_学年高中数学第1章解三角形1.2.2余弦定理学案苏教版

2016_2017学年高中数学第1章解三角形1.2.2余弦定理学案苏教版本文简介：第2课时余弦定理(2)1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状．2．熟练边角互化．(重点)[基础·初探]教材整理射影定理和平行四边形的性质定理阅读教材P16～P17，完成下列问题．1．射影定理在△ABC中，(1)bcosC＋ccosB＝a；(2)ccosA＋acosC＝b；(3)acosB＋b

2016_2017学年高中数学第1章解三角形1.2.2余弦定理学案苏教版本文内容：

第2课时

余弦定理(2)

1．理解余弦定理，能用余弦定理确定三角形的形状．

2．熟练边角互化．(重点)

[基础·初探]

教材整理

射影定理和平行四边形的性质定理

阅读教材P16～P17，完成下列问题．

1．射影定理

在△ABC中，

(1)bcos

C＋ccos

B＝a；

(2)ccos

A＋acos

C＝b；

(3)acos

B＋bcos

A＝c.

2．平行四边形性质定理

平行四边形两条对角线平方的和等于四边平方的和．

特别地，若AM是△ABC中BC边上的中线，则AM＝.

1．在△ABC中，若BC＝3，则ccos

B＋bcos

C＝________.

【解析】

ccos

B＋bcos

C＝BC＝3.

【答案】

3

2．若△ABC中，AB＝1，AC＝3，∠A＝60°，则BC边上的中线AD＝________.

【解析】

在△ABC中，由余弦定理可知BC＝.

∴AD＝

＝

＝.

【答案】

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问2：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

疑问3：_________________________________________________

解惑：_________________________________________________

[小组合作型]

利用正、余弦定理解决实际问题

某巡逻艇在A处发现北偏东45°相距9海里的C处有一艘走私船，正沿南偏东75°的方向以10

n

mile/h的速度向我海岸行驶，巡逻艇立即以14

n

mile/h的速度沿着直线方向追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该走私船？

【精彩点拨】

先画出示意图，再借助正、余弦定理求解．

【自主解答】

如图，设该巡逻艇沿AB方向经过x

h后在B处追上走私船，则CB＝10

x，AB＝14x，AC＝9，∠ACB＝75°＋45°＝120°，由余弦定理，得(14x)2＝92＋(10

x)2－2×9×10

xcos

120°，

化简得32x2－30

x－27＝0，

即x＝或x＝－(舍去)，

∴巡逻艇需要1.5

h才追赶上该走私船．

∴BC＝10

x＝15，AB＝14x＝21.

在△ABC中，由正弦定理，得

sin∠BAC＝＝×＝.

∴∠BAC＝38°13′，或∠BAC＝141°47′(钝角不合题意，舍去)，

∴38°13′＋45°＝83°13′.

答：巡逻艇应该沿北偏东83°13′方向去追，经过1.5

h才追赶上该走私船．

准确理解应用题中的有关名称、术语，如仰角、俯角、方位角等，将要求解的问题归纳到一个或几个三角形中，通过合理运用余弦定理等解三角形的有关知识，建立数学模型，然后正确求解．

[再练一题]

1．两船同时从A港出发，甲船以20

n

mile/h的速度向北偏东80°的方向航行，乙船以12

n

mile/h的速度向北偏西40°方向航行，求一小时后，两船相距多少n

mile.

【解】

一小时后甲船到B处，乙船到C处，如图，△ABC中，AB＝20，AC＝12，∠CAB＝40°＋80°＝120°，

由余弦定理，得BC2＝202＋122－2×20×12·cos

120°＝784，∴BC＝28(n

mile)．

即一小时后，两船相距28

n

mile.

利用正、余弦定理判断三角形的形状

在△ABC中，已知(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，且2cos

Asin

B＝sin

C，试确定△ABC的形状.

