正定矩阵的判别方法

判断一个矩阵是否为正定矩阵有两种方法：求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的；计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

一、正定矩阵的基本定义

1、广义定义

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zMz>0，其中z表示z的转置，就称M正定矩阵。

例如:B为n阶矩阵，E为单位矩阵，a为正实数。aE+B在a充分大时，aE+B为正定矩阵。(B必须为对称阵)

2、狭义定义

一个n阶的实对称矩阵M是正定的的条件是当且仅当对于所有的非零实系数向量z，都有zMz>0。其中z表示z的转置。

二、特征及性质

判定定理1：对称阵A为正定的充分必要条件是:A的特征值全为正。

判定定理2：对称阵A为正定的充分必要条件是:A的各阶顺序主子式都为正。

判定定理3：任意阵A为正定的充分必要条件是:A合同于单位阵。

正定矩阵的性质:

正定矩阵的任一主子矩阵也是正定矩阵。

若A为n阶对称正定矩阵，则存在唯一的主对角线元素都是正数的下三角阵L，使得A=L*L′，此分解式称为正定矩阵的楚列斯基(Cholesky)分解。

若A为n阶正定矩阵，则A为n阶可逆矩阵。