_学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.62.6.2求曲线的方程学案苏教版

2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.62.6.2求曲线的方程学案苏教版本文简介：2.6.2求曲线的方程学习目标：1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)[自主预习·探新知]教材整理求曲线的方程阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．1．求曲线方程的一般步骤求曲线方程的一般步

2018_2019学年高中数学第2章圆锥曲线与方程2.62.6.2求曲线的方程学案苏教版本文内容：

2.6.2

求曲线的方程

学习目标：1.了解求曲线方程的步骤，会求一些简单曲线的方程．(重点)2.掌握求动点轨迹方程的常用方法．(难点)3.对动点轨迹方程的限制与检验．(易错点)

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主

预

习·探

新

知]

教材整理

求曲线的方程

阅读教材P63例1以上的部分，完成下列问题．

1．求曲线方程的一般步骤

求曲线方程的一般步骤为五步．用流程图表示如下：

↓

↓

↓

↓

求曲线方程的流程图可以简记为：

→→→→

2．求曲线方程的常用方法

求曲线方程的常用方法有直接法、代入法、参数法、几何法、定义法．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)在求曲线方程时，对于同一条曲线，坐标系的建立不同，所得到的曲线方程也不一样．(

)

(2)化简方程“|x|＝|y|”为“y＝x”是恒等变形．(

)

(3)按照求曲线方程的步骤求解出的曲线方程不用检验．(

)

(4)在求曲线方程时，如果点有了坐标或曲线有了方程，则说明已经建立了平面直角坐标系．(

)

[答案]

(1)√

(2)×

(3)×

(4)√

2．在平面直角坐标系内，到原点距离为2的点M的轨迹方程是________．

[解析]

由圆的定义知，点M的轨迹是以(0,0)为圆心，以2为半径的圆，则其方程为x2＋y2＝4.

[答案]

x2＋y2＝4

3．设P为曲线＋y2＝1上一动点，O为坐标原点，M为线段OP的中点，则动点M的轨迹方程是________．

[解析]

设M(x，y)，P(x0，y0)，

则x0＝2x，y0＝2y，

∵＋y＝1，∴x2＋4y2＝1.

[答案]

x2＋4y2＝1

4．到A(－3,0)，B(5，－1)的距离相等的点的轨迹方程是________.

【导学号：71392127】

[解析]

设P(x，y)，PA＝PB，即＝，即(x＋3)2＋y2＝(x－5)2＋(y＋1)2，化简得16x－2y－17＝0.

[答案]

16x－2y－17＝0

[合

作

探

究·攻

重

难]

直接法求轨迹方程

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a>c>b，且a，c，b成等差数列，AB＝2，求顶点C的轨迹方程．

[精彩点拨]

由a，c，b成等差数列可得a＋b＝2c；由a>c>b可知所求轨迹方程是整个轨迹方程的一部分；由AB＝2可建立适当的坐标系．于是可按求曲线方程的一般步骤求解．

[自主解答]

以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，则A(－1,0)，B(1,0)，设C点坐标为(x，y)，由已知得AC＋BC＝2AB.

即＋＝4，

整理化简得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.

又∵a>c>b，∴xb且a，c，b成等差数列”改为“△ABC的周长为6且AB＝2”，求顶点C的轨迹方程.

【导学号：71392128】

[解]

以AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．

则A(－1,0)，B(1,0)，设C(x，y)，

由已知得AC＋BC＋AB＝6.

即＋＝4.

化简整理得3x2＋4y2－12＝0，即＋＝1.

∵A，B，C三点不能共线，

∴x≠±2.

综上，点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±2).

定义法求曲线方程

已知圆A：(x＋2)2＋y2＝1与定直线l：x＝1，且动圆P和圆A外切并与直线l相切，求动圆的圆心P的轨迹方程．

[精彩点拨]

利用平面几何的知识，分析点P满足的条件为抛物线，可用定义法求解．

[自主解答]

如图，作PK垂直于直线x＝1，垂足为K，PQ垂直于直线x＝2，垂足为Q，则KQ＝1，所以PQ＝r＋1，又AP＝r＋1，

所以AP＝PQ，

故点P到圆心A(－2,0)的距离和到定直线x＝2的距离相等，所以点P的轨迹为抛物线，

A(－2,0)为焦点，直线x＝2为准线．设抛物线方程为y2＝－2px(p＞0)

则＝2，∴p＝4，

∴点P的轨迹方程为y2＝－8x.

