周期性和抽象函数

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周期性和抽象函数本文简介:周期性和抽象函数1.周期函数:设函数,,如存在非零常数T,使得对任何,都有,则函数为周期函数,T为的一个周期。(1)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=f(x-a)或f(x-2a)=f(x)(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a

周期性和抽象函数本文内容:

周期性和抽象函数

1.周期函数:设函数,,如存在非零常数T,使得对任何,都有,则函数为周期函数,T为的一个周期。

(1)y=f(x)对x∈R时,f(x

+a)=f(x-a)

或f(x-2a

)=f(x)

(a>0)恒成立,则y=f(x)是周期为2a的周期函数;

(2)若y=f(x)是偶函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为2︱a︱的周期函数;

(3)若y=f(x)奇函数,其图像又关于直线x=a对称,则f(x)是周期为4︱a︱的周期函数;

(4)若y=f(x)关于点(a,0),(b,0)对称,则f(x)是周期为2的周期函数;

(5)y=f(x)的图象关于直线x=a,x=b(a≠b)对称,则函数y=f(x)是周期为2的周期函数;

(6)y=f(x)对x∈R时,f(x+a)=-f(x)(或f(x+a)=

,则y=f(x)是周期为2的周期函数;

2.处理抽象函数的六大策略:

(1)递推(2)换元

(3)联用

(4)图象

(5)赋值

例1.(1)(96全国15)设f(x)是(-∞,+∞)上的奇函数,f(x+2)=-f(x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则f(7.5)等于(

)

A.0.5

B.-0.5C.1.5D.-1.5

(2)设,且,,

(3)设,且,

_________

(4)设,且,,

,式是_____________

(5)函数都有=

.

.

解:(1)解:f(7.5)=f(5.5+2)=-f(5.5)=-f(3.5+2)=f(3.5)=f(1.5+2)=-f(1.5)=-f(-0.5+2)=

f(-0.5)=-f(0.5)=-0.5.

(2)解法1:设

y

A

3

C

E

2

B

D

x

-1

012

解法2:利用偶函数和周期性作出右图

A(-1,3)

B(0,2)

(3)解:①

将②代入①,得

下同例题

(4)解法1:

.

解法2:

,下同例题.

(5)解:.

令.

当,且.

上为增函数

评析:解抽象函数问题的方法,可概括为十个字:换元(例题解法1等)、递推(变式1)、联用(变式2的解法2)、图象、赋值(变式3).

例2.

定义在R上的函数y=

f(x)

是偶函数,且满足f(x+2)也是偶函数,当x∈[0,2]时,f(x)=2x-1,求x∈[-4,0]时f(x)的表达式.

[解析]由条件可以看出,应将区间[-4,0]分成两段考虑:

①若x∈[-2,0],-x∈[0,2],

∵f(x)为偶函数,

∴当x∈[-2,0]时,f(x)=

f(-x)=-2x-1,②若x∈[-4,-2

∴4+

x∈[0,2,

∵f(2+x)+

f(2-x),

∴f(x)=

f(4-x),

∴f(x)=

f(-x)=

f[4-(-x)]=

f(4+x)=2(x+4)-1=2x+7;

综上,

例3.已知函数f(x)的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),且满足条件:

①f(x·y)=

f(x)+

f(y),

②f(2)=1,

③当x>1时,f(x)>0,

(1)求证:f(x)为偶函数;

(2)讨论函数的单调性;

(3)求不等式f(x)+

f(x-3)≤2的解集.

[解析]

(1)在①中令x=y=1,得f(1)=

f(1)+

f(1)

f(1)=0,令x=y=-1,得f(1)=

f(-1)+

f(-1)

f(-1)=0,再令y=-1,得f(-x)=

f(x)+

f(-1)

f(x),∴f(x)为偶函

数;

(2)在①中令

先讨论上的单调性,

任取x1、x2,设x2>x1>0,

由③知:>0,∴f(x2)>f(x1),

∴f(x)在(0,+∞)上是增函数,

∵偶函数图象关于y轴对称

,∴f(x)在(-∞,0)上是减函数;

(3)∵f[x(x-3)]=

f(x)+

f(x-3)≤2,

由①、②得2=1+1=

f(2)+

f(2)=

f(4)=

f(-4),

1)若x(x-3)>0,∵f(x)在(0,+∞)上为增函数,

由f[x(x-3)]

≤f(4)得

2)若x(x-3)0,且a≠1)对于任意的实数x、y都有(

)C

A.f(xy)=f(x)·f(y)

B.f(xy)=f(x)+f(y)

C.f(x+y)=f(x)·f(y)

D.f(x+y)=f(x)+f(y)

2.

