版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系理

2018版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系理本文简介：第1课时坐标系1．平面直角坐标系设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．2．极坐标系(1)极坐标与极坐标系的概念在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计

2018版高考数学一轮复习选修系列14.1坐标系与参数方程第1课时坐标系理本文内容：

第1课时

坐标系

1．平面直角坐标系

设点P(x，y)是平面直角坐标系中的任意一点，在变换φ：的作用下，点P(x，y)对应到点P′(x′，y′)，称φ为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换．

2．极坐标系

(1)极坐标与极坐标系的概念

在平面内取一个定点O，自点O引一条射线Ox，同时确定一个长度单位和计算角度的正方向(通常取逆时针方向)，这样就建立了一个极坐标系．点O称为极点，射线Ox称为极轴．平面内任一点M的位置可以由线段OM的长度ρ和从射线Ox到射线OM的角度θ来刻画(如图所示)．这两个数组成的有序数对(ρ，θ)称为点M的极坐标．ρ称为点M的极径，θ称为点M的极角．一般认为ρ≥0.当极角θ的取值范围是[0,2π)时，平面上的点(除去极点)就与极坐标(ρ，θ)

(ρ≠0)建立一一对应的关系．我们设定，极点的极坐标中，极径ρ＝0，极角θ可取任意角．

(2)极坐标与直角坐标的互化

设M为平面内的一点，它的直角坐标为(x，y)，极坐标为(ρ，θ)．由图可知下面关系式成立：

或.

这就是极坐标与直角坐标的互化公式．

3．常见曲线的极坐标方程

曲线

图形

极坐标方程

圆心在极点，半径为r的圆

ρ＝r(0≤θ<2π)

圆心为(r,0)，半径为r的圆

ρ＝2rcos_θ(－≤θ<)

圆心为(r，)，半径为r的圆

ρ＝2rsin_θ(0≤θ<π)

过极点，倾斜角为α的直线

θ＝α(ρ∈R)或θ＝π＋α(ρ∈R)

过点(a,0)，与极轴垂直的直线

ρcos

θ＝a(－<θ<)

过点(a，)，与极轴平行的直线

ρsin_θ＝a(0<θ<π)

1．(2016·北京西城区模拟)求在极坐标系中，过点(2，)且与极轴平行的直线方程．

解

点(2，)在直角坐标系下的坐标为

(2cos

，2sin

)，即(0,2)．

∴过点(0,2)且与x轴平行的直线方程为y＝2.

即为ρsin

θ＝2.

2．在极坐标系中，已知两点A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，求△AOB(其中O为极点)的面积．

解

由题意知A、B的极坐标分别为(3，)、(4，)，则△AOB的面积S△AOB＝OA·OB·sin∠AOB＝×3×4×sin

＝3.

3．在以O为极点的极坐标系中，圆ρ＝4sin

θ和直线ρsin

θ＝a相交于A，B两点．当△AOB是等边三角形时，求a的值．

解

由ρ＝4sin

θ可得x2＋y2＝4y，即x2＋(y－2)2＝4.

由ρsin

θ＝a可得y＝a.

设圆的圆心为O′，y＝a与x2＋(y－2)2＝4的两交点A，B与O构成等边三角形，如图所示．

由对称性知∠O′OB＝30°，OD＝a.

在Rt△DOB中，易求DB＝a，∴B点的坐标为(a，a)．

又∵B在x2＋y2－4y＝0上，∴(a)2＋a2－4a＝0，

即a2－4a＝0，解得a＝0(舍去)或a＝3.

题型一

极坐标与直角坐标的互化

例1

(1)以直角坐标系的原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，求线段y＝1－x(0≤x≤1)的极坐标方程．

(2)在极坐标系中，曲线C1和C2的方程分别为ρsin2θ＝cos

θ和ρsin

θ＝1.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线C1和C2交点的直角坐标．

解

(1)∵

∴y＝1－x化成极坐标方程为ρcos

θ＋ρsin

θ＝1，

即ρ＝.

∵0≤x≤1，∴线段在第一象限内(含端点)，

∴0≤θ≤.

