△ADE与四边形DBCE的面积的比为4∶(9-4)=4∶5.
【答案】
C
3.如图2所示,梯形ABCD的对角线交于点O,则下列四个结论:
图2
①△AOB∽△COD;
②△AOD∽△ACB;
③S△DOC∶S△AOD=CD∶AB;
④S△AOD=S△BOC.
其中正确的个数为(
)
A.1
B.2
C.3
D.4
【解析】
∵DC∥AB,∴△AOB∽△COD,①正确.由①知,=.S△DOC∶S△AOD=OC∶OA=CD∶AB,③正确.
∵S△ADC=S△BCD,
∴S△ADC-S△COD=S△BCD-S△COD,
∴S△AOD=S△BOC,④正确.
故①③④正确.
【答案】
C
4.如图3所示,铁道口的栏杆短臂长1m,长臂长16m,当短臂端点下降0.5m时,长臂端点升高(
)
【导学号:61650022】
图3
A.11.25m
B.6.6m
C.8m
D.10.5m
【解析】
本题是一个实际问题,可抽象为如下数学问题:如图,等腰△AOC∽等腰△BOD,OA=1m,OB=16m,高CE=0.5m,求高DF.由相似三角形的性质可得OA∶OB=CE∶DF,即1∶16=0.5∶DF,解得DF=8m.
【答案】
C
5.如图4,⊙O经过⊙O1的圆心,∠ADB=α,∠ACB=β,则α与β之间的关系是(
)
图4
A.β=α
B.β=180°-2α
C.β=(90°-α)
D.β=(180°-α)
【解析】
如右图所示,分别连接AO1,BO1.
根据圆内接四边形的性质定理,可得
∠AO1B+∠ADB=180°,
∴∠AO1B=180°-∠ADB=180°-α.
∵∠ACB=∠AO1B,
∴β=(180°-α),故选D.
【答案】
D
6.已知圆的直径AB=13,C为圆上一点,过C作CD⊥AB于D(AD>BD),若CD=6,则AD的长为(
)
A.8
B.9
C.10
D.11
【解析】
如图,连接AC,CB.
∵AB是⊙O的直径,
∴∠ACB=90°.
设AD=x,∵CD⊥AB于D,
∴由射影定理得CD2=AD·DB.
即62=x(13-x),∴x2-13x+36=0,
解得x1=4,x2=9.
∵AD>BD,∴AD=9.
【答案】
B
7.如图5所示,AB为⊙O的直径,P为⊙O外一点,PA交⊙O于D,PB交⊙O于C,连结BD、AC交于E,下列关系式中不成立的是(
)
图5
A.∠ADB=∠ACB=90°
B.∠AED=∠P
C.∠P=∠AEB
D.∠PAC=∠DBP
【解析】
由直径AB所对的圆周角是直角和A正确.由P,D,E,C四点共圆知B正确.又易知∠PAC=∠DBP=90°-∠P,∴D正确.
【答案】
C
8.如图6,△ABC内接于⊙O,AB=AC,直线MN切⊙O于点C,BE∥MN交AC于点E,若AB=6,BC=4,则AE=(
)
图6
A.B.
C.1D.
【解析】
∵MN为⊙O的切线,
∴∠BCM=∠A.
∵MN∥BE,∴∠BCM=∠EBC,
∴∠A=∠EBC.
又∠ACB=∠BCE,
∴△ABC∽△BEC.∴=.
∵AB=AC,∴BE=BC.∴=.
∴EC=,∴AE=6-=.
【答案】
A
9.如图7,AB、AC为⊙O的切线,B和C是切点,延长OB到D,使BD=OB,连接AD.如果∠DAC=78°,那么∠ADO等于(
)
图7
A.70°B.***°
C.62°D.51°
【解析】
∵AB、AC为⊙O的切线,
∴∠CAO=∠BAO,又∵OB=BD,
∴∠OAB=∠DAB,∵∠DAC=78°,
∴∠OAD=×78°=52°,∴∠ADO=***°.
