高考数学第九章数列第60课数列的概念及简单表示教案

高考数学第九章数列第60课数列的概念及简单表示教案本文简介：数列的概念及简单表示一、教学目标1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式．培养学生的观察能力和抽象概括能力．2、了解数列是一种特殊的函数．理解数列的通项公式的意义，理解数列的通项公式的意义有以下三层意思：通项公式是数列的项与

高考数学第九章数列第60课数列的概念及简单表示教案本文内容：

数列的概念及简单表示

一

、教学目标

1、了解数列的概念和几种简单的表示方法（列表、图象、通项公式）；通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式．培养学生的观察能力和抽象概括能力．

2、了解数列是一种特殊的函数．理解数列的通项公式的意义，理解数列的通项公式的意义有以下三层意思：通项公式是数列的项与序号间的对应关系；会由通项公式写出数列的前几项；会根据简单数列的前几项写出数列的一个通项公式．

3、了解数列的递推公式，理解递推公式与通项公式的异同；会根据数列的递推公式写出数列的前几项；理解数列的前项和与的关系；会由数列的前项和求数列的通项公式．

二、基础知识回顾与梳理

1.给出下列公式：

；；

其中是数列1,0，-1，0,1，0,-1，0，1，0,-1,0，的通项公式的有

．

（将所有正确的序号全填上）

【教学建议】本题主要是帮助学生复习、理解数列通项公式的意义．

（1）教学时，教师可让学生写出每个数列的前几项，对照找出答案；或直接考察所求数列的前几项得出项与序号的关系，从而得出答案．

（2）结合本题，强调数列通项公式的意义中项与序号之间的关系可以用一个公式来表示的关键词“一个”．了解并不是所有数列都能写出通项公式：如数列1，1.4，1.41，1.414，……；

如果一个数列有通项公式，那么它的通项公式在形式上也可以不止一个，若本题的通项公式有①，④.

2．已知数列的通项公式为．

则(1)

，

；

(2)323是该数列第

项．

【教学建议】本题选自课本习题，主要是要求学生从两个方面理解数列的通项公式，它即表示了数列的第项，又是这个数列中所有项的一般表示；通过这道题的练习，帮助学生理解数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项．

【变式】已知数列2,，4，，，，那么8是它的第

项．

本题主要是引导学生认识数列通项公式的作用．

3．下列说法正确的是

．

①数列1,3,5,7可表示为{1,3,5,7}；②数列1,2,3,4与4,3,2,1是相同的数列；

③数列的第项是；④0,2,4,6,8，可记为；

⑤数列中不能有相等的项．

【教学建议】大纲明确指出要“理解数列的概念”，特别是数列的定义、通项公式等概念．教学时，要引导学生注意数列概念和记号与集合概念和记号的区别：数列中的项是有序的，而集合中的元素是无序的；数列中的项可以重复，而集合中的元素不能重复．特别指出不能将数列看成一个集合，

仅是数列的表示符号而已，与集合无关．故本题答案为③．

4．已知数列的通项公式是．

（1）若，则的取值集合

；

（2）该数列中的最小项为

，是第

项．

【教学建议】本题改编自课本习题，目的是为了使学生进一步明确数列是特殊的函数，注意其特殊性表现在定义域是正整数集或它的有限子集．答案为{1,2,3,4,5}；-2，6.

教学时，可要求学生从函数的角度和运用函数的思想来研究该题．可提问：

（1）对任意的，总有，数列是什么数列？

（2）对任意的，总有，数列是什么数列？

（3）对任意的，总有，数列是什么数列？

5．设数列的前项和为对于所有的都成立，且，则

．

【教学建议】本题是为了帮助学生理解数列的前项和与的关系；会由数列的前项和求数列的通项公式．讲解时引导学生从两个方面解决该题，一是利用前项和与的关系，对时的验证是易错点；二是要善于用转化的思想，从一般到特殊，即．

答案为2.

三、诊断练习

1、教学处理：在讲解完了第二项基础知识回顾与梳理的前提下给五到十分钟分钟让同学们当堂练习，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏再由四个学生到黑板上板演．老师进行巡视，以便了解学生的思路及主要错误，及时地进行点拨．并在评讲时根据巡视时发现的问题有侧重点的讲解．

2、诊断练习点评

题1：写出数列的一个通项公式，使它的前四项分别是下列各数：

（1）；

；

（2）．

；

（3）如图，一个正八边形的序列，则第个图形的边数为

．

１

３

２

【分析与点评】如果一个数列有通项公式，那么总可以找到项与序号之间的关系；本题根据所给的前几项求其通项公式时，关键是对前几项观察分析，先找出相同的部分，再找出不同部分与序号之间的关系，总结规律.答案为(1)

；

(2)

.

