位似图形和圆与相似三角形的综合复习
位似图形和圆与相似三角形的综合复习本文简介:位似图形和圆与相似三角形的综合复习1、位似图形的概念和特征(1)、如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边平行,像这样的两个图形叫位似图形.这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫位似比。(2)特征:1、位似图形一定是相似形,反之不一定。2、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似
位似图形和圆与相似三角形的综合复习本文内容:
位似图形和圆与相似三角形的综合复习
1、位似图形的概念和特征
(1)、如果两个图形不仅是相似图形,而且对应顶点的连线相交于一点,对应边平行,像这样的两个图形叫位似图形.
这个点叫做位似中心,这时的相似比又叫位似比。
(2)特征:
1、位似图形一定是相似形,反之不一定。
2、判断位似图形时要注意首先它们必须是相似形,其次每一对对应点所在直线都经过同一点。
概念巩固
1、如图,△OAB和△OCD是位似图形,AB与CD平行吗?
2.下列图形是否是位似图形?如果是请指出位似中心,如果不是请说明理由。
利用位似,可以将一个图形放大或缩小
(1)如图,将四边形ABCD进行放大或者宿小。
2.位似图形的性质
位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比
E
D
A
D
F
A
O
B
C
F
O
B
C
3.位似图形与中心对称图形有何关系?
4、位似变换中对应点的坐标变化规律:
在平面直角坐标系中,如果位似变换是以原点为位似中心,相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.
例、如图,△ABC三个顶点坐标分贝位A(2,3),B(2,1),C(6,2),以点O为位似中心,相似比为2,将△ABC放大,观察对应点的坐标的变化,你有什么发现?
5、相似三角形的证明
例1、
AB是⊙O的直径,点C在⊙O上,∠BAC=60°,P是OB上一点,过P作AB的垂线与AC的延长线交于点Q,连结OC,过点C作CD⊥OC交PQ于点D.
(1)求证:△CDQ是等腰三角形;
(2)如果△CDQ≌△COB,求BP∶PO的值.
例2、
△ABC内接于圆O,∠BAC的平分线交⊙O于D点,交⊙O的切线BE于F,连结BD,CD.
求证:(1)BD平分∠CBE;(2)AB·BF=AF·DC.
例3、
⊙O内两弦AB,CD的延长线相交于圆外一点E,由E引AD的平行线与直线BC交于F,作切线FG,G为切点,求证:EF=FG.
三、典型例题:
例1.
(北京市)在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且,则∠BCA的度数为_____________。
例2、(芜湖市课改实验区)小胖和小瘦去公园玩标准的跷跷板游戏,两同学越玩越开心,小胖对小瘦说:“真可惜!我只能将你最高翘到1米高,
如果我俩各边的跷跷板再伸长相同的一段长度,那么我就能翘
到1米25,甚至更高!”
(1)你认为小胖的话对吗?请你作图分析说明;
(2)你能否找出将小瘦翘到1米25高的方法?试说明.
四、巩固练习:
1.在△ABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶2∶3,CD⊥AB于D,AB=a,则DB=(
)
A.B.C.D.
2.如图,AD是△ABC高线,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F,则(1)AD2=BD·CD(2)AD2=AE·AB(3)AD2=AF·AC(4)AD2=AC2-AC·CF中正确的有(
)
A.1个B.2个C.3个D.4个
3.如图,AB是⊙O的直径,C,D是半圆的三等分点,则∠C+∠E+∠D=(
)
A.135°B.110°C.145°
D.120°
4.如图,以等腰三角形的腰为直径作圆,交底边于D,连结AD,那么(
)
A.∠BAD+∠CAD=90°B.∠BAD>∠CAD
C.∠BAD=∠CADD.∠BAD<∠CAD
5.在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AD⊥BC于D,AB=2,DB=1,则DC=______,AD=______.
6.在Rt△ABC中,AD为斜边上的高,S△ABC=4S△ABD,则AB∶BC=______.
7.如图,AB是⊙O的直径,CB切⊙O与B,CD切⊙O与D,交BA的延长线于E.若AB=3,ED=2,则BC的长为______.
8.如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,⊙O为内切圆,E为切点,
(Ⅰ)求∠AOD的度数;
(Ⅱ)若AO=8
cm,DO=6
cm,求OE的长.
9.如图,在△ABC中,∠C=90°,AD是∠BAC的平分线,O是AB上一点,以OA为半径的⊙O经过点D.
(1)求证:BC是⊙O切线;
(2)若BD=5,DC=3,求AC的长.
五、课后练习
1、如图1,在等边△ABC中,P为BC上一点,D为AC上一点,且∠APD=60°,BP=1,CD=,则△ABC的边长为(
)
A.
3
B.
4
C.
5
D.
6
2、如图3,E、G、F、H分别是矩形ABCD四条边上的点,EF⊥GH,若AB=2,BC=3
则EF∶GH等于(
)
A.
2:3
B.
3:2
C.
4:9
D.无法确定
3、如图,有一块三角形土地,它的底边BC=100米,高AH=80米,某单位要沿着池边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼,D、G分别在AB、AC上,若大楼的宽40米,则这个矩形的面积为
.
4、如图,DE是△ABC的中位线,M是DE的中点,CM的延长线交AB于点N,则S△DMN:S△四边形ANME等于(
)
A.
1:5
B.
1:4
C.
2:5
D.
2:7
5、在△ABC中,∠B=25°,AD是BC边上的高,并且=BD·DC
则∠BCA的度数为
.
6、如图7,在△ABC中,点D在AB上,点E在AC上,若∠ADE=∠C
且AB=5
,AC=4,AD=x
,AE=y,则y与x的关系式是(
)
A.
B.
C.
D.
7.如图,AB是⊙O的直径,CD是⊙O的一条弦,且CD⊥AB于E,连结AC、OC、BC.
(1)求证:∠ACO=∠BCD;
(2)若BE=2,CD=8,求AB和AC的长.
8.
如图,在4×4的正方形方格中,△ABC和△DEF的顶点都在
边长为1的小正方形的顶点上.
(1)填空:∠ABC=
°,BC=
;
(2)判断△ABC与△DEF是否相似,并证明你的结论.
六、提高练习
1、
如图,已知△ABC的边AB=,AC=2,BC边上的高AD=.
(1)求BC的长;
(2)如果有一个正方形的边在AB上,另外两个顶点分别在AC,BC上,求这个正方形的面积.
2.(山东省日照市)在△ABC中,∠A=90°,AB=4,AC=3,M是AB上的动点(不与A,B重合),过M点作MN∥BC交AC于点N.以MN为直径作⊙O,并在⊙O内作内接矩形AMPN.令AM=x.
(1)用含x的代数式表示△MNP的面积S;
(2)当x为何值时,⊙O与直线BC相切?
(3)在动点M的运动过程中,记△MNP与梯形BCNM重合的面积为yA
B
C
M
N
P
图
1
O
,试求y关于x的函数表达式,并求x为何值时,y的值最大,最大值是多少?