(2)因为x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，由ρsin2θ＝cos

θ，得ρ2sin2θ＝ρcos

θ，所以曲线C1的直角坐标方程为y2＝x.由ρsin

θ＝1，得曲线C2的直角坐标方程为y＝1.由得故曲线C1与曲线C2交点的直角坐标为(1,1)．

思维升华

(1)极坐标与直角坐标互化的前提条件：①极点与原点重合；②极轴与x轴的正半轴重合；③取相同的单位长度．(2)直角坐标方程化为极坐标方程比较容易，只要运用公式x＝ρcos

θ及y＝ρsin

θ直接代入并化简即可；而极坐标方程化为直角坐标方程则相对困难一些，解此类问题常通过变形，构造形如ρcos

θ，ρsin

θ，ρ2的形式，进行整体代换．

(1)曲线C的直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，求曲线C的极坐标方程．

(2)求在极坐标系中，圆ρ＝2cos

θ垂直于极轴的两条切线方程．

解

(1)将x2＋y2＝ρ2，x＝ρcos

θ代入x2＋y2－2x＝0，得ρ2－2ρcos

θ＝0，整理得ρ＝2cos

θ.

(2)由ρ＝2cos

θ，得ρ2＝2ρcos

θ，化为直角坐标方程为x2＋y2－2x＝0，即(x－1)2＋y2＝1，其垂直于x轴的两条切线方程为x＝0和x＝2，相应的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)和ρcos

θ＝2.

题型二

求曲线的极坐标方程

例2

将圆x2＋y2＝1上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的2倍，得曲线C.

(1)写出曲线C的方程；

(2)设直线l：2x＋y－2＝0与C的交点为P1，P2，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程．

解

(1)设(x1，y1)为圆上的点，在已知变换下变为曲线C上的点(x，y)，依题意，得

由

＋y＝1得x2＋()2＝1，

即曲线C的方程为x2＋＝1.

(2)由解得或

不妨设P1(1,0)，P2(0,2)，则线段P1P2的中点坐标为(，1)，所求直线斜率为k＝，

于是所求直线方程为y－1＝(x－)，

化为极坐标方程，并整理得2ρcos

θ－4ρsin

θ＝－3，

即ρ＝.

思维升华

求曲线的极坐标方程的步骤：(1)建立适当的极坐标系，设P(ρ，θ)是曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径ρ和极角θ之间的关系式；(3)将列出的关系式进行整理、化简，得出曲线的极坐标方程．

在极坐标系中，已知圆C经过点P(，)，圆心为直线ρsin＝－与极轴的交点，求圆C的极坐标方程．

解

在ρsin＝－中，

令θ＝0，得ρ＝1，

所以圆C的圆心坐标为(1,0)．

如图所示，因为圆C经过点

P，

所以圆C的半径

PC＝

＝1，

于是圆C过极点，所以圆C的极坐标方程为ρ＝2cos

θ.

题型三

极坐标方程的应用

例3

(2015·课标全国Ⅰ)在直角坐标系xOy中，直线C1：x＝－2，圆C2：(x－1)2＋(y－2)2＝1，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．

(1)求C1，C2的极坐标方程；

(2)若直线C3的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)，设C2与C3的交点为M，N，求△C2MN的面积．

解

(1)因为x＝ρcos

θ，y＝ρsin

θ，

所以C1的极坐标方程为ρcos

θ＝－2，

C2的极坐标方程为ρ2－2ρcos

θ－4ρsin

θ＋4＝0.

(2)将θ＝代入ρ2－2ρcos

θ－4ρsin

θ＋4＝0，

得ρ2－3ρ＋4＝0，解得ρ1＝2，ρ2＝.

故ρ1－ρ2＝，即|MN|＝.

由于C2的半径为1，所以△C2MN为等腰直角三角形，

所以△C2MN的面积为.

思维升华

(1)已知极坐标系方程讨论位置关系时，可以先化为直角坐标方程；(2)在曲线的方程进行互化时，一定要注意变量的范围，注意转化的等价性．

(2017·广州调研)在极坐标系中，求直线ρsin(θ＋)＝2被圆ρ＝4截得的弦长．

解

由ρsin(θ＋)＝2，得(ρsin

θ＋ρcos

θ)＝2可化为x＋y－2＝0.圆ρ＝4可化为x2＋y2

＝16，由圆中的弦长公式得：2＝2＝4.故所求弦长为4.

1．(2015·广东)已知直线l的极坐标方程为2ρsin＝，点A的极坐标为，求点A到直线l的距离．

解

依题可知直线l：2ρsin＝和点A可化为l：x－y＋1＝0和A(2，－2)，所以点A到直线l的距离为d＝＝.