[名师指津]

若动点运动的几何条件满足某种已知曲线的定义，可以设出其标准方程，然后用待定系数法求解，这种求轨迹的方法称为定义法，利用定义法求轨迹要善于抓住曲线的定义的特征.

[再练一题]

2．点P与定点F(2,0)的距离和它到定直线x＝8的距离的比是1∶2，求点P的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形．

[解]

设d是点P到直线x＝8的距离，根据题意，得＝.

由圆锥曲线的统一定义可知，点P的轨迹是以F(2,0)为焦点，x＝8为准线的椭圆，设椭圆的方程为＋＝1(a＞b＞0)，焦距为2c，则解得

∴b2＝a2－c2＝16－4＝12.

故点P的轨迹方程为＋＝1.

代入法求动点的轨迹方程

已知P在抛物线y＝x2上运动，另有一点Q(4,2)，求线段PQ的中点M的轨迹方程.

【导学号：71392129】

[精彩点拨]

设M(x，y)，由M为线段PQ的中点，可表示出在已知抛物线上运动的点P的坐标，代入到已知抛物线，进而得到所求动点的轨迹方程．

[自主解答]

设M(x，y)，P(x0，y0)．

由M为线段PQ的中点，

得＝x，＝y，

则x0＝2x－4，y0＝2y－2.

因为P(x0，y0)在抛物线y＝x2上，

即y0＝x，得2y－2＝(2x－4)2，

化简得y＝2x2－8x＋9.

即线段PQ的中点M的轨迹方程为y＝2x2－8x＋9.

[名师指津]

1．动点满足的条件不方便用等式求出，但动点随着另一个动点(相关点)而运动时，可以用动点坐标表示相关点的坐标，根据相关点坐标所满足的方程，即可得动点的轨迹方程，这种求轨迹方程的方法叫做相关动点法，也称代入法．

2．代入法求动点轨迹，要设从动点坐标为(x，y)，主动点坐标为(x0，y0)，用x，y表示x0，y0，不要弄反代入而导致错误．

[再练一题]

3．在例3中，若点M满足＝3，则点M的轨迹方程是什么？

[解]

设P(x0，y0)，则y0＝x，设M(x，y)，则＝(4－x0,2－y0)，＝(4－x,2－y)，由＝3，得即又y0＝x，∴3y－4＝(3x－8)2，化简得y＝3x2－16x＋，即点M的轨迹方程为y＝3x2－16x＋.

曲线方程的特征

[探究问题]

1．在解决曲线的方程问题时，怎样建立“适当的”坐标系？

[提示]

建立坐标系时，要充分利用图形的几何特征，例如，中心对称图形，可利用它的对称中心为坐标原点；轴对称图形，可利用它的对称轴为坐标轴；题设中有直角，可考虑以两直角边所在的直线为坐标轴等．同一曲线，坐标系建立的不同，方程也不相同．所以要遵循垂直性和对称性的原则建系．一方面让尽可能多的点落在坐标轴上，另一方面能使求出的轨迹方程形式简捷．

2．“轨迹方程”与“轨迹”有什么异同？

[提示]

(1)动点的轨迹方程实质上是建立轨迹上的点的坐标间的关系，即动点坐标(x，y)所适合的方程f(x，y)＝0.有时要在方程后根据需要指明变量的取值范围；(2)轨迹是点的集合，是曲线，是几何图形，故求点的轨迹时，除了写出方程外，还必须指出这个方程所代表的曲线的形状、位置、范围、大小等．

3．在求动点的轨迹方程时

，如何确定变量的取值范围？

[提示]

在求动点的轨迹方程时，注意不要把范围扩大或缩小，也就是要检验轨迹的纯粹性和完备性．应充分挖掘题目中的隐含条件、限制条件，求出变量的适当范围．

4．如何利用参数法求轨迹方程，利用参数法求轨迹方程时要注意什么？

[提示]

