届高三数学一轮复习必备精品：数系的扩充与复数的引入

2010届高三数学一轮复习必备精品：数系的扩充与复数的引入本文简介：考纲导读第十六章数系的扩充与复数的引入1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义知识网络高考

2010届高三数学一轮复习必备精品：数系的扩充与复数的引入本文内容：

考纲导读

第十六章

数系的扩充与复数的引入

1、了解数系的扩充过程，体会实际需求与数学内部的矛盾（数的运算规则、方程理论）在数系扩充过程中的作用

2、理解复数的基本概念以及复数相等的充要条件

3、了解复数的代数表示法及其几何意义，能进行复数代数形式的四则运算，了解复数代数形式的加、减运算的几何意义

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重视复数的概念和运算，注意复数问题实数化.

第1课时

复数的有关概念

基础过关

1．复数形如

的数叫做复数，其中a,b分别叫它的

和

．

2．分类设复数

1

当

＝0时，z为实数；

2

当

0时，z为虚数；

3

当

＝0,且

0时，z为纯虚数.

3．复数相等如果两个复数

相等且

相等就说这两个复数相等.

4．共轭复数当两个复数实部

，虚部

时．这两个复数互为共轭复数．当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数．

5．若z＝a＋bi,a,bR,则

|

z

|＝

；

z＝

.

6．复平面建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做

，

叫虚轴．

7．复数z＝a＋bia,bR与复平面上的点

建立了一一对应的关系．

8．两个实数可以比较大小、但两个复数如果不全是实数，就

比较它们的大小.

典型例题

例1.

m取何实数值时，复数z＝＋是实数是纯虚数

解①

z是实数

②

z为纯虚数

变式训练1当m分别为何实数时，复数zm2－1＋m2＋3m＋2i是（1）实数（2）虚数（3）纯虚数（4）零

解（1）m－1,m－2；2m≠－1,m≠－2；（3）m1；（4）m－1．

例2.

已知x、y为共轭复数，且，求x．

解设代入由复数相等的概念可得

变式训练2已知复数z1＋i，如果1－i,求实数a,b的值．

由z1＋i得

（a＋2－a＋bi

从而，解得．

例3.

若方程至少有一个实根，试求实数m的值.

解设实根为，代入利用复数相等的概念可得＝

变式训练3若关于x

的方程x2＋t2＋3t＋tx

i0有纯虚数根，求实数t的值和该方程的根．

解t－3,x10,x23i．提示提示设出方程的纯虚数根，分别令实部、虚部为0，将问题转化成解方程组．

例4.

复数满足，试求的最小值.

设，则，

于是

变式训练4已知复平面内的点A、B对应的复数分别是、，其中，设对应的复数为.

1

求复数；

2

若复数对应的点P在直线上，求的值.

解1

2

将代入

可得.

小结归纳

1．要理解和掌握复数为实数、虚数、纯虚数、零时，对实部和虚部的约束条件.

2．设z＝a＋bi

a，bR，利用复数相等和有关性质将复数问题实数化是解决复数问题的常用方法.

第2课时

复数的代数形式及其运算

基础过关

1．复数的加、减、乘、除运算按以下法则进行

设，则

1

＝

；

2

＝

；

3

＝

.

2．几个重要的结论

⑴

⑵

＝

＝

.

⑶

若z为虚数，则＝

3．运算律

⑴

＝

.

⑵

＝

.

⑶

＝

.

典型例题

例1．计算

解提示利用

原式＝0

变式训练1求复数

（A）

（B）

（C）

（D）

解

故选C；

例2.

若，求

解提示利用

原式＝

变式训练2已知复数z满足z2＋1＝0，则（z6＋i）（z6－i）＝

▲

．

解2

例3.

已知，问是否存在复数z，使其满足（aR），如果存在，求出z的值，如果不存在，说明理由

解提示设利用复数相等的概念有

变式训练3若，其中是虚数单位，则a＋b＝__________

解3

例4.

