名家谈复习考研数学复习要点

名家谈复习考研数学复习要点本文简介：复习线性代数要注重知识点的衔接与转换--李永乐考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基

名家谈复习考研数学复习要点本文内容：

复习线性代数要注重知识点的衔接与转换

--李永乐

考研复习现在已经进入整理冲刺阶段，这段时间大家应把复习过的知识系统化综合化，注意搞细搞透搞活，也可适当做几套模拟题，这既可查漏补缺也可兼代积累一点临场经验。本文现针对线性代数课程的特点，提如下建议供考生参考。

一、注重对基本概念的理解与把握，正确熟练运用基本方法及基本运算。

线性代数的概念很多，重要的有：

代数余子式，伴随矩阵，逆矩阵，初等变换与初等矩阵，正交变换与正交矩阵，秩（矩阵、向量组、二次型），等价（矩阵、向量组），线性组合与线性表出，线性相关与线性无关，极大线性无关组，基础解系与通解，解的结构与解空间，特征值与特征向量，相似与相似对角化，二次型的标准形与规范形，正定，合同变换与合同矩阵。

往年常有考生没有准确把握住概念的内涵，也没有注意相关概念之间的区别与联系，导致做题时出现错误。例如，矩阵A＝（α1，α2，.，αm）与B＝（β1，β2.，βm）等价，意味着经过初等变换可由A得到B，要做到这一点，关键是看秩r（A）与r（B）是否相等，而向量组α1，α2，.αm与β1，β2，.βm等价，说明这两个向量组可以互相线性表出，因而它们有相同的秩，但是向量组有相同的秩时，并不能保证它们必能互相线性表现，也就得不出向量组等价的信息，因此，由向量组α1，α2，.αm与β1，β2，.βm等价，可知矩阵A＝（α1，α2，.αm）与B＝（β1，β2，.βm）等价，但矩阵A与B等价并不能保证这两个向量组等价。

又如，实对称矩阵A与B合同，即存在可逆矩阵C使CTAC＝B，要实现这一点，关键是二次型xTAx与xTBx的正、负惯性指数是否相同，而A与B相似是指有可逆矩阵P使P－1AP＝B成立，进而知A与B有相同的特征值，如果特征值相同可知正、负惯性指数相同，但正负惯性指数相同时，并不能保证特征值相同，因此，实对称矩阵A～BAB，即相似是合同的充分条件。

线性代数中运算法则多，应整理清楚不要混淆，基本运算与基本方法要过关，重要的有：

行列式（数字型、字母型）的计算，求逆矩阵，求矩阵的秩，求方阵的幂，求向量组的秩与极大线性无关组，线性相关的判定或求参数，求基础解系，求非齐次线性方程组的通解，求特征值与特征向量（定义法，特征多项式基础解系法），判断与求相似对角矩阵，用正交变换化实对称矩阵为对角矩阵（亦即用正交变换化二次型为标准形）。

二、注重知识点的衔接与转换，知识要成网，努力提高综合分析能力。

线性代数从内容上看纵横交错，前后联系紧密，环环相扣，相互渗透，因此解题方法灵活多变，复习时应当常问自己做得对不对？再问做得好不好？只有不断地归纳总结，努力搞清内在联系，使所学知识融会贯通，接口与切入点多了，熟悉了，思路自然就开阔了。

例如：设A是m×n矩阵，B是n×s矩阵，且AB＝0，那么用分块矩阵可知B的列向量都是齐次方程组Ax＝0的解，再根据基础解系的理论以及矩阵的秩与向量组秩的关系，可以有r（B）≤n－r（A）即r（A）＋r（B）≤n，进而可求矩阵A或B中的一些参数。

再如，若A是n阶矩阵可以相似对角化，那么，用分块矩阵处理P－1AP＝∧可知A有n个线性无关的特征向量，P就是由A的线性无关的特征向量所构成，再由特征向量与基础解系间的联系可知此时若λi是ni重特征值，则齐次方程组（λiE－A）x＝0的基础解系由ni个解向量组成，进而可知秩r（λiE－A）＝n－ni，那么，如果A不能相似对角化，则A的特征值必有重根且有特征值λi使秩r（λiE－A）＜n－ni，若A是实对称矩阵，则因A必能相似对角化而知对每个特征值λi必有r（λiE－A）＝n－ni，此时还可以利用正交性通过正交矩阵来实现相似对角化。