(1)当动点坐标x，y满足的等式关系不易直接找出时，可以设出与动点运动有关的变量作为参数，间接地表示出关于x，y的方程，然后再消去参数，为了消去参数，应根据题意找出参数满足的等式．在具体问题中，往往以直线的斜率k，倾斜角α，截矩b，时间t等作为参数．

(2)利用参数法求轨迹方程时，应注意参数的取值范围．同时，参数法求动点轨迹方程的一个难点就是消参数，应选用适当的方法消去参数．例如代入法、加减法、恒等式法等．

设椭圆方程为x2＋＝1，过点M(0,1)的直线l交椭圆于A，B两点，O为坐标原点，点P满足＝(＋)，当直线l绕点M旋转时，求动点P的轨迹方程.

【导学号：71392130】

[精彩点拨]

设出直线的方程，其斜率为k，运用所给条件，用k表示点P的纵、横坐标，消去k，得x，y的关系式，即动点P的轨迹方程．

[自主解答]

直线l过定点M(0,1)，当其斜率存在时设为k，则l的方程为y＝kx＋1.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知，A，B满足方程组

消去y，得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0，则Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0，∴x1＋x2＝－，x1x2＝.

设P(x，y)，则由＝(＋)，

得

消去k，得4x2＋y2－y＝0；

当斜率k不存在时，P是坐标原点，也满足这个方程，

故P点的轨迹方程为4x2＋y2－y＝0.

[再练一题]

4．过原点作直线l和抛物线y＝x2－4x＋9交于A，B两点，求线段AB的中点M的轨迹方程．

[解]

由已知，直线l的斜率一定存在，设l的方程为y＝kx，把它代入抛物线方程中，得

x2－(4＋k)x＋9＝0.由Δ＝(4＋k)2－36>0，得k>2或k2或k3或x3或x<－3)．

[当

堂

达

标·固

双

基]

1．到两坐标轴的距离相等的点的轨迹方程是________．

[解析]

设P(x，y)到两坐标轴的距离相等，则|x|＝|y|，即y＝±x.

[答案]

y＝±x

2．已知点P是直线2x－y＋3＝0上的一个动点，定点M(－1,2)，Q是线段PM延长线上的一点，且|PM|＝|MQ|，则Q点的轨迹方程是________．

[解析]

由题意知，M为PQ中点，设Q(x，y)，则P为(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0.

[答案]

2x－y＋5＝0

3．已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P满足|PA|＝2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积为________．

[解析]

设P(x，y)，由|PA|＝2|PB|，

得＝2，

∴3x2＋3y2－12x＝0，即x2＋y2－4x＝0.

∴P的轨迹是以(2,0)为圆心，半径为2的圆，

即轨迹所包围的面积等于4π.

[答案]

4π

4．已知定圆F1：(x＋5)2＋y2＝1，定圆F2：(x－5)2＋y2＝16，动圆M与定圆F1，F2都外切，则动圆圆心M的轨迹方程为________.

【导学号：71392131】

[解析]

由圆F1的方程知圆心F1(－5,0)，半径r1＝1，由圆F2的方程知圆心F2(5,0)，半径r2＝4，设动圆M的半径为R，因为圆M与圆F1，F2都外切，所以有MF1＝R＋1，MF2＝R＋4，从而有MF2－MF1＝3＜10＝F1F2，根据双曲线的意义知，点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的左支，设双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，焦距为2c，则2a＝3,2c＝10，∴a＝，c＝5.

∴b2＝c2－a2＝.∴动圆圆心M的轨迹方程为－＝1.

[答案]

－＝1

5．已知△ABC的两个顶点A，B的坐标分别是(－3,0)，(3,0)，边AC，BC所在直线的斜率之积为－，求顶点C的轨迹方程．

[解]

设顶点C的坐标为(x，y)，

则kCA＝(x≠－3)，kBC＝(x≠3)．

∵kCA·kBC＝－，∴·＝－.

化简得＋＝1(x≠±3)．

当x＝±3时，A，B，C三点共线，则不能构成三角形，故x≠±3.

∴所求顶点C的轨迹方程为＋＝1(x≠±3)．