江苏高考数学复习立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质教师用书

江苏高考数学复习立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质教师用书本文简介：第41课直线、平面垂直的判定及其性质[最新考纲]内容要求ABC直线与平面垂直的判定及性质√两平面垂直的判定及性质√1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，b?α(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，b?αa⊥ba⊥α，b⊥αa∥

江苏高考数学复习立体几何第41课直线平面垂直的判定及其性质教师用书本文内容：

第41课

直线、平面垂直的判定及其性质

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

直线与平面垂直的判定及性质

√

两平面垂直的判定及性质

√

1．直线与平面垂直

图形

条件

结论

判

定

a⊥b，b?α(b为α内的任意一条直线)

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m，n?α，m∩n＝O

a⊥α

a∥b，a⊥α

b⊥α

性

质

a⊥α，b?α

a⊥b

a⊥α，b⊥α

a∥b

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

?α⊥β

性质

定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

?l⊥α

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

)

(3)若两条直线与一个平面所成的角相等，则这两条直线平行．(

)

(4)若两个平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面．(

)

[答案]

(1)×

(2)×

(3)×

(4)×

2．(2017·南京模拟)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，有下列四个命题：

(1)若l⊥α，m?α，则l⊥m；

(2)若l⊥α，l∥m，则m⊥α；

(3)若l∥α，m?α，则l∥m；

(4)若l∥α，m∥α，则l∥m，

则其中正确的命题是____________．(填序号)

(1)(2)

[∵l⊥α，m?a，∴l⊥m，故(1)正确；

若l⊥α，l∥m，由线面垂直的第二判定定理，我们可得m⊥α，故(2)正确；

若l∥α，m?α，则l与m可能平行也可能垂直，故(3)错误；

若l∥α，m∥α，则l与m可能平行也可能垂直也可能异面，故(4)错误．]

3．如图41-1，已知PA⊥平面ABC，BC⊥AC，则图中直角三角形的个数为________．

图41-1

4

[∵PA⊥平面ABC，

∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC，

则△PAB，△PAC为直角三角形．

由BC⊥AC，且AC∩PA＝A，

∴BC⊥平面PAC，从而BC⊥PC.

∴△ABC，△PBC也是直角三角形．]

4．(教材改编)在三棱锥P-ABC中，点P在平面ABC中的射影为点O，

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的____________心．

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的____________心．

(1)外心

(2)垂心

[∵PO⊥平面ABC，且PA＝PB＝PC，

∴OA＝OB＝OC，∴O是△ABC的外心．

(2)∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC，

∴PA⊥BC，

又PO⊥BC

∴BC⊥平面PAO

∴AO⊥BC，

同理BO⊥AC，CO⊥AB，

∴O是△ABC的垂心．]

5．边长为a的正方形ABCD沿对角线BD折成直二面角，则折叠后AC的长为________．

a

[如图所示，取BD的中点O，连结A′O，CO，则∠A′OC是二面角A′-BD-C的平面角．

即∠A′OC＝90°，又A′O＝CO＝a，

∴A′C＝＝a，即折叠后AC的长(A′C)为a.]

线面垂直的判定与性质

如图41-2所示，已知AB为圆O的直径，点D为线段AB上一点，且AD＝DB，点C为圆O上一点，且BC＝AC，PD⊥平面ABC，PD＝DB.

图41-2

求证：PA⊥CD.

【导学号：62172224】

[证明]

因为AB为圆O的直径，所以AC⊥CB，在Rt△ABC中，由AC＝BC，得∠ABC＝30°.

设AD＝1，由3AD＝DB，得DB＝3，BC＝2，由余弦定理得CD2＝DB2＋BC2－2DB·BCcos

30°＝3，

所以CD2＋DB2＝BC2，即CD⊥AO.

因为PD⊥平面ABC，CD?平面ABC，

所以PD⊥CD，由PD∩AO＝D，得CD⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥CD.

[规律方法]

1.证明直线和平面垂直的常用方法有：

(1)判定定理；

(2)垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；

(3)面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；

(4)面面垂直的性质．

2．证明线面垂直的核心是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

[变式训练1]

如图41-3，在三棱锥A-BCD中，AB⊥平面BCD，CD⊥BD.

