届中考数学复习第9讲三角形二试题

2016届中考数学复习第9讲三角形二试题本文简介：第九讲三角形（二）9．1直角三角形基础盘点1．有一个内角_____的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角______．2．在直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的_______．3．直角三角形斜边上的中线等于________．4．勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a和b，斜边为c，则_____

2016届中考数学复习第9讲三角形二试题本文内容：

第九讲

三角形（二）

9．1直角三角形

基础盘点

1．有一个内角_____的三角形是直角三角形，直角三角形两锐角______．

2．在直角三角形中，30°角对的直角边等于斜边的_______．

3．直角三角形斜边上的中线等于________．

4．勾股定理：如果直角三角形两条直角边为a和b，斜边为c，则__________，即，直角三角形_________平方和等于_________.

5．如果三角形三边a、b、c满足_________，那么这个三角形是直角三角形．

考点呈现

考点1

直角三角形两锐角互余

例1（2015·常州）如图1，BC⊥AE于点C，CD∥AB，∠B＝40°，则∠ECD的度数是

(

)

A.70°

B.60°

C.50°

D.40°

图1

解析：由题意知，△ABC是直角三角形，且∠B＝40°，所以∠A=90°-40°＝50°，再根据“两直线平行，同位相等”可得∠ECD＝∠A=50°.故选C．

评注：“直角三角形两锐角互余”揭示了直角三角形两锐角的关系，多与平行线的性质结合求角的度数．

考点2

含30°角的直角三角形的性质

例2（2015·青岛）如图2，在△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，DE=1，则BC等于

(

)

A.

B.2

C.3

D.+2

图2

解析：在Rt△BDE中，根据“直角三角形中，30°的角所对的直角边等于斜边的一半”，可求得BD=2BE=2，再根据角平分线性质定理，求得CD=ED=1，所以BC=CD+BD=3.故选C．

评注：含30°角直角三角形的性质通常用于求三角形的边和角，也是证明线段倍分问题的重要依据．

考点3

直角三角形斜边上的中线

例3（2015·宿迁）如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E，F分别为AB，AC，BC的中点．若CD=5，则EF的长为______．

图3

解析：根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可求得AB=2BC=10，再根据三角形中位线定理，可得EF==5，故EF=5．

评注：若题目的条件中给出直角三角形斜边上的中线，通常利用直角三角形的性质求得斜边长，从而为问题的进一步解决提供必要的条件．

考点4

勾股定理

例4

（2015·西宁）如图4，Rt△ABC中，∠B=90°，AB=4，BC=3，AC的垂直平分线DE分别交AB，AC于D，E两点，则CD的长为_____．

图4

解析：先根据线段垂直平分线的性质得出CD=AD，故AB=BD+AD=BD+CD，设CD=x，则BD=4﹣x，在Rt△BCD中，根据勾股定理可得,即x2=32+（4﹣x）2，解得x=，即CD=.

评注：在运用勾股定理解决一些问题时，常需要与方程相结合．运用方程思想，能使思路开阔，方法简便．

考点5

勾股定理的逆定理

例5

（2015·桂林）下列各组线段能构成直角三角形的一组是

（

）

A.30，40，50

B.7，12，13

C.5，9，12

（Ｄ）3，4，6

解析：在A选项中，302+402=502，所以这三条线段能组成三角形，故选A.

评注：在利用勾股定理的逆定理判断三条线段能否构成直角三角形时，只要看较小两边的平方和是否等于最长边的平方即可．

误区点拨

1．受思维定式影响，认为c边一定是斜边

例1

在△ABC中，∠A，∠B,∠C的对边分别是a,b,c，若，则有

（

）

A.

∠A为直角

B.∠B为直角

C.∠C为直角

D.不是直角三角形

错解：C

剖析：错解受定式影响，认为∠C为直角，事实上，已知条件可转化为，所以∠A为直角.故正确答案为A.