【导学号：91730012】

【精彩点拨】

(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab求C；

2cos

Asin

B＝sin

C求A与B的关系．

【自主解答】

∵(a＋b＋c)(a＋b－c)＝3ab，

∴a2＋b2－c2＝ab，

∴2abcos

C＝ab，

∴cos

C＝，

∴C＝.

法一：又2cos

Asin

B＝sin

C＝sin(A＋B)

＝sin

Acos

B＋cos

Asin

B，

∴sin

Acos

B－cos

Asin

B＝0，

∴sin(A－B)＝0，

∴A＝B，

∴A＝B＝C＝，

∴△ABC为等边三角形．

法二：由2cos

Asin

B＝sin

C可知

2b×＝c，

即b2＝a2，∴a＝b，

∴A＝B＝C＝，

∴△ABC为等边三角形．

利用正、余弦定理判定三角形形状的策略

[再练一题]

2．在△ABC中，若B＝60°，2b＝a＋c，试判断△ABC的形状．

【解】

法一

根据余弦定理得b2＝a2＋c2－2accos

B.

∵B＝60°，2b＝a＋c，

∴2＝a2＋c2－2accos

60°，

整理得(a－c)2＝0，∴a＝c.

又∵2b＝a＋c，∴2b＝2a，即b＝a.

∴△ABC是正三角形．

法二

根据正弦定理，

2b＝a＋c可转化为

2sin

B＝sin

A＋sin

C.

又∵B＝60°，∴A＋C＝120°，∴C＝120°－A，

∴2sin

60°＝sin

A＋sin(120°－A)，

整理得sin(A＋30°)＝1，∴A＝60°，

C＝60°，∴△ABC是正三角形．

[探究共研型]

利用正、余弦定理度量平面图形

探究1

在△ABC中，若AD⊥BC，则ABcos

B＋ACcos

C的值为多少？

【提示】

如图，易知ABcos

B＝BD，ACcos

C＝CD，又BD＋CD＝BC，

故ABcos

B＋ACcos

C＝BC.

探究2

在△ABC中，若AD是∠BAC的平分线，则BD与DC有什么关系？

【提示】

BD∶DC＝AB∶AC.

探究3

在△ABC中，若AD是BC边上的中线，则AD与AB，AC，BC间存在怎样的等量关系？

【提示】

4AD2＝2(AB2＋AC2)－BC2.

(2015·全国卷Ⅱ)△ABC中，D是BC上的点，AD平分∠BAC，△ABD面积是△ADC面积的2倍．

(1)求；

(2)若AD＝1，DC＝，求BD和AC的长．

【精彩点拨】

(1)利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可．(2)利用余弦定理和(1)中得到的结论求解．

【自主解答】

(1)S△ABD＝AB·ADsin∠BAD，S△ADC＝AC·ADsin∠CAD.

因为S△ABD＝2S△ADC，∠BAD＝∠CAD，所以AB＝2AC.

由正弦定理，得＝＝.

(2)因为S△ABD∶S△ADC＝BD∶DC，所以BD＝.

在△ABD和△ADC中，由余弦定理，知

AB2＝AD2＋BD2－2AD·BDcos∠ADB，

AC2＝AD2＋DC2－2AD·DCcos∠ADC.

故AB2＋2AC2＝3AD2＋BD2＋2DC2＝6.

由(1)，知AB＝2AC，所以AC＝1.

1．平面几何中的面积、长度问题常借助正、余弦定理求解，合理转化已知条件是求解此类问题的关键．

2．求解此类问题要特别注意隐含条件的挖掘，如(1)中隐含角平分线的性质定理；(2)中隐含着∠ADB＋∠ADC＝180°.

[再练一题]

3.如图1-2-1，△ABC中，AB＝AC＝2，BC＝2，点D在BC边上，∠ADC＝45°，求AD的长度．

图1-2-1

【解】

在△ABC中，∵AB＝AC＝2，BC＝2，

由余弦定理，得cos

C＝＝，

∴sin

C＝.