证明在复数范围内，方程（为虚数单位）无解．

证明原方程化简为

设

、y∈R，代入上述方程得

将（2）代入（1），整理得无实数解，∴原方程在复数范围内无解.

变式训练4已知复数z1满足1＋iz1＝－1＋5i，z2＝a－2－i，其中i为虚数单位，a∈R,若，求a的取值范围.

解由题意得

z1＝＝2＋3i,于是,.

小结归纳

由，得a2－8a＋70，1a0，且复数的虚部减去它的实部所得的差等于，求复数的模.

20．．复平面内，点、分别对应复数、，且，，

，若可以与任意实数比较大小，求的值（O为坐标原点）.

复数章节测试题答案

一、选择题

1．

A

2．答案A

3．答案B

4．答案B

6．答案A

7．A

8．B

9．B

10．B

11．D

12．B

二、填空题

13．

14．2i

15．

16．答案

17．答案

18．

答案B

∵,设k,则k为过圆（x－2）2

y2

1上点及原点

82615205

的直线斜率，作图如下,k≤,又∵y≠0,∴k≠0.由对称性

选B．

【帮你归纳】本题考查复数的概念,以及转化与化归的数学思维能力，利用复数与解析几何、平面几何之间的关系求解.虚数一词又强调y≠0，这一易错点.

【误区警示】本题属于基础题，每步细心计算是求解本题的关键，否则将会遭遇“千里之堤，溃于蚁穴”之尴尬.

19．解

20．解依题意为实数，可得

五年高考荟萃

2009年高考题

一、选择题

1.2009年广东卷文下列n的取值中，使1i是虚数单位）的是

（

）

A.n2

B

.n3

C

.n4

D

.n5

【解析】因为,故选C.

答案

C

2.

（2009广东卷理）设是复数，表示满足的最小正整数，则对虚数单位，（

）

A.

8

B.

6

C.

4

D.

2

【解析】，则最小正整数为4，选C.

答案

C

3.（2009浙江卷理）设（是虚数单位），则

A．

B．

C．

D．

【解析】对于

答案

D

4.（2009浙江卷文）设（是虚数单位），则

（

）

A．

B．

C．

D．

【解析】对于

答案

D

5.（2009北京卷理）在复平面内，复数对应的点位于

（

）

A．第一象限

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

【解析】

∵，∴复数所对应的点为，故选B.

答案

B

6.2009山东卷理复数等于（

）

A．

B.

C.

D.

【解析】,故选C.

答案

C

7.2009山东卷文复数等于

（

）

A．

B.

C.

D.

【解析】,故选C.

答案

C

8.（2009全国卷Ⅰ理）已知2i,则复数z

（

）

（A）-13i

B1-3i

C3i

D3-i

【解析】

故选B。

答案

B

9.（2009安徽卷理）i是虚数单位，若，则乘积的值是

（A）－15

（B）－3

（C）3

（D）15

【解析】

，∴，选B。

答案

B

10.（2009安徽卷文）i是虚数单位，i1i等于（

）

A．1i

B.

-1-i

C.1-i

D.

-1i

【解析】依据虚数运算公式可知可得，选D.

答案

D

11.（2009江西卷理）若复数为纯虚数，则实数的值为（

）

A．

B．

C．

D．或

【解析】由

故选A

答案

A

12.2009湖北卷理投掷两颗骰子，得到其向上的点数分别为m和n,则复数（mni）n-mi为实数的概率为（

）

A、

B、

C、

D、

【解析】因为为实数

所以故则可以取1、26，共6种可能，所以

答案

C

13.（2009全国卷Ⅱ理）（

）

A.

B.

C.

D.

【解析】原式.故选A.