【答案】
B
10.如图8,已知AT切⊙O于T.若AT=6,AE=3,AD=4,DE=2,则BC=(
)
图8
A.3B.4
C.6D.8
【解析】
∵AT为⊙O的切线,
∴AT2=AD·AC,
∵AT=6,AD=4,∴AC=9.
∵∠ADE=∠B,∠EAD=∠CAB,
∴△EAD∽△CAB,
即=,∴BC===6.
【答案】
C
11.在Rt△ABC中,∠A=90°,点O在BC上,以O为圆心的⊙O分别与AB、AC相切于E、F,若AB=a,AC=b,则⊙O的半径为(
)
A.B.
C.D.
【解析】
如图所示,分别连接OE、OF,则四边形OEAF是正方形,不妨设⊙O的半径为r,则
由切线长定理,可得AE=AF=r,
∵BE=AB-AE,CF=AC-AF,
∴BE=a-r,CF=b-r,
∵△BEO与△OFC相似,∴=,
∴=,解得r=.
【答案】
C
12.如图9所示,PT与⊙O切于T,CT是⊙O的直径,PBA是割线,与⊙O的交点是A、B,与直线CT的交点D,已知CD=2,AD=3,BD=4,那么PB=(
)
图9
A.10B.20
C.5D.8
【解析】
根据相交弦定理,可得
AD·DB=CD·DT,∴3×4=2DT,解得DT=6,∴圆的半径r=4,AB=7,不妨设PB=x,则PA=x+7,根据切割线定理,可得PT2=PB·PA,∴PT2=x·(x+7),在Rt△PTD中,DT2+PT2=PD2,∴36+PT2=(x+4)2,∴36+x(x+7)=(x+4)2,解得x=20.
【答案】
B
二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分,请把答案填在题中横线上)
13.如图10,在△ABC中,M,N分别是AB,BC的中点,AN,CM交于点O,那么△MON与△AOC面积的比是________.
图10
【解析】
∵MN是△ABC的中位线,
∴△MON∽△COA,且=,
∴S△MON∶S△COA=()2=.
【答案】
1∶4
14.D、E分别是△ABC中AB、AC边上的点,且AD∶DB=1∶2,AE=1.5,AC=4.5,若AM交DE于N,交BC于M,则AN∶NM=________.
【解析】
如图,∵=,
∴=.
又==,
∴=.
又∠DAE=∠BAC,
∴△ADE∽△ABC.
∴==,=,
化简得=.
【答案】
15.(湖南高考)如图11,A,E是半圆周上的两个三等分点,直径BC=4,AD⊥BC,垂足为D,BE与AD相交于点F,则AF的长为________.
图11
【解析】
如图,连AE,易知AE∥BD,
∴=,
易知△***是等边三角形,可得BD=1,AD=AF+FD=.
∴AF=.
【答案】
16.如图12,P是圆O外的一点,PD为切线,D为切点,割线PEF经过圆心O,PF=6,PD=2,则∠DFP=________.
图12
【解析】
如图,连接OD.
∵PD为⊙O的切线,
∴OD⊥PD,PD2=PE·PF,
∴PE=2.∴OP=4,
∴sin∠POD==.
∴∠POD=60°,∴∠DFP=30°.
【答案】
30°
三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
17.(本小题满分10分)已知如图13,正方形ABCD的边长为4,P为AB上的一点,且AP∶PB=1∶3,PQ⊥PC,试求PQ的长.
图13
【解】
∵PQ⊥PC,
∴∠APQ+∠BPC=90°,
∴∠APQ=∠BCP.
∴Rt△APQ∽Rt△BCP,
∵AB=4,AP∶PB=1∶3,∴PB=3,AP=1,∴=,
即AQ===.
∴PQ===.
18.(本小题满分12分)(全国卷Ⅰ)如图14,四边形ABCD是⊙O的内接四边形,AB的延长线与DC的延长线交于点E,且CB=CE.
图14
(1)证明:∠D=∠E;
(2)设AD不是⊙O的直径,AD的中点为M,且MB=MC,证明:△ADE为等边三角形.
证明
(1)由题设知A,B,C,D四点共圆,所以∠D=∠CBE,由已知CB=CE得∠CBE=∠E,故∠D=∠E.