2.

如果且,则(

)C

A、2003

B、1001

C、2004

D、2002

3.

3.

若的最小正周期为2T,且有对一切实数x恒成立,则是

)B

A、奇函数

B、偶函数

C、既是奇函数又是偶函数

D、非奇非偶函数

4.已知f(x)是定义在R上的偶函数,并满足f(x+2)=,当2≤x≤3,f(x)=x,则f(5.5)=(

D

A.5.5B.-5.5C.-2.5D.2.5

5.定义在R上的函数f(x)不是常数函数,且满足f(x-1)=f(x+1),f(1+x)=f(1-x),则f(x)(

)B

A.是奇函数也是周期函数

B.是偶函数也是周期函数

C.是奇函数但不是周期函数

D.是偶函数但不是周期函数

6.(04年福建卷.理11)定义在R上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2),当x∈[3,5]时,非f(x)=2-|x-4|,则(D)

(A)f(sin)f(cos1)

(C)f(cos)f(sin2)

7.(05福建卷)是定义在R上的以3为周期的偶函数,且,则方程=0在区间(0,6)内解的个数的最小值是

B

A.5B.4C.3D.2

8.设函数f(x)的定义域为R,且x≠1,已知f(x+1)为奇函数,当x1时,f(x)的递增区间是(

)D

A.B.C.D.

图2—7

9.(2000上海,8)设函数y=f(x)是最小正周期为2的偶函数,它在区间[0,1]上的图象为如图2—7所示的线段AB,则在区间[1,2]上f(x)=

x

10.已知函数f

(x)是周期为2的函数,当-1-1

∴f()>0,

则f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=

f()>0

即f(x1)>f(x2).

∴f(x)

在(-1,0)上为单调减函数.∵f(x)为奇函数,∴

f(x)在(0,1)也是减函数.

⑶∵f()=f[]=f[]

=f()+f()=f()-f()

∴左边=[f()-f()]+[f()-f()]+…+[

f()+f()]=f()-f()

∵f(x)

为奇函数,又x(-1,0)时,有f(x)>0,∴x(0,1)时,有f(x)<0

∵0<<1,∴f()

f().

20.定义在R上的函数y=f(x),f(0)≠0,当x>0时,f(x)>1,且对任意的a、b∈R,有f(a+b)=f(a)·f(b).

(1)求证:f(0)=1;

(2)求证:对任意的x∈R,恒有f(x)>0;

(3)求证:f(x)是R上的增函数;

(4)若f(x)·f(2x-x2)>1,求x的取值范围.

(1)证明:令a=b=0,则f(0)=f

2(0).

又f(0)≠0,∴f(0)=1.

(2)证明:当x<0时,-x>0,

∴f(0)=f(x)·f(-x)=1.

∴f(-x)=>0.又x≥0时f(x)≥1>0,

∴x∈R时,恒有f(x)>0.

(3)证明:设x1<x2,则x2-x1>0.

∴f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)·f(x1).

∵x2-x1>0,∴f(x2-x1)>1.

又f(x1)>0,∴f(x2-x1)·f(x1)>f(x1).

∴f(x2)>f(x1).∴f(x)是R上的增函数.

(4)解:由f(x)·f(2x-x2)>1,f(0)=1得f(3x-x2)>f(0).又f(x)是R上的增函数,

∴3x-x2>0.∴0<x<3.

评述:解本题的关键是灵活应用题目条件,尤其是(3)中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是证明单调性的关键,这里体现了向条件化归的策略.

