高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案新人教A版

高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案新人教A版本文简介：二平行线分线段成比例定理1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.(难点、易混点)[基础·初探]教材整理1平行线分线段成比例定理阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．1．文字语言三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．2．图

高中数学第1讲相似三角形的判定及有关性质2平行线分线段成比例定理学案新人教A版本文内容：

二

平行线分线段成比例定理

1．掌握平行线分线段成比例定理及其推论．(重点)

2．能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.

(难点、易混点)

[基础·初探]

教材整理1

平行线分线段成比例定理

阅读教材P5～P7“定理”及以上部分，完成下列问题．

1．文字语言

三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例．

2．图形语言

如图1-2-1，l1∥l2∥l3，

则有：＝，

＝，＝.

图1-2-1

如图1-2-2所示，DE∥AB，DF∥BC，下列结论中不正确的是(

)

图1-2-2

A.＝

B.＝

C.＝D.＝

【解析】

∵DF∥EB，DE∥FB，

∴四边形DEBF为平行四边形，

∴DE＝BF，DF＝EB，

∴＝＝，A正确；

＝＝，B正确；

＝＝，C正确．

【答案】

D

教材整理2

平行线分线段成比例定理的推论

阅读教材P7～P9，完成下列问题．

1．文字语言

平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例．

2．图形语言

如图1-2-3，l1∥l2∥l3，

图1-2-3

如图1-2-4所示，在△ACE中，B，D分别在AC，AE上，下列推理不正确的是(

)

图1-2-4

A．BD∥CE?＝

B．BD∥CE?＝

C．BD∥CE?＝

D．BD∥CE?＝

【解析】

由平行线分线段成比例定理的推论不难得出A，B，C都是正确的，D是错误的．

【答案】

D

[质疑·手记]

预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：

疑问1：

解惑：

疑问2：

解惑：

疑问3：

解惑：

[小组合作型]

证明线段成比例

如图1-2-5，AD为△ABC的中线，在AB上取点E，AC上取点F，使AE＝AF，求证：＝.

图1-2-5

【精彩点拨】

在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N，且BC的中点为D，可以考虑补一个平行四边形来求解．

【自主解答】

如图，过C作CM∥EF，交AB于点M，交AD于点N.

∵AE＝AF，∴AM＝AC.

∵AD为△ABC的中线，

∴BD＝CD.

延长AD到G，使得DG＝AD，连接BG，CG，则四边形ABGC为平行四边形，

∴AB＝GC.

∵CM∥EF，∴＝＝，

∴＝.

又AB∥GC，AM＝AC，GC＝AB，

∴＝＝，∴＝.

1．解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形．

2．比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生．

3．利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中，＝＝＝.

[再练一题]

1．如图1-2-6，AD∥BE∥CF，EG∥FH，求证：＝.

图1-2-6

【证明】

∵AD∥BE∥CF，

∴＝.

又∵EG∥FH，∴＝，

∴＝.

证明线段相等

如图1-2-7，在梯形ABCD中，AD∥BC，F为对角线AC上一点，FE∥BC交AB于E，DF的延长线交BC于H，DE的延长线交CB的延长线于G.求证：BC＝GH.

【导学号：07370006】

图1-2-7

【精彩点拨】

从复杂的图形中找出基本图形△ABC和△DHG，而EF是它们的截线，再使用定理或推论即可．

【自主解答】

∵FE∥BC，∴＝，＝.

∵AD∥EF∥BH，∴＝，

∴＝，∴BC＝GH.

1．解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式．

2．应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题：

(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；

(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；

(3)要注意“中间量”的运用与转化．

[再练一题]

2．如图1-2-8所示，已知梯形ABCD的对角线AC与BD相交于点P，两腰BA，CD的延长线相交于点O，EF∥BC且EF过点P.

求证：(1)EP＝PF；

(2)OP平分AD和BC.

图1-2-8

【证明】

(1)∵EP∥BC，∴＝.

又∵PF∥BC，∴＝.

∵AD∥EF∥BC，∴＝，

∴＝，∴EP＝PF.

(2)在△OEP中，AD∥EP，∴＝.

在△OFP中，HD∥PF，∴＝，

∴＝.

又由(1)知EP＝PF，∴AH＝HD.

同理BG＝GC.

∴OP平分AD和BC.

[探究共研型]

平行线分线段成比例

探究1

你还有其它方法证明课本P8的例3吗？

【提示】

过点C作CF∥AB，与DE的延长线交于点F.

∵DE∥BC，CF∥AB，

∴＝，＝.

∴＝.

∵四边形BCFD是平行四边形，

∴DF＝BC，

∴＝，

∴＝＝.

探究2

如何证明课本中P9中“探究”？

【提示】

如果l1与l2相交于点G(如图(1))，那么l1与l2确定一个平面π.连接AD，BE，CF，则AD，BE，CF均在平面π上，且AD∥BE∥CF.由平行线分线段成比例定理可知，＝.

