高中数学教学论文-构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

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高中数学教学论文-构造三角形重心巧定两平面法向量的方向本文简介:构造三角形重心巧定两平面法向量的方向利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小,由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小,许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向,来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单,但由于空间任意两个向量都是共面的,要从图形上直接判定他们的

高中数学教学论文-构造三角形重心巧定两平面法向量的方向本文内容:

构造三角形重心巧定两平面法向量的方向

利用平面的法向量可以方便的求出二面角平面角的大小,由于两法向量的夹角未必就是二面角的平面角的大小,许多杂志上都介绍了直接从图形上观察两法向量的方向,来确定两法向量的夹角是否为两平面的夹角。这种方法虽然简单,但由于空间任意两个向量都是共面的,要从图形上直接判定他们的方向,需要很强的空间想象能力,好多学生是达不到这种境界的。在最后的复习中,我利用下面的两个定理引导学生用向量法求二面角的大小时,而学生不知道如何找二面角内的点,结果给解题带来麻烦。为了帮助学生更好更快的解题,我们在二面角内总可以找到一个三角形,将此三角形的重心作为二面角内的点,可以不加思索的让学生很方便的正确求解,偶有所得,现结合近年的年高考题,写出来与大家同享。

为了解决问题的方便,现给出如下的两个定理:

定理1:向量是平面的一个法向量,点O在平面内,点P在平面外。若,则向量与向量指向平面的同侧(如图1);若,则向量与向量指向平面的异侧(如图2)。

图2

图1

证明:当时,∵,∴>0,∴,∴向量与向量指向平面的同侧。同理可证当时,<0,∴,

∴向量与向量指向平面的异侧。

定理2:点是二面角内一点,点O是棱上一点,向量分别是平面的一个法向量,二面角大小为。若与同号,则;若与异号,则(如图3)

图3

证明:(一)若与异号

1)

当且时,由定理1易知:向量与向量指向平面的同侧;向量与向量指向平面的异侧,而始终都是指向两平面外部的,所以向量与向量与两平面的指向互异,所以

2)

同理可证当且时,

(二)若与同号

1)当且时,由定理1易知:向量与向量指向平面的同侧;向量与向量也指向平面的同侧,而始终都是指向两平面外部的,所以向量与向量与两平面的指向一致,所以;

2)同理可证:当且时,

例1、(2008年全国高考数学北京卷文)

如图,在三棱锥P-ABC中,AC=BC=2,∠ACB=90°,AP=BP=AB,PC⊥AC.

(Ⅰ)求证:PC⊥AB;

(Ⅱ)求二面角B-AP-C的大小.

解:(Ⅰ)略

图4

(Ⅱ)由题易知:△APC≌△BPC,∴,∴以C为坐标原点,CB,CA,CP所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系。∴,则,,,中点,,

,。设平面BAP的一个法向量为,则由,可得即,故可取.设平面APC的一个法向量为,则由,可得即,故可取,由于二面角的棱AP的中点,而在二面角内,则的重心Q,

∴,∴,,

∵与异号,∴二面角的大小与的大小相等,所以,故二面角的大小为

点评:利用三角形重心判定两平面法向量的方向,先在棱上找一点,为方便期间,一般找二面角棱的中点,再结合定理就可以求出二面角的大小。

例2.

(2008年全国高考数学全国卷理科18题),四棱锥中,底面为矩形,侧面底面,,,.

(Ⅰ)证明:;

(Ⅱ)设与平面所成的角为,求二面角的大小.

解:(Ⅰ)略。

(Ⅱ)取CB的中点O,∵,∴AO⊥CB,又侧面底面,∴AO⊥底面BCDE,∴以O为坐标原点,OC,Oy,OA所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,则,,,,设,因此

,,,二面角的棱AD的中点,设平面CAD的法向量为,

图5

则由,可得,故可取,同理可得平ADE的一个法向量为,由于棱AD的中点,而在二面角内,且的重心Q的坐标为,

∴,∴,,

∵与同号,∴所求的二面角大小与的大小互补,

所以,由于CE与平面ABE成的角,由题易知平面ABE的一个法向量为,而,所以,∴,

∴,∴故二面角的大小=.