又比如，对于n阶行列式我们知道：若｜A｜＝0，则Ax＝0必有非零解，而Ax＝b没有惟一解（可能有无穷多解，也可能无解），而当｜A｜≠0时，可用克莱姆法则求Ax＝b的惟一解；可用｜A｜证明矩阵A是否可逆，并在可逆时通过伴随矩阵来求A－1；对于n个n维向量α1，α2，.αn可以利用行列式｜A｜＝｜α1α2.αn｜是否为零来判断向量组的线性相关性；矩阵A的秩r（A）是用A中非零子式的最高阶数来定义的，若r（A）＜r，则A中r阶子式全为0；求矩阵A的特征值，可以通过计算行列式｜λE－A｜，若λ＝λ0是A的特征值，则行列式｜λ0E－A｜＝0；判断二次型xTAx的正定性，可以用顺序主子式全大于零。

凡此种种，正是因为线性代数各知识点之间有着千丝万缕的联系，代数题的综合性与灵活性就较大，同学们整理时要注重串联、衔接与转换。

三、注重逻辑性与叙述表述

线性代数对于抽象性与逻辑性有较高的要求，通过证明题可以了解考生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度，考查考生的抽象思维能力、逻辑推理能力。大家复习整理时，应当搞清公式、定理成立的条件，不能张冠李戴，同时还应注意语言的叙述表达应准确、简明。

线性代数中常见的证明题型有：

证｜A｜＝0；证向量组α1，α2，.αt的线性相关性，亦可引伸为证α1，α2.，αt是齐次方程组Ax＝0的基础解系；证秩的等式或不等式；证明矩阵的某种性质，如对称，可逆，正交，正定，可对角化，零矩阵等；证齐次方程组是否有非零解；线性方程组是否有解（亦即β能否由α1，α2.，αs线性表出）；对给出的两个方程组论证其同解性或有无公共解；证二次型的正定性，规范形等。

总之，数学题目千变万化，有各种延伸或变式，同学们要在考试中取得好成绩，一定要认真仔细地复习，华而不实靠押题碰运气是行不通的，必须要重视三基，多思多议，不断地总结经验与教训，做到融会贯通。

考研高等数学重点复习与典型题型

--赵达夫

近年来考研数学试题难度比较大，平均分比较低，而高等数学又是考研数学的重中之重，如何备考高等数学已经成为广大考生普遍关心的重要问题。根据笔者多年的辅导经验，要特别注意以下三个方面。

第一，按照大纲对数学基本概念、基本方法、基本定理准确把握。数学是一门演绎的科学，靠侥幸押题是行不通的。只有对基本概念有深入理解，对基本定理和公式牢牢记住，才能找到解题的突破口和切入点。分析近几年考生的数学答卷可以发现，考生失分的一个重要原因就是对基本概念、定理理解不准确，数学中最基本的方法掌握不好，给解题带来思维上的困难。2001年数学一填空题与选择题满分30分，考生平均得分较低，客观地讲，这些题不是难题。数学的概念和定理是组成数学试题的基本元件，数学思维过程离不开数学概念和定理，因此，正确理解和掌握好数学概念、定理和方法是取得好成绩的基础和前提。

第二，要加强解综合性试题和应用题能力的训练，力求在解题思路上有所突破。综合题的考查内容可以是同一学科的不同章节，也可以是不同学科的。近几年试卷中常见的综合题有：级数与积分的综合题；微积分与微分方程的综合题；求极限的综合题；空间解析几何与多元函数微分的综合题；线性代数与空间解析几何的综合题；以及微积分与微分方程在几何上、物理上、经济上的应用题等等。在解综合题时，迅速地找到解题的切入点是关键一步，为此需要熟悉规范的解题思路，考生应能够看出面前的题目与他曾经见到过的题目的内在联系。为此必须在复习备考时对所学知识进行重组，搞清有关知识的纵向与横向联系，转化为自己真正掌握的东西。解应用题的一般步骤都是认真理解题意，建立相关数学模型，如微分方程、函数关系、条件极值等，将其化为某数学问题求解。建立数学模型时，一般要用到几何知识、物理力学知识和经济学术语等。

第三，重视历年试题的强化训练。统计表明，每年的研究生入学考试高等数学内容较之前几年都有较大的重复率，近年试题与往年考题雷同的占50%左右，这些考题或者改变某一数字，或改变一种说法，但解题的思路和所用到的知识点几乎一样。所以希望考生一是要注意年年被考到的内容，对往年考题要全部消化巩固；二是注意那些多年没考到而大纲要求的内容。这样，通过对考研的试题类型、特点、思路进行系统的归纳总结，并做一定数量习题，有意识地重点解决解题思路问题。对于那些具有很强的典型性、灵活性、启发性和综合性的题，要特别注重解题思路和技巧的培养。尽管试题千变万化，其知识结构基本相同，题型相对固定。提练题型的目的，是为了提高解题的针对性，形成思维定势，进而提高考生解题的速度和准确性。

下面以数学一为主总结一下高数各部分常见题型。

一.