图41-3

(1)求证：CD⊥平面ABD；

(2)若AB＝BD＝CD＝1，M为AD中点，求三棱锥A-MBC的体积．

[解]

(1)证明：因为AB⊥平面BCD，CD?平面BCD，

所以AB⊥CD.

又因为CD⊥BD，AB∩BD＝B，

AB?平面ABD，BD?平面ABD，

所以CD⊥平面ABD.

(2)由AB⊥平面BCD，得AB⊥BD.

又AB＝BD＝1，所以S△ABD＝×12＝.

因为M是AD的中点，所以S△ABM＝S△ABD＝.

根据(1)知，CD⊥平面ABD，

则三棱锥C-ABM的高h＝CD＝1，

故三棱锥VA-MBC＝VC-ABM＝S△ABM·h＝.

面面垂直的判定与性质

如图41-4，三棱台DEF-ABC中，AB＝2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

图41-4

(1)求证：BD∥平面FGH；

(2)若CF⊥BC，AB⊥BC，求证：平面BCD⊥平面EGH.

[证明]

(1)如图所示，连结DG，CD，设CD∩GF＝M，

连结MH.

在三棱台DEF-ABC中，

AB＝2DE，G为AC的中点，

可得DF∥GC，DF＝GC，

所以四边形DFCG为平行四边形．

则M为CD的中点，

又H为BC的中点，

所以HM∥BD，

由于HM?平面FGH，BD?平面FGH，

故BD∥平面FGH.

(2)连结HE.

因为G，H分别为AC，BC的中点，

所以GH∥AB.

由AB⊥BC，得GH⊥BC.

又H为BC的中点，

所以EF∥HC，EF＝HC，

因此四边形EFCH是平行四边形，

所以CF∥HE.

由于CF⊥BC，所以HE⊥BC.

又HE，GH?平面EGH，HE∩GH＝H.

所以BC⊥平面EGH.

又BC?平面BCD，

所以平面BCD⊥平面EGH.

[规律方法]

1.面面垂直的证明的两种思路：

(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；

(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问题转化为证明平面角为直角的问题．

2．垂直问题的转化关系：

线线垂直线面垂直面面判定性质垂直

[变式训练2]

如图41-5，在三棱锥P-ABC中，平面PAB⊥平面ABC，PA⊥PB，M，N分别为AB，PA的中点．

图41-5

(1)求证：PB∥平面MNC；

(2)若AC＝BC，求证：PA⊥平面MNC.

【导学号：62172225】

[证明]

(1)因为M，N分别为AB，PA的中点，所以MN∥PB，

又因为MN?平面MNC，PB?平面MNC，

所以PB∥平面MNC.

(2)因为PA⊥PB，MN∥PB，所以PA⊥MN.

因为AC＝BC，AM＝BM，所以CM⊥AB.

因为平面PAB⊥平面ABC，

CM?平面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB.

所以CM⊥平面PAB.

因为PA?平面PAB，所以CM⊥PA.

又MN∩CM＝M，所以PA⊥平面MNC.

平行与垂直的综合问题

角度1

多面体中平行与垂直关系的证明

(2016·江苏高考)如图41-6，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

图41-6

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

[证明]

(1)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1C1∥AC.

在△ABC中，因为D，E分别为AB，BC的中点，

所以DE∥AC，于是DE∥A1C1.

又因为DE?平面A1C1F，A1C1?平面A1C1F，

所以直线DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABC-A1B1C1中，A1A⊥平面A1B1C1.

因为A1C1?平面A1B1C1，所以A1A⊥A1C1.

又因为A1C1⊥A1B1，A1A?平面ABB1A1，A1B1?平面ABB1A1，A1A∩A1B1＝A1，所以A1C1⊥平面ABB1A1.

因为B1D?平面ABB1A1，所以A1C1⊥B1D.

又因为B1D⊥A1F，A1C1?平面A1C1F，A1F?平面A1C1F，A1C1∩A1F＝A1，所以B1D⊥平面A1C1F.

因为直线B1D?平面B1DE，所以平面B1DE⊥平面A1C1F.