评注：勾股定理为了表述方便，通常设∠C为直角，具体解题时，应根据题目中给出的条件确定直角．

2．忽视分类讨论致错

例2

一直角三角形两边长分别是3和4，则第三边长为

（

）

A.5

B.

C.

D.5或

错解：A

剖析：条件中并没有指出已知的两边是直角边，所以应利用分类讨论的思想：当3和4是直角边时，第三边长为5；当3和4中有一边为斜边时，第三边长为，故应选D．

评注：在解涉及直角三角形边的问题，而题目中没有给出图形的情况下，要有分类讨论的意识，以免造成漏解．

跟踪训练

1．（2015·毕节）下列各组数据中的三个数作为三角形的边长，其中能构成直角三角形的是

（

）

A.，，

B.1，，

C.6，7，8

D.2，3，4

2．（2015?宜昌）如图，AB∥CD，FE⊥DB，垂足为E，∠1=50°，则∠2的度数是

（

）

A.

60°

B.50°

C.40°

D.30°

第3题图

第2题图

3．（2015·大连）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=2，点D在BC上，

∠ADC=2∠B，AD=，则BC的长为

（

）

A.－1

B.+1

C.－1

D.+1

4.（2015?枣庄）如图，△ABC中，CD⊥AB于D，E是AC的中点．若AD=6，DE=5，则CD的长等于___

___．

第5题图

第4题图

5.（2014·苏州）如图，四边形ABCD为矩形，过点D作对角线BD的垂线，交BC的延长线于点E，取BE的中点F，连接DF，DF=4．设AB=x，AD=y，则的值为____．

第7题图

6.（2015·遵义）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”（如图（1）），图（2）由弦图变化得到，它是由八个全等的直角三角形拼接而成．记图中正方形ABCD、正方形EFGH、正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3．若正方形EFGH的边长为2，则S1+S2+S3=____．

第6题图

7.如图，在Rt△ABC中，∠C=30°，以直角顶点A为圆心，AB长为半径画弧交BC于点D，过D作DE⊥AC于点E．若DE=a，则△ABC的周长用含a的代数式表示为

．

第8题图

8.（2015·湘潭）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，△ACD沿AD折叠，使得点C落在斜边AB上的点E处．已知AC=6，BC=8，求线段AD的长度．

9．2解直角三角形

基础盘点

1.

在△ABC中，∠C=90o，三个内角对边分别为a，b，c，则有___；

___；_____.

2.特殊角的三角函数值.

三角函数

30°

45°

60°

l

h

3.视线与水平线方向的夹角中，视线在水平线_________的角叫做仰角，视线在水平线________的角叫做俯角.

4.如图，把________与________的夹角叫做坡角（如图中的∠）.坡面的_________与______的比叫做坡度（也叫坡比），用字母表示为i=____=_____．

考点呈现

考点1

锐角三角函数

例1（2015?丽水）如图1，点A为∠边上的任意一点，作AC⊥BC于点C，CD⊥AB于点D，下列用线段比表示cos的值，错误的是

（

）

A.

B.

C.

D.

图1

解析：在Rt△ABC中，cos=；在Rt△DBC中，cos=；易得∠ACD=，在Rt△ACD中，cos∠ACD=cos=，故错误的应选C．

评注：本题考查了锐角余弦的意义，难度不大，关键是弄清各个三角函数与直角三角形三边的关系．

考点2

特殊角三角函数值

例2

(2015?平凉)已知α，β均为锐角，且满足|sinα－|＋＝0，则α＋β＝______．

解析：因为条件中给出了两个非负数的和等于零，所以每一个非负数都等于零，即|sinα－|=0，且=0，由此可得sin=，tan=1，故=30°，=45°，所以α＋β＝75°．

评注：本题考查了由特殊角的三角函数值，求角的度数，熟记特殊角的三角函数值，是解答本题的关键；同时本题也考查了“几个非负数之和为零，则每个非负数都等于零”这一性质．

考点3

解直角三角形

例3（2015?襄阳）如图2，AD是△ABC的中线，tanB=，cosC=，AC=．求：

⑴BC的长；

⑵sin∠ADC的值．

图2

分析：⑴本题条件中给出了一些角的三角函数值，做可考虑作辅助线，构造直角三角形求解，过点A作AE⊥BC于点E，即可将△ABC分成两个直角三角形，并将题目中的条件充分利用起来；⑵根据AD是△ABC的中线，求出BD的长，得到DE的长，从而求得sin∠ADC的值．

解：如图2，过点A作AE⊥BC于点E，

∵cosC=，∴∠C=45°.