函数、极限与连续

求分段函数的复合函数；

求极限或已知极限确定原式中的常数；

讨论函数的连续性，判断间断点的类型；

无穷小阶的比较；

讨论连续函数在给定区间上零点的个数，或确定方程在给定区间上有无实根。

二．一元函数微分学

求给定函数的导数与微分（包括高阶导数），隐函数和由参数方程所确定的函数求导，特别是分段函数和带有绝对值的函数可导性的讨论；

利用洛比达法则求不定式极限；

讨论函数极值，方程的根，证明函数不等式；

利用罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理和泰勒中值定理证明有关命题，如“证明在开区间内至少存在一点满足”，此类问题证明经常需要构造辅助函数；

几何、物理、经济等方面的最大值、最小值应用问题，解这类问题，主要是确定目标函数和约束条件，判定所讨论区间；

利用导数研究函数性态和描绘函数图形，求曲线渐近线。

三．一元函数积分学

计算题：计算不定积分、定积分及广义积分；

关于变上限积分的题：如求导、求极限等；

有关积分中值定理和积分性质的证明题；

定积分应用题：计算面积，旋转体体积，平面曲线弧长，旋转面面积，压力，引力，变力作功等；

综合性试题。

四．向量代数和空间解析几何

计算题：求向量的数量积，向量积及混合积；

求直线方程，平面方程；

判定平面与直线间平行、垂直的关系，求夹角；

建立旋转面的方程；

与多元函数微分学在几何上的应用或与线性代数相关联的题目。

五．多元函数的微分学

判定一个二元函数在一点是否连续，偏导数是否存在、是否可微，偏导数是否连续；

求多元函数（特别是含有抽象函数）的一阶、二阶偏导数，求隐函数的一阶、二阶偏导数；

求二元、三元函数的方向导数和梯度；

求曲面的切平面和法线，求空间曲线的切线与法平面，该类型题是多元函数的微分学与前面向量代数与空间解析几何的综合题，应结合起来复习；

多元函数的极值或条件极值在几何、物理与经济上的应用题；求一个二元连续函数在一个有界平面区域上的最大值和最小值。这部分应用题多要用到其他领域的知识，考生在复习时要引起注意。

六．多元函数的积分学

二重、三重积分在各种坐标下的计算，累次积分交换次序；

第一型曲线积分、曲面积分计算；

第二型（对坐标）曲线积分的计算，格林公式，斯托克斯公式及其应用；

第二型（对坐标）曲面积分的计算，高斯公式及其应用；

梯度、散度、旋度的综合计算；

重积分，线面积分应用；求面积，体积，重量，重心，引力，变力作功等。数学一考生对这部分内容和题型要引起足够的重视。

七．无穷级数

判定数项级数的收敛、发散、绝对收敛、条件收敛；

求幂级数的收敛半径，收敛域；

求幂级数的和函数或求数项级数的和；

将函数展开为幂级数（包括写出收敛域）；

将函数展开为傅立叶级数，或已给出傅立叶级数，要确定其在某点的和（通常要用狄里克雷定理）；

综合证明题。

八．微分方程

求典型类型的一阶微分方程的通解或特解：这类问题首先是判别方程类型，当然，有些方程不直接属于我们学过的类型，此时常用的方法是将x与y对调或作适当的变量代换，把原方程化为我们学过的类型；

求解可降阶方程；

求线性常系数齐次和非齐次方程的特解或通解；

根据实际问题或给定的条件建立微分方程并求解；

综合题，常见的是以下内容的综合：变上限定积分，变积分域的重积分，线积分与路径无关，全微分的充要条件，偏导数等。

总之，对考生来说，要想在数学考试中取得好成绩，必须认真系统地按照各类考试大纲的要求全面复习，掌握数学的基本概念、基本方法和基本定理。平时注意抓题型的解决方法和技巧，不断总结。最后按规定时间做几份模拟题，了解一下究竟掌握到什么程度，同时知道薄弱环节，抓紧时间补上。如果考生能够通过做题，将遇到的各种题进行延伸或变式，做到融会贯通，一定会取得好的成绩。