[规律方法]

1.三种垂直的综合问题，一般通过作辅助线进行线线、线面、面面垂直间的转化．

2．垂直与平行结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．

角度2

平行垂直中探索开放问题

如图①所示，在Rt△ABC中，∠C＝90°，D，E分别为AC，AB的中点，点F为线段CD上的一点，将△ADE沿DE折起到△A1DE的位置，使A1F⊥CD，如图②所示．

①

②

图41-7

(1)求证：A1F⊥BE；

(2)线段A1B上是否存在点Q，使A1C⊥平面DEQ？并说明理由．

[证明]

(1)由已知，得AC⊥BC，且DE∥BC.

所以DE⊥AC，则DE⊥DC，DE⊥DA1，

因为DC∩DA1＝D，

所以DE⊥平面A1DC.

由于A1F?平面A1DC，所以DE⊥A1F.

又因为A1F⊥CD，CD∩DE＝D，

所以A1F⊥平面BCDE，

又BE?平面BCDE，

所以A1F⊥BE.

(2)线段A1B上存在点Q，使A1C⊥平面DEQ.

理由如下：

如图，分别取A1C，A1B的中点P，Q，连结PQ，则PQ∥BC.

又因为DE∥BC，则DE∥PQ.

所以平面DEQ即为平面DEQP.

由(1)知，DE⊥平面A1DC，

所以DE⊥A1C.

又因为P是等腰三角形DA1C底边A1C的中点，

所以A1C⊥DP.

又DP∩DE＝D，

所以A1C⊥平面DEQP.从而A1C⊥平面DEQ.

故线段A1B上存在点Q，使得A1C⊥平面DEQ.

[规律方法]

1.对命题条件探索性的主要途径：

(1)先猜后证，即先观察与尝试给出条件再证明；

(2)先通过命题成立的必要条件探索出命题成立的条件，再证明充分性．

2．平行(垂直)中点的位置探索性问题：一般是先根据条件猜测点的位置再给出证明，探索点存在问题，点多为中点或三等分点中某一个，也可以根据相似知识建点．

[思想与方法]

1．证明线面垂直的方法：

(1)线面垂直的定义：a与α内任一直线都垂直?a⊥α；

(2)判定定理1：?l⊥α；

(3)判定定理2：a∥b，a⊥α?b⊥α；

(4)面面垂直的性质：α⊥β，α∩β＝l，a?α，a⊥l?a⊥β.

2．证明面面垂直的方法．

(1)利用定义：两个平面相交，所成的二面角是直二面角；

(2)判定定理：a?α，a⊥β?α⊥β.

3．转化思想：垂直关系的转化

线线垂直面面判定性质垂直

[易错与防范]

1．在解决直线与平面垂直的问题过程中，要注意直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理的联合交替使用，即注意线线垂直和线面垂直的互相转化．

2．面面垂直的性质定理是作辅助线的一个重要依据．我们要作一个平面的一条垂线，通常是先找这个平面的一个垂面，在这个垂面中，作交线的垂线即可．

课时分层训练(四十一)

A组

基础达标

(建议用时：30分钟)

一、填空题

1．已知m和n是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出m⊥β的是____________．(填序号)

【导学号：62172226】

①α⊥β且m?α；

②α⊥β且m∥α；

③m∥n且n⊥β；

④m⊥n且α∥β.

③

[由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定理，可知③正确．]

2．(2017·徐州模拟)设l是直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)

①若l∥α，l∥β，则α∥β；

②若l∥α，l⊥β，则α⊥β；

③若α⊥β，l⊥α，则l∥β；

④若α⊥β，l∥α，则l⊥β.

②

[①中，α∥β或α与β相交，不正确．②中，过直线l作平面γ，设α∩γ＝l′，则l′∥l，

由l⊥β，知l′⊥β，从而α⊥β，②正确．

③中，l∥β或l?β，③不正确．

④中，l与β的位置关系不确定．]

3．如图41-8，在正四面体P-ABC中，D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，下面四个结论不成立的是____________．(填序号)

图41-8

①BC∥平面PDF；

②DF⊥平面PAE；

③平面PDF⊥平面PAE；

④平面PDE⊥平面ABC.

④

[因为BC∥DF，DF?平面PDF，

BC?平面PDF，

所以BC∥平面PDF，故①正确．

在正四面体中，AE⊥BC，PE⊥BC，DF∥BC，

所以BC⊥平面PAE，则DF⊥平面PAE，从而平面PDF⊥平面PAE.因此②③均正确．]

4．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列说法正确的是____________．(填序号)

①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；

②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；

③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；

④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.