在△ADC中，由正弦定理得，

＝，

∴AD＝×＝.

[构建·体系]

1．在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4bsin

A，则cos

B＝________.

【解析】

∵a＝4bsin

A，由正弦定理知sin

A＝4sin

Bsin

A，∴sin

B＝，cos

B＝＝＝.

【答案】

2．若平行四边形两邻边的长分别是和，它们的夹角是45°，则这个平行四边形的两条对角线的长分别是________．

【解析】

两条对角线的长分别为

＝和

＝.

【答案】

3．已知A，B两地的距离为10

km，B，C两地的距离为20

km，经测量，∠ABC＝120°，则A，C两地的距离为________

km.

【导学号：91730013】

【解析】

AC2＝102＋202－2×10×20×cos

120°，

∴AC＝10.

【答案】

10

4．在△ABC中，B＝60°，b2＝ac，则△ABC的形状为________．

【解析】

∵b2＝a2＋c2－2accos

60°＝a2＋c2－ac，

∴a2＋c2－ac＝ac，

∴a2－2ac＋c2＝0，∴a＝c.

又∵B＝60°，∴△ABC为正三角形．

【答案】

正三角形

5．如图1-2-2所示，在四边形ABCD中，BC＝20，DC＝40，

B＝105°，C＝60°，D＝150°，求：

图1-2-2

(1)AB的长；

(2)四边形ABCD的面积．

【解】

(1)连结BD，

因为∠ABC＝105°，C＝60°，

∠ADC＝150°，

所以A＝360°－105°－60°－150°＝45°.

在△BCD中，BD2＝BC2＋CD2－2BC·CDcos

C

＝202＋402－2×20×40×＝1

200，

于是BD＝20.

因为BD2＋BC2＝CD2，所以∠CBD＝90°.

所以∠ABD＝105°－90°＝15°，∠ADB＝180°－45°－15°＝120°.

在△ABD中，＝，

所以AB＝＝＝30.

(2)因为sin

15°＝sin(45°－30°)＝，

所以四边形ABCD的面积S四边形ABCD＝S△DBC＋S△DBA＝×20×20＋×20×30×＝50(9＋)．

我还有这些不足：

(1)_________________________________________________

(2)_________________________________________________

我的课下提升方案：

(1)_________________________________________________

(2)_________________________________________________

学业分层测评(四)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、填空题

1．在△ABC中，若B＝60°，且AB＝1，BC＝4，则边BC上的中线AD的长为________．

【解析】

在△ABD中，∠ABD＝60°，AB＝1，BD＝2，由余弦定理得AD2＝3，故AD＝.

【答案】

2．如图1-2-3所示，已知两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a

km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为________

km.

图1-2-3

【解析】

∵CA＝CB＝a，

∠ACB＝180°－20°－40°＝120°，

∴AB2＝AC2＋CB2－2×AC×CBcos

∠ACB，

即AB2＝a2＋a2＋a2＝3a2，

∴AB＝a.

【答案】

a

3．如图1-2-4所示，某人向正东方向走了x千米，然后向右转120°，再朝新方向走了3千米，结果他离出发点恰好千米，那么x的值是________．

图1-2-4

【解析】

由余弦定理：x2＋9－3x＝13，整理得x2－3x－4＝0，解得x＝4或x＝－1(舍去)．

【答案】

4

4．在钝角△ABC中，a＝1，b＝2，则最大边c的取值范围为________．

【解析】

在钝角△ABC中，由于最大边为c，所以角C为钝角．所以c2>a2＋b2＝1＋4＝5，即c>，又因c

∴c＋x所对的最大角变为锐角．

【答案】

锐角三角形

6．(2016·南通高二检测)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若S△ABC＝，则角C的大小为________.

【导学号：91730014】

【解析】

∵S△ABC＝，

∴absin

C＝×2abcos

C，

∴tan

C＝1，又C∈(0，π)，

∴C＝.