如果l1与l2是异面直线，那么可在直线l2上取一点G，过点G作l3∥l1，设l3与平面α，β，γ分别相交于P，Q，R(如图(2))，则l1与l3确定一个平面π1，l3与l2确定一个平面π2.在π1中，连接AP，BQ，CR，则AP∥BQ∥CR，所以＝.

在平面π2中，连接PD，QE，RF，则PD∥QE∥RF，所以＝，

所以＝.

(1)

(2)

如图1-2-9所示，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF经过梯形对角线的交点O，且EF∥AD.

(1)求＋的值；

(2)求证：＋＝.

图1-2-9

【精彩点拨】

(1)利用比例线段转化所求；

(2)证出EF＝2OE，再利用(1)的结果证明．

【自主解答】

(1)∵OE∥AD，∴＝.

∵EF∥AD，AD∥BC，∴EF∥AD∥BC，

∴＝，

∴＋＝＋＝＝1.

(2)证明：∵AD∥BC∥EF，

可得＝＝＝，

故OF＝OE，即EF＝2OE.

由(1)知，∵＋＝1，∴＋＝2.

∴＋＝2，

∴＋＝.

1．本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形．

2．运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等．

[再练一题]

3．如图1-2-10，已知点E是?ABCD边CD延长线上的一点，连接BE交AC于点O，交AD于点F.求证：OB2＝OE·OF.

【导学号：07370007】

图1-2-10

【证明】

因为四边形ABCD是平行四边形，

所以AB∥CD，AD∥BC.

由AB∥CE，得＝.

由AF∥BC，得＝，

所以＝(等量代换)，

即OB2＝OE·OF.

[构建·体系]

1．如图1-2-11，已知DE∥BC，则下列比例式成立的是(

)

图1-2-11

A.＝

B.＝

C.＝D.＝

【解析】

由平行线分线段成比例定理的推论知，＝.

【答案】

C

2．如图1-2-12，已知＝，DE∥BC，则等于(

)

图1-2-12

A.

B.

C.D.

【解析】

∵DE∥BC，＝.

∴＝，

∴＝.

又∵＝，

∴＝.

【答案】

C

3．如图1-2-13所示，一条河的两岸有一段是平行的，在河的南岸边每隔5米有一颗树，在北岸边每隔50米有一根电线杆．小丽站在离南岸边15米的点P处看北岸，发现北岸相邻的两根电线杆恰好被南岸的两棵树遮住，并且在这两棵树之间还有三棵树，则河宽为________米．

图1-2-13

【解析】

设河宽为x米，据题意＝，

解得x＝22.5.

【答案】

22.5

4．如图1-2-14所示，已知a∥b，＝，＝3，则＝________.

【导学号：07370008】

图1-2-14

【解析】

∵a∥b，

∴＝，＝.

∵＝3，∴BC＝3CD，

∴BD＝4CD.

又∵＝，

∴＝＝，

∴＝，∴＝，

∴＝＝.

【答案】

5．如图1-2-15，AD平分∠BAC，DE∥AC，EF∥BC，AB＝15

cm，AF＝4

cm，求BE和DE的长．

图1-2-15

【解】

∵DE∥AC，

∴∠3＝∠2.

又AD平分∠BAC，

∴∠1＝∠2，

∴∠1＝∠3，即AE＝ED.

∵DE∥AC，EF∥BC，

∴四边形EDCF是平行四边形，

∴ED＝FC，即AE＝ED＝FC.

设AE＝DE＝FC＝x.

由EF∥BC，得＝，即＝，

解得x1＝6，x2＝－10(舍去)．

所以DE＝6(cm)，BE＝15－6＝9(cm)．

我还有这些不足：

(1)

(2)

我的课下提升方案：

(1)

(2)

学业分层测评(二)

(建议用时：45分钟)

[学业达标]

一、选择题

1．如图1-2-16，梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC延长线上一点，AE分别交BD于G，交BC于F.下列结论：①＝；②＝；③＝；④＝.其中正确的个数是(

)

图1-2-16

A．1

B．2

C．3

D．4

【解析】

∵BC∥AD，

∴＝，＝，故①④正确．

∵BF∥AD，

∴＝，故②正确．

【答案】

C

2．如图1-2-17，E是?ABCD的边AB延长线上的一点，且＝，则＝

(

)

图1-2-17

A.

B.

C.

D.

【解析】

∵CD∥AB，∴＝＝，

又AD∥BC，∴＝.

由＝，得＝，

即＝，

∴＝＝.故选C.

【答案】

C

3．如图1-2-18，平行四边形ABCD中，N是AB延长线上一点，则－为(

)

【导学号：07370009】

图1-2-18

A.

B．1

C.D.

【解析】

∵AD∥BM，∴＝.

又∵DC∥AN，∴＝，

∴＝，

∴＝，

∴－＝－＝＝1.