点评:

法向量的夹角与二面角的大小可能相等也可能互补,要注意法向量的方向。

利用法向量确定两平面的夹角的基本思想是:根据所求得的法向量的坐标,确定两法向量的指向(可以以坐标原点为起点,以两坐标对应的点分别为终点)若两法向量的指向互异,则它们的夹角与二面角的大小相等;若两法向量的指向一致,则它们的夹角与二面角的大小是互补的。

即向量指向互异,则,;

若向量指向一致,则,

参考文献:

1、

袁智斌.由动手操作上升到计算推理,中学数学教学参考(高中)(J)2007.6

2、

严勇.立体几何中的轨迹问题,中学数学杂志(高中)(J)2007.3

3、

王克亮.不妨回到最朴素的判定方法,中学教研(数学)(J),2008.1

4

洒脱人生 2022-06-26 20:51:34

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豪放词与婉约词的区别

豪放词与婉约词的区别是:
1、风格的不同:
豪放派作品气势豪放,意境雄浑,充满豪情壮志,多给人一种积极向上的力量。
婉约派作品语言清丽、含蓄,表达的感情婉转缠绵,情调或轻松活泼,或离愁别绪,或深沉幽怨,刻工精细,题材较狭窄,往往多是写个人遭遇,男女恋情,也间有写山水,融情于景的。
2、流派不同:
豪放派代表词人以苏轼、辛弃疾为主。
婉约派代表词人有柳永、秦观、李清照等。
3、特点不同:
婉约词派的特点,主要是内容侧重儿女风情。结构深细慎密,重视音律谐婉,语言圆润,清新绮丽,具有一种柔婉之美。但内容比较狭窄。
豪放派特点大体是创作视野较为广阔,气象恢弘雄放,喜用诗文的手法、句法写词,语词宏博,用事较多,不拘守音律,然而有时失之平直,甚至涉于狂怪叫嚣。

柿子的诗句

柿子的诗句有:
1、《咏红柿子》唐代刘禹锡:晓连星影出,晚带日光悬。本因遗采掇,翻自保天年。
2、《薄台》宋代张舜民:屈曲清溪十里长,净涵天影与秋光。此行却在樊川尾,稻熟鱼肥柿子黄。
3、《游龙华寺二首》宋代范宗尹:晓出城东路,寻僧聊避喧。宿云开岭岫,晚稻没川原。村暗桑枝合,林红柿子繁。日斜僮仆困,共喜到山门。
4、《晚望有感》宋代郑刚中:霜作晴寒策策风,数家篱落澹烟中。沙鸥径去鱼儿饱,野鸟相呼柿子红。寺隐钟声穿竹去,洞深人迹与云通。雁门踦甚将何报,万里堪惭段子松。
5、《秋获歌》宋代陆游:墙头累累柿子黄,人家秋获争登场。长碓捣珠照地光,大甑炊玉连村香。万人墙进输官仓,仓吏炙冷不暇尝。讫事散去喜若狂,醉卧相枕官道傍。数年斯民厄凶荒,转徙沟壑殣相望,县吏亭长如饿狼,妇女怖死儿童僵。岂知皇天赐丰穰,亩收一锺富万箱。我愿邻曲谨盖藏,缩衣节食勤耕桑,追思食不餍糟糠,勿使水旱忧尧汤。

此可谓善卖椟矣 未可谓善鬻珠也的意思

“此可谓善卖椟矣,未可谓善鬻珠也”的意思是这可以说是善于卖盒子,不可以说是善于卖宝珠。出自战国韩非子《韩非子·外储说左上》。
原文:
楚人有卖其珠于郑者,为木兰之柜,熏以桂椒,缀以珠玉,饰以玫瑰,辑以翡翠。郑人买其椟而还其珠。此可谓善卖椟矣,未可谓善鬻珠也。
这个故事告诉我们做事要学会取舍,舍弃次要的,着重重要的。要分清主次,才能正确完成事情。做事情必须主次分明,不能像买椟还珠的人那样,只注重事物的外表,看不清事物的本质。只有看清事物的本质,分清主次,才能取舍得当。成语原指买来装珍珠的木匣退还了珍珠;比喻取舍不当,次要的东西比主要的还要好。

视死如归的形容哪些人

视死如归形容岳飞、文天祥、李广、屈原、荆轲等人。
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2、文天祥(1236年6月6日-1283年1月9日),初名云孙,字宋瑞,又字履善。自号浮休道人、文山。江南西路吉州庐陵县(今江西省吉安市青原区富田镇)人,南宋末年政治家、文学家,抗元名臣,民族英雄,与陆秀夫、张世杰并称为“宋末三杰”。
3、李广(?~前119年),字号不详,陇西成纪(今甘肃省秦安县)人。西汉时期名将、民族英雄,秦朝名将李信的后代。唐德宗时,名列“武庙六十四将”之一。宋徽宗时,追封怀柔伯,位列宋武庙七十二将之一。
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