在Rt△ACE中，CE=AC?cosC=1.

∴AE=CE=1.

在Rt△ABE中，tanB=，即=，

∴BE=3AE=3，∴BC=BE+CE=4.

∵AD是△ABC的中线，

∴CD=BC=2.

∴DE=CD﹣CE=1.

∵AE⊥CD，∴∠ADC=45°.

∴sin∠ADC=．

评注：在利用解直角三角形的知识解决斜三角形的问题时，通常需要作辅助线，构造直角三角形，从而将问题解决．

考点4

解直角三角形的应用

例4（2015?黔南州）如图3是一座人行天桥的示意图，天桥的高度是10米，CB⊥DB，坡面AC的倾斜角为45°．为了方便行人推车过天桥，市政部门决定降低坡度，使新坡面DC的坡度为i=：3．若新坡角下需留3米宽的人行道，问离原坡角（A点处）10米的建筑物是否需要拆除？（参考数据：≈1.414，≈1.732）

图3

分析：先根据题目中给出的条件，求出AB的长，在Rt△BCD中，根据新的坡面坡度的意义，求出DB的长，由AD=DB﹣AB，求出AD的长，由AD+3与10比较即可得到结果．

解：需要拆除.理由如下：

∵CB⊥AB，∠CAB=45°，

∴△ABC为等腰直角三角形，

∴AB=BC=10米.

∵新坡面DC的坡度为，即，解得DB=10，

∴AD=BD﹣AB=（10﹣10）米≈7.32米.

∵3+7.32=10.32＞10，∴需要拆除．

评注：本题考查坡度坡角问题，掌握它们的概念及之间的关系是解题的关键.．

例5

（2015?昆明）如图4，两幢建筑物AB和CD，AB⊥BD，CD⊥BD，AB＝15m，CD＝20m，AB和CD之间有一观景池，小南在A点测得池中喷泉处E点的俯角为42°，在C点测得E点的俯角为45°（点B、E、D在同一直线上），求两幢建筑物之间的距离BD（结果精确到0.1m，参考数据：sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90）.

图4

分析：在Rt△ABE中，根据正切可求得BE，在Rt△DEC中，根据等腰直角三角形的性质求得ED，然后根据BD=BE+ED求解即可．

解：由题意,得∠AEB=42°，∠DEC=45°.

∵AB⊥BD，CD⊥BD，

∴在RT△ABE中，∠ABE=90°，AB=15，∠AEB=42°.

∵tan∠AEB=,∴BE=≈15÷0.90=.

在Rt△DEC中，∠CDE=90°，∠DEC=∠DCE=45°，CD=20，

∴ED=CD=20，∴BD=BE+ED=+20≈36.7．

答：两幢建筑物之间的距离BD约为36.7

m．

评注：本题主要考查了利用俯角解直角三角形．在利用解直角三角形的知识解决实际问题时，要借助俯角、仰角构造直角三角形．

误区点拨

1．题中无图漏解致错

例1

（2015?牡丹江）在△ABC中，AB=12，AC=13，cos∠B=，则BC边长为

(

)

A.17

B.8

C.8或17

D.7或17

错解：A

剖析：由于题目中没有给出图形，所以在解题时只画出图甲，利用解直角三角形的知识和勾股定理，可得BD=12，CD=5，所以BC=BD+CD=17，这便漏下了△ABC为钝角三角形这一情况，正解应分图6和图7两种情况，在图7中，BC=BD-CD=7.故应选D．