2．在极坐标系(ρ，θ)(0≤θ＜2π)中，求曲线ρ(cos

θ＋sin

θ)＝1与ρ(sin

θ－cos

θ)＝1的交点的极坐标．

解

曲线ρ(cos

θ＋sin

θ)＝1化为直角坐标方程为x＋y＝1，ρ(sin

θ－cos

θ)＝1化为直角坐标方程为y－x＝1.联立方程组得则交点为(0,1)，对应的极坐标为.

3．在极坐标系中，已知圆ρ＝3cos

θ与直线2ρcos

θ＋4ρsin

θ＋a＝0相切，求实数a的值．

解

圆ρ＝3cos

θ的直角坐标方程为x2＋y2＝3x，

即2＋y2＝，

直线2ρcos

θ＋4ρsin

θ＋a＝0的直角坐标方程为2x＋4y＋a＝0.

因为圆与直线相切，所以＝，

解得a＝－3±3.

4．在极坐标系中，求曲线ρ＝2cos

θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程．

解

以极点为坐标原点，极轴为x轴建立直角坐标系，

则曲线ρ＝2cos

θ的直角坐标方程为(x－1)2＋y2＝1，

且圆心为(1,0)．

直线θ＝的直角坐标方程为y＝x，

因为圆心(1,0)关于y＝x的对称点为(0,1)，

所以圆(x－1)2＋y2＝1关于y＝x的对称曲线为x2＋(y－1)2＝1.

所以曲线ρ＝2cos

θ关于直线θ＝对称的曲线的极坐标方程为ρ＝2sin

θ.

5．在极坐标系中，P是曲线C1：ρ＝12sin

θ上的动点，Q是曲线C2：ρ＝12cos(θ－)上的动点，求|PQ|的最大值．

解

对曲线C1的极坐标方程进行转化：

∵ρ＝12sin

θ，∴ρ2＝12ρsin

θ，∴x2＋y2－12y＝0，

即x2＋(y－6)2＝36.

对曲线C2的极坐标方程进行转化：

∵ρ＝12cos(θ－)，

∴ρ2＝12ρ(cos

θcos＋sin

θsin)，

∴x2＋y2－6x－6y＝0，∴(x－3)2＋(y－3)2＝36，

∴|PQ|max＝6＋6＋＝18.

6．在极坐标系中，O是极点，设A(4，)，B(5，－)，求△AOB的面积．

解

如图所示，∠AOB＝2π－－＝，

OA＝4，OB＝5，

故S△AOB＝×4×5×sin

＝5.

7．已知P(5，)，O为极点，求使△POP′为正三角形的点P′的坐标．

解

设P′点的极坐标为(ρ，θ)．

∵△POP′为正三角形，如图所示，

∴∠POP′＝.

∴θ＝－＝或θ＝＋＝π.

又ρ＝5，∴P′点的极坐标为(5，)或(5，π)．

8．在极坐标系中，判断直线ρcos

θ－ρsin

θ＋1＝0与圆ρ＝2sin

θ的位置关系．

解

直线ρcos

θ－ρsin

θ＋1＝0可化成x－y＋1＝0，圆ρ＝2sin

θ可化为x2＋y2＝2y，即x2＋(y－1)2＝1.圆心(0,1)到直线x－y＋1＝0的距离d＝＝0<1.故直线与圆相交．

9．在极坐标系中，已知三点M、N(2,0)、P.

(1)将M、N、P三点的极坐标化为直角坐标；

(2)判断M、N、P三点是否在一条直线上．

解

(1)由公式得M的直角坐标为(1，－)；

N的直角坐标为(2,0)；P的直角坐标为(3，)．

(2)∵kMN＝＝，kNP＝＝.

∴kMN＝kNP，∴M、N、P三点在一条直线上．

10．在直角坐标系xOy中，以O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系．曲线C的极坐标方程为ρcos(θ－)＝1，M，N分别为C与x轴、y轴的交点．

(1)写出C的直角坐标方程，并求M、N的极坐标；

(2)设MN的中点为P，求直线OP的极坐标方程．

解

(1)由ρcos(θ－)＝1

得ρ(cos

θ＋sin

θ)＝1.

从而C的直角坐标方程为x＋y＝1，

即x＋y＝2.

当θ＝0时，ρ＝2，所以M(2,0)．

当θ＝时，ρ＝，所以N(，)．

(2)M点的直角坐标为(2,0)．

N点的直角坐标为(0，)．

所以P点的直角坐标为(1，)．

则P点的极坐标为(，)，

所以直线OP的极坐标方程为θ＝(ρ∈R)．