【变式引申】：-7，77，-777,7777，；=

。

题2：已知，则数列的第5项为

．

【分析与点评】强调数列是特殊的函数，数列中的项是相应的函数值,数列中的第项即函数中自变量取时的函数值．答案为5．

【变式】已知数列中，，则

．

这道变式题还用到了函数的周期性．

题3：若数列的前项和为，则

．

【分析与点评】

（1）是否是数列的通项公式？知前项和公式，如何求出数列的通项公式？

（2）本题可回顾基础知识梳理第5题进行讲解，．若把问题改为

，答案又如何呢？此时要注意由推得，验证时是否适合“”．

题4

一个数列中，，则这个数列的第五项是

【分析与点评】：根据递推关系式会求数列的项，进而根据数列的前几项求出数列的周期。答案：-6

【变式】：求

。

（1）根据数列的前几项找规律，求出数列的周期为6

答案-3（2）两式相加得，从而得，周期为6，得答案-3

3、要点归纳

（1）要学会运用函数的观点来分析、解决有关数列问题，但也要注意其是特殊的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性．如“基础知识梳理”中的第4题，诊断练习题2

（2）要理解数列的通项公式的定义，学会由数列的前几项求其通项，需要仔细观察分析，抓住几方面的特征，由此进行化归、归纳、类比、联想和猜想；若给出递推关系，先由递推关系写出前几项，再进行归纳猜想；这也是培养合情推理的重要题型．

（3）能由数列的前项和求出，要对和两种情形讨论，记得验证两种情形可否用统一的解析式表示，若不能，必须用分段函数的形式表示．

四、范例导析

例1．设数列的通项公式是，则

（1）70是这个数列中的项吗？如果是，是第几项？

（2）写出这个数列的前项，并作出前项的图象；

（3）这个数列所有项中有没有最小的项？如果有，是第几项？

【教学处理】让学生板演，教师点评。

【引导分析与精讲建议】70是否是数列的项，只要通过解方程就可以知道；作图时则要注意数列与函数的区别，数列是以正整数（或它的有限子集）为定义域的函数，因而数列的图象是一系列孤立的点；判断有无最小项的问题可以用函数的观点来解决，一样的是要注意定义域问题。

变式：求数列的最小值？此时?

例2．已知数列的前项和公式，求通项．

；

【教学处理】在掌握了基础知识回顾与梳理和诊断练习中的对应题后，本题完全可以放手让学生独立思考并解题，老师巡视指导了解学情，并利用课堂及时进行个别指导；再结合板演情况进行点评．对于易错点，教师适时介入与学生交流或进行讲解，并示范板书．

【分析与点评】

学生板演，教师巡视搜集典型错误，针对错误请其他学生分析错因。

1.常见错误把“”直接写出成“”，而忽视“及验证”。还有学生认为我先求出“”，定义域没有改变，再求出，殊不知此时代替，依然大于.

2.对于（1）通过我们可以获得与的关系式，对于（2）通过我们可以得到与之间的关系，再得到通项公式；

3.对于（2）我们还可以有这样的运算：，得到与之间的关系.

【例题反思】

（1）强调由数列前n项和求数列通项公式的一般形式和分类讨论的数学思想方法。

（2）验证时，若时，也适合“式”，则需统一“合写”；否则数列的通项公式应分段表示．

变式训练：已知下面数列的前项和，求的通项公式：

(1)

；

(2)

.

答案(1).

(2)∴当时，;

当时，.

例3．已知数列的通项，试问数列有没有最大项？若有，求最大项；若没有，说明理由．

【教学处理】可以先让学生想一想，然后请学生回答，本题的难度较大，教师要带着学生分

析，引导学生去联想和转化，教师板书全部解题过程．

【引导分析与精讲建议】

可提出以下问题与学生交流：

问题１：函数有哪些方法求最值？这些方法用在数列上都行的通吗？

问题２：函数单调性的定义是什么？你能以此给数列分类吗？

问题３:由得时，；时，，则数列是递增数列；时数列是递减数列，能否就说时取最大项？

追问：我们还有什么方法比较相邻两项的大小？

引导分析：除了转化为函数单调性进行本题的处理，你还有其它法子吗？如一年十二个月中八月份温度最高，即该月的温度不小于前一个月的温度，也不小于后一个月的温度，在这里你能列出表示数列最大项的式子吗？

思考题：跳格游戏：如图，人从格子外只能进入第1个格子，在格子中每次可向前跳1格或2格，那么人从格子外跳到第8个格子的方法种数为________.

答案

21

解析

设跳到第个格子的方法种数有，则到达第个格子的方法有两类：

①向前跳1格到达第个格子，方法种数为；

②向前跳2格到达第个格子，方法种数为，则，

由数列的递推关系得到数列的前8项分别是1,1,2,3,5,8,13,21.

∴跳到第8个格子的方法种数是21.

五、解题反思

1、数列中数的有序性是数列定义的灵魂，要注意辨析数列的项和数集中元素的区别，如基础回顾第3题．数列是一个定义域为正整数或它的子集的函数，要强化函数思想在数列中的渗透，但也要注意其定义域的特殊性，如例3,很容易认为最大项只有第九项，这就是忽略了数列是特殊的函数．

2、运用合情推理发现结论是一种创造性思维，成为高考中的热点和重点．由数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，需仔细观察分析，抓住几方面的特征：分式中分子、分母的独立特征如诊断练习题1（1）

相邻项间的变化特征；各项符号特征等如诊断练习题1（2）．运用观察、分析、归纳、验证的方法写出数列的一个通项公式是一种重要的思维方式，也是解决问题的关键．

3、数列是一种特殊的函数，因此在研究数列问题时既要注意函数方法的普遍性，又要注意数列方法的特殊性如诊断练习题2，例1

4、通项与前n项和的关系是一个十分重要的考点，运用时，不要忘记对的条件的验证．这类问题的主要题型有两类：一类是已知求如例2，另一类是已知与的关系求，此类题后面研究．正确解决它们关键都在于对公式的正确理解和运用．