【答案】

7．(2016·扬州高二检测)在△ABC中，AB＝7，BC＝5，AC＝6，则A·B等于________．

【解析】

由余弦定理得cos

B＝＝＝.

∴·＝－·B＝－||·||·cos

B＝－7×5×＝－19.

【答案】

－19

8．在△ABC中，若sin2A≤sin2B＋sin2C－sin

Bsin

C，则A的取值范围是________．

【解析】

由正弦定理，得a2≤b2＋c2－bc，

即b2＋c2－a2≥bc，

∴2bccos

A≥bc，

∴cos

A≥.

又A∈(0，π)且y＝cos

x在(0，π)上是减函数，故A∈.

【答案】

二、解答题

9．△ABC的面积是30，内角A，B，C所对边长分别为a，b，c，cos

A＝.

(1)求·；

(2)若c－b＝1，求a的值．

【解】

由cos

A＝，得sin

A＝＝.

又bcsin

A＝30，

∴bc＝156.

(1)·＝bccos

A＝156×＝144.

(2)a2＝b2＋c2－2bccos

A＝(c－b)2＋2bc(1－cos

A)＝1＋2×156×＝25，∴a＝5.

10．(2016·苏州高二检测)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，并且a2＝b(b＋c)．

(1)求证：A＝2B.

(2)若a＝b，判断△ABC的形状．

【解】

(1)证明：由a2＝b(b＋c)得

a2＝b2＋bc，

又cos

B＝＝＝，

∴2sin

Acos

B＝sin

B＋sin

C

＝sin

B＋sin(A＋B)

即sin

B＝sin(A－B)，

∴B＝A－B或A－B＝π－B，

∴A＝2B或A＝π不成立，

故A＝2B.

(2)∵a＝b，∴＝.

又由a2＝b(b＋c)可得c＝2b，

∴cos

B＝＝＝，

所以B＝30°，A＝2B＝60°，C＝90°，

∴△ABC为直角三角形．

[能力提升]

1．(2015·天津高考)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知△ABC的面积为3，b－c＝2，cos

A＝－，则a的值为________．

【解析】

在△ABC中，由cos

A＝－可得sin

A＝，

所以有解得

【答案】

8

2．如图1-2-5，在△ABC中，D是边AC上的点，且AB＝AD,2AB＝BD，BC＝2BD，则sin

C＝________.

图1-2-5

【解析】

设AB＝a，则AD＝a，BD＝，BC＝2BD＝，cos

A＝＝＝，∴sin

A＝＝.由正弦定理知sin

C＝·sin

A＝×＝.

【答案】

3．在△ABC中，若lg

a－lg

c＝lg

sin

A＝－lg，并且A为锐角，则△ABC为________三角形．

【解析】

∵lg

a－lg

c＝lg

sin

A＝－lg，

∴＝sin

A＝.

∵A为锐角，∴A＝45°，∵sin

C＝sin

A＝×sin

45°＝1，∴C＝90°.

【答案】

直角

4.如图1-2-6所示，甲船以30

n

mile/h的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于A1处时，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1处，此时两船相距20

n

mile，当甲船航行20

min到达A2处时，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2处，此时两船相距10

n

mile.求乙船的航行速度．

图1-2-6

【解】

如图所示，连结A1B2，由已知A2B2＝10，A1A2＝30×＝10，

∴A1A2＝A2B2，

又∠A1A2B2＝180°－120°＝60°，

∴△A1A2B2是等边三角形，

∴A1B2＝A1A2＝10.

由已知，A1B1＝20，∠B1A1B2＝105°－60°＝45°，在△A1B2B1中，由余弦定理得，B1B＝A1B＋A1B－2A1B1·A1B2·cos

45°＝202＋(10)2－2×20×10×＝200.

∴B1B2＝10.

因此，乙船速度的大小为×60＝30(海里/时)．

答：乙船每小时航行30海里．