③

[①中，由m⊥n，n∥α可得m∥α或m与α相交或m⊥α，错误；

②中，由m∥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误；

③中，由m⊥β，n⊥β可得m∥n，又n⊥α，所以m⊥α，正确；

④中，由m⊥n，n⊥β，β⊥α可得m∥α或m与α相交或m?α，错误．]

5．如图41-9，在三棱锥D-ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中点，则下列命题中正确的是________．(填序号)

图41-9

①平面ABC⊥平面ABD；

②平面ABD⊥平面BCD；

③平面ABC⊥平面BDE，且平面ACD⊥平面BDE；

④平面ABC⊥平面ACD，且平面ACD⊥平面BDE.

③

[因为AB＝CB，且E是AC的中点，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.因为AC?平面ABC，所以平面ABC⊥平面BDE.又AC?平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE.]

6．如图41-10所示，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，且底面各边都相等，M是PC上的一动点，当点M满足________时，平面MBD⊥平面PCD.(只要填写一个你认为是正确的条件即可)

【导学号：62172227】

图41-10

DM⊥PC(或BM⊥PC等)

[由定理可知，BD⊥PC.

∴当DM⊥PC(或BM⊥PC)时，有PC⊥平面MBD.

又PC?平面PCD，∴平面MBD⊥平面PCD.]

7．(2016·全国卷Ⅱ)α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；

③如果α∥β，m?α，那么m∥β；

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的命题有________．(填写所有正确命题的编号)

②③④

[对于①，α，β可以平行，也可以相交但不垂直，故错误．

对于②，由线面平行的性质定理知存在直线l?α，n∥l，又m⊥α，所以m⊥l，所以m⊥n，故正确．

对于③，因为α∥β，所以α，β没有公共点．又m?α，所以m，β没有公共点，由线面平行的定义可知m∥β，故正确．

对于④，因为m∥n，所以m与α所成的角和n与α所成的角相等．因为α∥β，所以n与α所成的角和n与β所成的角相等，所以m与α所成的角和n与β所成的角相等，故正确．]

8．如图41-11，在三棱柱ABC-A1B1C1中，各棱长都相等，侧棱垂直于底面，点D是侧面BB1C1C的中心，则AD与平面BB1C1C所成角的大小是________．

图41-11

[取BC的中点E，连接AE，DE，则AE⊥平面BB1C1C.

所以∠ADE为直线AD与平面BB1C1C所成的角．

设三棱柱的所有棱长为a，

在Rt△AED中，

AE＝a，DE＝.

所以tan∠ADE＝＝，则∠ADE＝.

故AD与平面BB1C1C所成的角为.]

9.如图41-12，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为____________．

图41-12

[设B1F＝x，

因为AB1⊥平面C1DF，DF?平面C1DF，

所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1＝，

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，

则DE＝h.

由面积相等得2×＝h，

所以h＝，DE＝.

在Rt△DB1E中，

B1E＝＝.

由面积相等得×＝x，

得x＝.]

10.(2017·南京模拟)如图41-13，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；④AE⊥平面PBC.

图41-13

其中正确结论的序号是____________.

【导学号：62172228】

①②③

[由题意知PA⊥平面ABC，

∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，

∴AF⊥平面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF，

故①②③正确．]

11．(2017·盐城模拟)如图41-14，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.

设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E，求证：

(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

图41-14

[证明]

(1)由题意知，E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

因为DE?平面AA1C1C，AC?平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因为棱柱ABC－A1B1C1是直三棱柱，所以CC1⊥平面ABC.

因为AC?平面ABC，所以AC⊥CC1.

因为AC⊥BC，CC1?平面BCC1B1，BC?平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，所以AC⊥平面BCC1B1.

因为BC1?平面BCC1B1，所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C?平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

因为AB1?平面B1AC，所以BC1⊥AB1.

12．(2016·苏州期末)如图41-15，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，BC的中点，A1C1与B1D1交于点O.

(1)求证：A1，C1，F，E四点共面；

(2)若底面ABCD是菱形，且OD⊥A1E，求证：OD⊥平面A1C1FE.

【导学号：62172229】

图41-15

[证明]

(1)连结AC，因为E，F分别是AB，BC的中点，所以EF是△ABC的中位线，

所以EF∥AC.