概率论与数理统计重点考核点分析

--姚孟臣

“概率论与数理统计”是全国硕士研究生入学数学考试的一个重要组成部分。从研究必然问题到处理随机问题，不仅大多数初学者感到比较困难，对于曾经学过概率论与数理统计的广大考生来说也觉得问题不少，特别是在做习题以及解决实际应用方面遇到的困难会更多一些。从近几年的硕士研究生入学数学考试阅卷结果也可以看出，这部分试题得分率普遍较低，有些考生甚至完全放弃这部分试题。特别是2001年理工类考生在概率论与数理统计的两个大题上的得分率远远低于经济类考生。出现这种情况有两方面的原因：一是由于他们根据前几年的试题分析，错误地认为理工类的概率论与数理统计的要求低于经济类考生，而忽略了近两三年以来大纲的变化；二是没有结合概率论与数理统计自身的特点，进行有针对性的复习。

与“微积分”和“线性代数”不同的是，在概率论与数理统计中对基本概念的深入理解所占的比例相当大，而其中解题的方法并不多，涉及到的技巧是很少的（甚至可以说没有技巧）。因此，我们首先应该根据教育部最新制定的“全国硕士研究生入学统一考试数学考试大纲“的有关“概率论与数理统计“的要求进行再学习，考试大纲的内容分为8部分（见下表）：

1，随机事件和概率

5，大数定律和中心极限定理

2，随机变量及其概率分布

6，数理统计的基本概念

3，二维随机变量及其概率分布

7，参数估计

4，随机变量的数字特征

8，假设检验

对于上面每一部分的“基本内容与重要结论”要重点掌握（而不是一般的了解）；第二，学会题目的分析方法；第三，完成一定量的习题。

根据每个人对基本概念理解程度的不同，应以确保重点、兼顾一般的方法进行复习。为了配合考生的复习，我们根据历年考试的情况将8部分内容的考核点分为重点考核点、次重点考核点及一般考核点一一列出。

第一部分：随机事件和概率

（1）样本空间与随机事件

（2）概率的定义与性质（含古典概型、几何概型、加法公式）

（3）条件概率与概率的乘法公式

（4）事件之间的关系与运算（含事件的独立性）

（5）全概公式与贝叶斯公式

（6）伯努利概型

第二部分：随机变量及其概率分布

（1）随机变量的概念及分类

（2）离散型随机变量概率分布及其性质

（3）连续型随机变量概率密度及其性质

（4）随机变量分布函数及其性质

（5）常见分布

（6）随机变量函数的分布

第三部分：二维随机变量及其概率分布

（1）多维随机变量的概念及分类

（2）二维离散型随机变量联合概率分布及其性质

（3）二维连续型随机变量联合概率密度及其性质

（4）二维随机变量联合分布函数及其性质

（5）二维随机变量的边缘分布和条件分布

（6）随机变量的独立性

（7）两个随机变量的简单函数的分布

第四部分：随机变量的数字特征

（1）随机变量的数字期望的概念与性质

（2）随机变量的方差的概念与性质

（3）常见分布的数字期望与方差

（4）随机变量矩、协方差和相关系数

第五部分：大数定律和中心极限定理

（1）切比雪夫不等式

（2）大数定律

（3）中心极限定理

第六部分：数理统计的基本概念

（1）总体与样本

（2）样本函数与统计量

（3）样本分布函数和样本矩

第七部分：参数估计

（1）点估计

（2）估计量的优良性

（3）区间估计

第八部分：假设检验

（1）假设检验的基本概念

（2）单正态总体的均值和方差的假设检验

（3）双正态总体的均值和方差的假设检验

最近4年数学一考试重点内容的顺序是：①二维随机变量及其概率分布；②随机变量的数字特征；③随机事件和概率；④数理统计。

最近4年数学三考试重点内容的顺序是：①随机变量的数字特征；②二维随机变量及其概率分布；③随机事件和概率；④数理统计。

最近4年数学四考试重点内容的顺序是：①随机变量的数字特征；②二维随机变量及其概率分布；③随机事件和概率；④大数定律和中心极限定理。