版高考数学复习立体几何与空间向量8.5垂直关系试题理北师大版

2018版高考数学复习立体几何与空间向量8.5垂直关系试题理北师大版本文简介：第八章立体几何与空间向量8.5垂直关系试题理北师大版1．直线与平面垂直图形条件结论判定a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线)a⊥αa⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝Oa⊥αa∥b，a⊥αb⊥α性质a⊥α，bαa⊥ba⊥α，b⊥αa∥b2.平面与平面垂直(1)平面与平面垂直的定义两个平面相交，如

2018版高考数学复习立体几何与空间向量8.5垂直关系试题理北师大版本文内容：

第八章

立体几何与空间向量

8.5

垂直关系试题

理

北师大版

1．直线与平面垂直

图形

条件

结论

判

定

a⊥b，bα(b为α内的任意一条直线)

a⊥α

a⊥m，a⊥n，m、nα，m∩n＝O

a⊥α

a∥b，a⊥α

b⊥α

性

质

a⊥α，bα

a⊥b

a⊥α，b⊥α

a∥b

2.平面与平面垂直

(1)平面与平面垂直的定义

两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．

(2)判定定理与性质定理

文字语言

图形语言

符号语言

判定

定理

如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直

?α⊥β

性质定理

如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面

?l⊥α

【知识拓展】

重要结论：

(1)若两平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．

(2)若一条直线垂直于一个平面，则它垂直于这个平面内的任何一条直线(证明线线垂直的一个重要方法)．

(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．

(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)直线l与平面α内的无数条直线都垂直，则l⊥α.(

×

)

(2)垂直于同一个平面的两平面平行．(

×

)

(3)直线a⊥α，b⊥α，则a∥b.(

√

)

(4)若α⊥β，a⊥β?a∥α.(

×

)

(5)若直线a⊥平面α，直线b∥α，则直线a与b垂直．(

√

)

1．(教材改编)下列命题中不正确的是(

)

A．如果平面α⊥平面β，且直线l∥平面α，则直线l⊥平面β

B．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β

C．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β

D．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥γ

答案

A

解析

根据面面垂直的性质，知A不正确，直线l可能平行平面β，也可能在平面β内．

2．设平面α与平面β相交于直线m，直线a在平面α内，直线b在平面β内，且b⊥m，则“α⊥β”是“a⊥b”的(

)

A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C．充分必要条件

D．既不充分也不必要条件

答案

A

解析

若α⊥β，因为α∩β＝m，b?β，b⊥m，所以根据两个平面垂直的性质定理可得b⊥α，又aα，所以a⊥b；反过来，当a∥m时，因为b⊥m，且a，m共面，一定有b⊥a，但不能保证b⊥α，所以不能推出α⊥β.

3．(2016·宝鸡质检)对于四面体ABCD，给出下列四个命题：

①若AB＝AC，BD＝CD，则BC⊥AD；

②若AB＝CD，AC＝BD，则BC⊥AD；

③若AB⊥AC，BD⊥CD，则BC⊥AD；

④若AB⊥CD，AC⊥BD，则BC⊥AD.

其中为真命题的是(

)

A．①②

B．②③

C．②④

D．①④

答案

D

解析

①如图，取BC的中点M，连接AM，DM，由AB＝AC?AM⊥BC，同理DM⊥BC?BC⊥平面AMD，而AD平面AMD，故BC⊥AD.④设A在平面BCD内的投影为O，连接BO，CO，DO，由AB⊥CD?BO⊥CD，由AC⊥BD?CO⊥BD?O为△BCD的垂心?DO⊥BC?AD⊥BC.

4．(2016·济南模拟)如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，MD⊥平面ABCD，NB⊥平面ABCD，且MD＝NB＝1，G为MC的中点．则下列结论中不正确的是(

)

A．MC⊥AN

B．GB∥平面AMN

C．平面CMN⊥平面AMN

D．平面DCM∥平面ABN

答案

C

解析

显然该几何图形为正方体截去两个三棱锥所剩的几何体，把该几何体放置到正方体中(如图)，取AN的中点H，连接HB，MH，GB，则MC∥HB，又HB⊥AN，所以MC⊥AN，所以A正确；由题意易得GB∥MH，又GB平面AMN，

MH平面AMN，所以GB∥平面AMN，所以B正确；因为AB∥CD，DM∥BN，且AB∩BN＝B，CD∩DM＝D，所以平面DCM∥平面ABN，所以D正确．

5．(教材改编)在三棱锥P－ABC中，点P在平面ABC中的投影为点O.