注定沧桑 2022-06-27 19:57:15

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再三的意思是什么

“再三”拼音是:zài sān,汉语词语,表示一次又一次,再三强调的意思,也有犹言非常,极其的意思。
“再三”的出处:
1、《易·蒙》:“初筮告,再三渎,渎则不告。”
2、《南阳送客》:“挥手再三别,临岐空断肠。”
3、《东周列国志》:“使者再三致秦王之意,信陵君亦再三却之。”
4、《史通·本纪》:“诸侯而称本纪,求名责实,再三乖缪。”
“再三”造句:
1、姐姐经过再三考虑,决定报考师范大学,将来做一名教师。
2、他斟酌再三,终于同意了。
3、这个决定是经过再三考虑后做出的。
4、经过我的再三请求,妈妈才答应带我去动物园玩。
5、经过再三思考,他才回答老师的问题。

小英雄雨来是几年级学的课文

《小英雄雨来》是部编版小学语文四年级下册的课文。
《雨来没有死》这部作品1948年发表在《人民日报》的前身——《晋察冀日报》上,受到了广大读者的一致好评。建国初期,教育部一位负责语文教科书的编审专程找到管桦,告诉他《小英雄雨来》被选进了全国语文课本。从此,小英雄雨来便成了整整一个时代全国少年儿童心目中的英雄。
作家管桦说,雨来的形象绝不是作家凭空想象的。雨来是抗日战争年代里河北省冀东少年儿童的一个缩影,这其中也包括管桦本人在内。小说中的芦花戏水,星夜攻读,智护交通员的情节,苇丛雏鸭、五谷飘香的田园风光景物,鲜活的方言土语,无一不是五十多年前那场波起云涌的民族解放战争中燕赵大地的真实写照。管桦在小英雄雨来纪念碑上亲笔写道:“1937年,日本鬼子侵略中国,中国进行全民族抗战。青壮年参加八路军,拿起枪抗击日本侵略者,冀东还乡河两岸各村的民兵、老年人、妇女、少年儿童,为保卫祖国家园与敌进行顽强的斗争。在那个战争年代,像雨来那样站岗放哨、手拿红缨枪、挺起小胸脯、给八路军送信、制造假地雷迷惑敌人,带路进埋伏圈的情况是很多很多的。”

冬日负暄是什么意思

“冬日负暄”意思是冬天受日光曝晒取暖,为向君王敬献忠心的典实。负暄,读音:fù xuān,为向君王敬献忠心的典实,冬天受日光曝晒取暖。出自《列子·杨朱》:“昔者宋国有田夫,常衣缊黂,仅以过冬。暨春东作,自曝于日,不知天下之有广厦隩室,绵纩狐貉。顾谓其妻曰:‘负日之暄,人莫知者。以献吾君,将有重赏。’”
译文:从前宋国有一个农夫,经常穿乱麻破絮,勉勉强强地挨过寒冬,到春天耕种时,在太阳下曝晒,不晓得天下还有高屋暖房、丝棉绸缎、狐皮貉裘,回头对妻子说:“背对太阳,暖和极了。别人都不知道,我去告诉君主,一定得到厚重的奖赏。”
古人对冬日负暄尤为钟爱。如白居易的《负冬日》:“杲杲冬日出,照我屋南隅。负暄闭目坐,和气生肌肤。初似饮醇醪,又如蛰者苏。外融百骸畅,中适一念无。旷然忘所在,心与虚空俱。”又如周邦彦的《曝日》:“冬曦如村酿,奇温止须臾。行行正须此,恋恋忽已无。”
哲学寓意:社会存在决定社会意识,社会意识是社会存在的反映。一个人具有什么样的社会意识要受到社会生活的制约,也与他的社会地位、生活环境和所受的社会教育等密切相关。这个农夫有这样的想法,是由他的社会地位、生活环境和所受的社会教育等社会存在决定的。

梦乡还是梦香?

正确的是“梦乡”。梦乡是汉语词语,拼音mèng xiāng,意思是指熟睡时梦境中虚幻的地方。出自唐·白居易《山鹧鸪》诗:“梦乡迁客展转卧,抱儿寡妇彷徨立。”
近义词:梦境。
示例:
1、唐·罗邺《春夜赤水驿旅怀》诗:“九衢春色休回首,半夜溪声正梦乡。”
2、清·黄景仁《夜梦故人》诗:“半是离乡半梦乡,西风卷叶雨鸣廊。”
3、《三侠五义》第十四回:“包兴点头一笑,即回至自己屋内,又将游仙枕看了一番,不觉困倦,即将枕放倒。头刚着枕,便入梦乡。”
4、杨沫《青春之歌》第一部第一章:“林道静用力打了几下门,可是打不开,老头一定早入梦乡了。”