答案

A

14.（2009辽宁卷理）已知复数，那么（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

【解析】＝

答案

D

15.（2009宁夏海南卷理）复数（

）

（A）0

（B）2

（C）-2i

D2

【解析】,选D

答案

D

16.（2009辽宁卷文）已知复数，那么＝（

）

（A）

（B）

（C）

（D）

【解析】＝

答案

C

17.（2009天津卷文）是虚数单位，

（

）

A

B

C

D

【解析】由已知，

答案

D

18、（2009宁夏海南卷文）复数（

）

（A）

（B）

（C）

D

【解析】，故选.C。

答案

C

19、（2009天津卷理）i是虚数单位，（

）

（A）12i

（B）-1-2i

（C）1-2i

（D）-12i

【解析】，故选择D。

答案

D

20、（2009四川卷理）复数的值是（

）

Ａ.－１

Ｂ.１

Ｃ.－

Ｄ.

【解析】，故选择A。

答案

A

21、（2009重庆卷理）已知复数的实部为，虚部为2，则（

）

A．

B．

C．D．

【解析】因为由条件知，则，所以选A。

答案

A

二、填空题

22、（2009江苏卷）若复数其中是虚数单位，则复数的实部为

。

【解析】考查复数的减法、乘法运算，以及实部的概念。

答案

-20

23、（2009福建卷文）复数的实部是

。

【解析】

-1-I,所以实部是-1。

答案

-1

24、（2009年上海卷理）若复数

z

满足z

1i

1-i

I是虚数单位，则其共轭复数__________________

.

o.m

【解析】设z＝a＋bi，则（a＋bi

）1i

1-i，即a－b＋（a＋b）i＝1－i，由，解得a＝0，b＝－1，所以z＝－i，＝i

答案

i.

20052008年高考题

一、选择题

１、（2008全国二2）设且，若复数是实数，则（

）

A．

B．C．D．

答案

A

2、（2008山东2）设z的共轭复数是，或z4,z＝8，则等于（

）

A．1

B．-i

C．1

D．

i

答案

D

3、（2008重庆卷1）复数1（

）

A．12i

B.1-2iC.-1D.3

答案

A

4、（2008福建卷1若复数a2-3a2a-1i是纯虚数，则实数a的值为（

）

A.1B.2C.1或2D.-1

答案

B

5、（2008广东卷1）已知，复数的实部为，虚部为1，则的取值范围是（

）

A．B．C．D．

答案

C

6、（2008浙江卷1）已知是实数，是春虚数，则

（

）

A.1

B.-1

C.

D.-

答案

A

7、（2008辽宁卷4）复数的虚部是（

）

A．B．C．D．

答案

B

8、（2008海南卷2）已知复数，则（

）

A.

2B.

－2

C.

2i

D.

－2i

答案

B

9、（2006年浙江）已知

A．12i

B．

1-2i

C．2i

D．2-

i

答案

C

10、（2006年四川）非空集合关于运算满足（1）对任意，都有；

（2）存在，使得对一切，都有，则称关于运算为“融

洽集”；现给出下列集合和运算

①

②

③

④

⑤

其中关于运算为“融洽集”____________。（写出所有“融洽集”的序号）

答案

①③

11、（2006江西卷）已知复数z满足（＋3i）z＝3i，则z＝（

）

A．

B.

C.

D.

【解析】故选D。

答案

D

12、（2006全国卷I）如果复数是实数，则实数

A．

B．

C．

D．

【解析】复数m2－m1m3i是实数，∴

1m30，m－1，选B.

答案

B

二、填空题

13、（2008上海3）若复数z满足

i是虚数单位，则z

．

答案

1i

14、（2008北京9）已知，其中是虚数单位，那么实数

．

答案

－1．

15、（2008江苏3）表示为，则

．

答案

1

16、（2006年湖北）设、为实数，且，则________.

【解析】由知，，即

，即，故

解得。

答案

4

三、解答题

17、（2006年上海）已知复数满足为虚数单位），，求一个以为根的实系数一元二次方程.

解

方法一

.

若实系数一元二次方程有虚根，则必有共轭虚根.

，

所求的一个一元二次方程可以是.

方法二

设

，

得

，

以下解法同[方法一].