【答案】

B

4．如图1-2-19，AD是△ABC的中线，E是CA边的三等分点，BE交AD于点F，则AF∶FD为(

)

图1-2-19

A．2∶1

B．3∶1

C．4∶1D．5∶1

【解析】

过D作DG∥AC交BE于G，

如图，因为D是BC的中点，

所以DG＝EC，

又AE＝2EC，

故AF∶FD＝AE∶DG＝2EC∶EC＝4∶1.

【答案】

C

5．如图1-2-20，将一块边长为12的正方形纸ABCD的顶点A，折叠至边上的点E，使DE＝5，折痕为PQ，则线段PM和MQ的比是(

)

图1-2-20

A．5∶12

B．5∶13

C．5∶19D．5∶21

【解析】

如图，作MN∥AD交DC于点N，

∴＝.

又∵AM＝ME，

∴DN＝NE＝DE＝，

∴NC＝NE＋EC＝＋7＝.

∵PD∥MN∥QC，

∴＝＝＝.

【答案】

C

二、填空题

6．(2016·乌鲁木齐)如图1-2-21，在△ABC中，点D，E分别在AB，AC上，DE∥BC，AD＝CE，若AB∶AC＝3∶2，BC＝10，则DE的长为__________．

图1-2-21

【解析】

∵DE∥BC，

∴AD∶AE＝AB∶AC＝3∶2.

∵AD＝CE，

∴CE∶AE＝3∶2.

∵AE∶AC＝2∶5，

∴DE∶BC＝2∶5.

∵BC＝10，

∴DE∶10＝2∶5，

解得DE＝4.

【答案】

4

7．如图1-2-22，已知B在AC上，D在BE上，且AB∶BC＝2∶1，ED∶DB＝2∶1，则AD∶DF＝________.

图1-2-22

【解析】

如图，过D作DG∥AC交FC于G.

则＝＝，∴DG＝BC.

又BC＝AC，∴DG＝AC.

∵DG∥AC，∴＝＝，

∴DF＝AF.

从而AD＝AF，∴AD∶DF＝7∶2.

【答案】

7∶2

8．如图1-2-23，在梯形ABCD中，AD∥BC，BD与AC相交于O，过O的直线分别交AB，CD于E，F，且EF∥BC，若AD＝12，BC＝20，则EF＝________.

图1-2-23

【解析】

∵AD∥EF∥BC，∴＝＝＝，

∴EO＝FO，而＝＝，＝，BC＝20，AD＝12，

∴＝1－＝1－，∴EO＝7.5，∴EF＝15.

【答案】

15

三、解答题

9．线段OA⊥OB，点C为OB中点，D为线段OA上一点．连接AC，BD交于点P.如图1-2-24，当OA＝OB，且D为OA中点时，求的值．

图1-2-24

【解】

过D作DE∥CO交AC于E，

因为D为OA中点，

所以AE＝CE＝AC，＝，

因为点C为OB中点，所以BC＝CO，＝，

所以＝＝，所以PC＝CE＝AC，所以＝＝＝2.

10．如图1-2-25，AB⊥BD于B，CD⊥BD于D，连接AD，BC交于点E，EF⊥BD于F，求证：＋＝.

【导学号：07370010】

图1-2-25

【证明】

∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，

∴AB∥EF∥CD，

∴＝，＝，

∴＋＝＋＝＝＝1，

∴＋＝.

[能力提升]

1．如图1-2-26，已知△ABC中，AE∶EB＝1∶3，BD∶DC＝2∶1，AD与CE相交于F，则＋的值为(

)

图1-2-26

A.

B．1

C.D．2

【解析】

过点D作DG∥AB交EC于点G，则＝＝＝.而＝，即＝，所以AE＝DG，从而有AF＝FD，EF＝FG＝CG，故＋＝＋＝＋1＝.

【答案】

C

2．如图1-2-27，已知P，Q分别在BC和AC上，＝，＝，则＝

(

)

图1-2-27

A．3∶14

B．14∶3

C．17∶3D．17∶14

【解析】

过点P作PM∥AC，

交BQ于M，则＝.

∵PM∥AC且＝，

∴＝＝.

又∵＝，∴＝·＝×＝，

即＝.

【答案】

B

3.如图1-2-28所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝4，CD＝2.E，F分别为AD，BC上点，且EF＝3，EF∥AB，则梯形ABFE与梯形EFCD的面积比为__________．

图1-2-28

【解析】

如图，延长AD，BC交于点O，作OH⊥AB于点H.

∴＝，得x＝2h1，＝，得h1＝h2.

∴S梯形ABFE＝×(3＋4)×h2＝h1，

S梯形EFCD＝×(2＋3)×h1＝h1，

∴S梯形ABFE∶S梯形EFCD＝7∶5.

【答案】

7∶5

4．某同学的身高为1.6

m，由路灯下向前步行4

m，发现自己的影子长为2

m，求这个路灯的高．

【解】

如图所示，AB表示同学的身高，PB表示该同学的影长，CD表示路灯的高，则AB＝1.6

m，PB＝2

m，BD＝4

m.

∵AB∥CD，

∴＝，

∴CD＝＝＝4.8(m)，

即路灯的高为4.8

m.