由直棱柱知AA1綊CC1，所以四边形AA1C1C为平行四边形，所以AC∥A1C1.

所以EF∥A1C1，

故A1，C1，F，E四点共面．

(2)连结BD，因为直棱柱中DD1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，

所以DD1⊥A1C1.

因为底面A1B1C1D1是棱形，所以A1C1⊥B1D1.

又DD1∩B1D1＝D1，所以A1C1⊥平面BB1D1D.

因为OD?平面BB1D1D，所以OD⊥A1C1.

又OD⊥A1E，A1C1∩A1E＝A1，A1C1?平面A1C1FE，A1E?平面A1C1FE，

所以OD⊥平面A1C1FE.

B组

能力提升

(建议用时：15分钟)

1．如图41-16，在正方形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，沿AE，AF，EF把正方形折成一个四面体，使B，C，D三点重合，重合后的点记为P，P点在△AEF内的射影为O，则下列说法正确的是____________．(填序号)

图41-16

①O是△AEF的垂心；

③O是△AEF的内心；

③O是△AEF的外心；

④O是△AEF的重心．

①

[由题意可知PA，PE，PF两两垂直，

所以PA⊥平面PEF，从而PA⊥EF，

而PO⊥平面AEF，则PO⊥EF，因为PO∩PA＝P，

所以EF⊥平面PAO，

所以EF⊥AO，同理可知AE⊥FO，AF⊥EO，

所以O为△AEF的垂心．]

2．如图41-17，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，底面是以∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC＝2a，BB1＝3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF＝________时，CF⊥平面B1DF.

图41-17

a或2a

[∵B1D⊥平面A1ACC1，∴CF⊥B1D.

为了使CF⊥平面B1DF，只要使CF⊥DF(或CF⊥B1F)．

设AF＝x，则CD2＝DF2＋FC2，

∴x2－3ax＋2a2＝0，∴x＝a或x＝2a.]

3．(2016·四川高考)如图41-18，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥CD，AD∥BC，∠ADC＝∠PAB＝90°，BC＝CD＝AD.

图41-18

(1)在平面PAD内找一点M，使得直线CM∥平面PAB，并说明理由；

(2)证明：平面PAB⊥平面PBD.

[解]

(1)取棱AD的中点M(M∈平面PAD)，点M即为所求的一个点．

理由如下：连结CM，

因为AD∥BC，BC＝AD，

所以BC∥AM，且BC＝AM.

所以四边形AMCB是平行四边形，

所以CM∥AB.

又AB?平面PAB，CM?平面PAB，

所以CM∥平面PAB.

(说明：取棱PD的中点N，则所找的点可以是直线MN上任意一点)

(2)证明：由已知，PA⊥AB，PA⊥CD，

因为AD∥BC，BC＝AD，所以直线AB与CD相交，

所以PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BD.

因为AD∥BC，BC＝AD，M为AD的中点，连结BM，

所以BC∥MD，且BC＝MD，

所以四边形BCDM是平行四边形，

所以BM＝CD＝AD，所以BD⊥AB.

又AB∩AP＝A，所以BD⊥平面PAB.

又BD?平面PBD，所以平面PAB⊥平面PBD.

4．⊙O的直径AB＝4，点C，D为⊙O上两点，且∠CAB＝45°，F为的中点．沿直径AB折起，使两个半圆所在平面互相垂直(如图①)．

①

②

图41-19

(1)求证：OF∥平面ACD；

(2)在AD上是否存在点E，使得平面OCE⊥平面ACD？若存在，试指出点E的位置；若不存在，请说明理由．

[解]

(1)证明：由∠CAB＝45°，知∠COB＝90°，

又因为F为的中点，

所以∠FOB＝45°，因此OF∥AC，

又AC?平面ACD，OF?平面ACD，

所以OF∥平面ACD.

(2)存在，E为AD中点，

因为OA＝OD，所以OE⊥AD.

又OC⊥AB且两半圆所在平面互相垂直．

所以OC⊥平面OAD.

又AD?平面OAD，所以AD⊥OC，

由于OE，OC是平面OCE内的两条相交直线，

所以AD⊥平面OCE.

又AD?平面ACD，

所以平面OCE⊥平面ACD.