(2)如图,设BC的中点为N,连接MN,则由MB=MC知MN⊥BC,故O在直线MN上.
又AD不是⊙O的直径,M为AD的中点,故OM⊥AD,即MN⊥AD.
所以AD∥BC,故∠A=∠CBE.
又∠CBE=∠E,故∠A=∠E,
由(1)知,∠D=∠E,
所以△ADE为等边三角形.
19.(本小题满分12分)如图15所示,在△ABC中,D为BC边上的中点,延长AD到点E,使AD=2DE,延长AB交CE的延长线于点P.求证:AP=3AB.
图15
【证明】
如图所示,过点E作EF∥BC交AP于点F,则△ABD∽△AFE.
∵AD=2DE,
∴AD∶AE=2∶3.
∴AB∶AF=BD∶EF=AD∶AE=2∶3.
∵BD=DC,∴BC∶EF=4∶3.
∵EF∥BC,∴△PEF∽△PCB.
∴PF∶PB=EF∶BC=3∶4.
∴PF∶FB=3∶1,∵AB∶AF=2∶3,
∴AB∶BF=2∶1.
∴PF∶FB∶AB=3∶1∶2.
∴AP∶AB=6∶2=3∶1.
即AP=3AB.
20.(本小题满分12分)(全国卷Ⅲ)如图16,⊙O中的中点为P,弦PC,PD分别交AB于E,F两点.
图16
(1)若∠PFB=2∠PCD,求∠PCD的大小;
(2)若EC的垂直平分线与FD的垂直平分线交于点G,证明OG⊥CD.
【导学号:61650023】
解:(1)连接PB,BC,
则∠BFD=∠PBA+∠BPD,∠PCD=∠PCB+∠BCD.
因为=,所以∠PBA=∠PCB.又∠BPD=∠BCD,
所以∠BFD=∠PCD.
又∠PFB+∠BFD=180°,
∠PFB=2∠PCD,
所以3∠PCD=180°,因此∠PCD=60°.
(2)证明:因为∠PCD=∠BFD,所以∠EFD+∠PCD=180°,由此知C,D,F,E四点共圆,其圆心既在CE的垂直平分线上,又在DF的垂直平分线上,故G就是过C,D,F,E四点的圆的圆心,所以G在CD的垂直平分线上.又O也在CD的垂直平分线上,因此OG⊥CD.
21.(本小题满分12分)如图17所示,PA为⊙O的切点,PBC是过点O的割线,PA=10,PB=5,∠BAC的平分线与BC和⊙O分别交于点D和E,求AD·AE的值.
图17
【解】
如图所示,连接CE.
∵PA是⊙O的切线,PBC是⊙O的割线,∴PA2=PB·PC.
又PA=10,PB=5,∴PC=20,BC=15.
∵PA切⊙O于A,∴∠PAB=∠ACP.
又∠P为公共角,△PAB∽△PCA,
∴===.
∵BC为⊙O的直径,∴∠CAB=90°,
∴AC2+AB2=BC2=225.
∴AC=6,AB=3,
又∠ABC=∠E,∠CAE=∠EAB.
∴△ACE∽△ADB,∴=,
∴AD·AE=AB·AC=90.
22.(本小题满分12分)(辽宁高考)如图18,A,B,C,D四点在同一圆上,AD的延长线与BC的延长线交于E点,且EC=ED.
(1)证明:CD∥AB;
(2)延长CD到F,延长DC到G,使得EF=EG,证明:A,B,G,F四点共圆.
图18
【证明】
(1)因为EC=ED,
所以∠EDC=∠ECD.
因为A,B,C,D四点在同一圆上,
所以∠EDC=∠EBA.
故∠ECD=∠EBA.
所以CD∥AB.
(2)由(1)知,AE=BE.因为EF=EG,故∠EFD=∠EGC,从而∠FED=∠GEC.
连接AF,BG,则△EFA≌△EGB,
故∠FAE=∠GBE.
又CD∥AB,∠EDC=∠ECD,
所以∠FAB=∠GBA.
所以∠AFG+∠GBA=180°.
故A,B,G,F四点共圆.