图8

图6

图7

2．混淆概念致错

例2

河堤横断面如图8所示，堤高BC=6米，迎水坡AB的坡比为1：，则AB的长为（

）

A.12

B.4米

C.5米

D.6米

错解：D．

剖析：坡比指的是斜坡的垂直高度比上水平宽度，即图中的BC与AC之比，即等于坡角的正切，本题错在将坡比误认为等于坡角的正弦．应先根据坡比的意义，求出坡角为30°，进而求得AB=12米，应选A．

跟踪训练

1．（2015?崇左）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，则下列三角函数表示正确的是(

)

A

B

C

12

13

A.sinA＝

B.cosA＝

C.tanA＝

D.tanB＝

第3题图

第1题图

2.

（2015?庆阳）在△ABC中，若角A，B满足|cosA﹣|+（1﹣tanB）2=0，则∠C的大小是（

）

A．45°B．60°C．75°D．105°

3．（2015?日照）如图，在直角△BAD中，延长斜边BD到点C，使DC=BD，连接AC，若tanB=，则tan∠CAD的值为

（

）

A.

B.

C.

D.

4．(2015?广州)如图，△ABC中，DE是BC的垂直平分线，DE交AC于点E，连接BE，若BE＝9，BC＝12，则cosC＝

．

第5题图

A

E

B

D

C

第4题图

第6题图

5．（2015大连）如图，从一个建筑物的A处测得对面楼BC的顶部B的仰角为32°，底部C的俯角为45°，观测点与楼的水平距离AD为31m，则楼BC的高度约为_______m（结果取整数）．（参考数据：sin32°≈0.5，cos32°≈0.8，tan32°≈0.6）

6．（2015?娄底）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某直线路段MN限速60千米/小时，为了检测车辆是否超速，在公路MN旁设立了观测点C，从观测点C测得一小车从点A到达点B行驶了5秒钟，已知∠CAN=45°，∠CBN=60°，BC=200米，此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：≈1.41，≈1.73）

7．（2015?广元）某学校体育看台的侧面如图中阴影部分所示，看台有四级高度相等的小台阶，已知看台高为1.6米，现要做一个不锈钢的扶手AB及两根与FG垂直且长度均为0.8米的不锈钢架杆AD和BC（杆子的低端分别为D、C），且∠DAB=66.5°（cos66.5°≈0.4）．

（1）求点D与点C的高度差DH；

（2）求所用不锈钢材料的总长度l（即AD+AB+BC的长）．

第7题图

参考答案

9．1直角三角形

1．B

2．C

3．D

4．8

5．16

6．12

7．6+

8．解：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB=10．

由折叠的性质知，AE=AC=6，DE=CD，∠AED=∠C=90°．所以BE=AB﹣AE=10﹣6=4.

在Rt△BDE中，由勾股定理，得DE2+BE2=BD2，即CD2+42=（8﹣CD）2，解得CD=3.

在Rt△ACD中，由勾股定理得AC2+CD2=AD2，即32+62=AD2，解得AD=．

9．2解直角三角形

1．A

2．D

3．D

4．

5．50

6．解：此车没有超速．

理由：如图，过C作CH⊥MN.

因为∠CBN=60°，BC=200，所以CH=BC?sin60°=200×=100，BH=BC?cos60°=100.

因为∠CAN=45°，所以AH=CH=100，所以AB=100﹣100≈73.

因为60千米/时=米/秒，所以=14.6（m/s）＜≈16.7（m/s），所以此车没有超速．

7．（1）DH=1.6×=1.2米.

（2）如图，连接CD．

因为AD∥BC，所以四边形ABCD为平行四边形．

所以AB∥CD且AB=CD．所以∠HDC=∠DAB=66.5°.

在Rt△HDC中，cos∠HDC=，

所以CD==3．

所以l=AD+AB+BC=0.8+3+0.8=4.6．

所以所用不锈钢材料的长度约为4.6米．