(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心．

(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．

答案

(1)外

(2)垂

解析

(1)如图1，连接OA，OB，OC，OP，

在Rt△POA、Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，

所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．

(2)如图2，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于H，D，G.

∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，

∴PC⊥平面PAB，AB平面PAB，∴PC⊥AB，

又AB⊥PO，PO∩PC＝P，

∴AB⊥平面PGC，

又CG平面PGC，

∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB的高．

同理可证BD，AH为△ABC底边上的高，

即O为△ABC的垂心.

题型一

直线与平面垂直的判定与性质

例1

(2016·全国甲卷改编)如图，菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O，AB＝5，AC＝6，点E，F分别在AD，CD上，AE＝CF＝，EF交BD于点H.将△DEF沿EF折到△D′EF的位置．OD′＝.

证明：D′H⊥平面ABCD.

证明

由已知得AC⊥BD，AD＝CD.

又由AE＝CF得＝，故AC∥EF.

因此EF⊥HD，从而EF⊥D′H.

由AB＝5，AC＝6得DO＝BO＝＝4.

由EF∥AC得＝＝.

所以OH＝1，D′H＝DH＝3.

于是D′H2＋OH2＝32＋12＝10＝D′O2，故D′H⊥OH.

又D′H⊥EF，

而OH∩EF＝H，且OH，EF平面ABCD，

所以D′H⊥平面ABCD.

思维升华

证明线面垂直的常用方法及关键

(1)证明直线和平面垂直的常用方法有：①判定定理；②垂直于平面的传递性(a∥b，a⊥α?b⊥α)；③面面平行的性质(a⊥α，α∥β?a⊥β)；④面面垂直的性质．

(2)证明线面垂直的关键是证线线垂直，而证明线线垂直则需借助线面垂直的性质．因此，判定定理与性质定理的合理转化是证明线面垂直的基本思想．

(2015·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，已知AC⊥BC，BC＝CC1.设AB1的中点为D，B1C∩BC1＝E.

求证：(1)DE∥平面AA1C1C；

(2)BC1⊥AB1.

证明

(1)由题意知，

E为B1C的中点，

又D为AB1的中点，因此DE∥AC.

又因为DE平面AA1C1C，AC平面AA1C1C，

所以DE∥平面AA1C1C.

(2)因为棱柱ABCA1B1C1是直三棱柱，

所以CC1⊥平面ABC.

因为AC平面ABC，

所以AC⊥CC1.

又因为AC⊥BC，CC1平面BCC1B1，

BC平面BCC1B1，BC∩CC1＝C，

所以AC⊥平面BCC1B1.

又因为BC1平面BCC1B1，

所以BC1⊥AC.

因为BC＝CC1，所以矩形BCC1B1是正方形，

因此BC1⊥B1C.

因为AC，B1C平面B1AC，AC∩B1C＝C，

所以BC1⊥平面B1AC.

又因为AB1平面B1AC，

所以BC1⊥AB1.

题型二

平面与平面垂直的判定与性质

例2

如图，四棱锥P－ABCD中，AB⊥AC，AB⊥PA，AB∥CD，AB＝2CD，E，F，G，M，N分别为PB，AB，BC，PD，PC的中点．

(1)求证：CE∥平面PAD；

(2)求证：平面EFG⊥平面EMN.

证明

(1)方法一

取PA的中点H，连接EH，DH.

又E为PB的中点，

所以EH綊AB.

又CD綊AB，

所以EH綊CD.

所以四边形DCEH是平行四边形，所以CE∥DH.

又DH平面PAD，CE平面PAD.

所以CE∥平面PAD.

方法二

连接CF.

因为F为AB的中点，

所以AF＝AB.

又CD＝AB，

所以AF＝CD.

又AF∥CD，所以四边形AFCD为平行四边形．

因此CF∥AD，又CF平面PAD，AD平面PAD，

所以CF∥平面PAD.

因为E，F分别为PB，AB的中点，所以EF∥PA.

又EF平面PAD，PA平面PAD，

所以EF∥平面PAD.

因为CF∩EF＝F，故平面CEF∥平面PAD.

又CE平面CEF，所以CE∥平面PAD.

(2)因为E、F分别为PB、AB的中点，所以EF∥PA.

又因为AB⊥PA，

所以EF⊥AB，同理可证AB⊥FG.

又因为EF∩FG＝F，EF平面EFG，FG平面EFG.

所以AB⊥平面EFG.

又因为M，N分别为PD，PC的中点，

所以MN∥CD，又AB∥CD，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面EFG.

又因为MN平面EMN，所以平面EFG⊥平面EMN.

引申探究

1．在本例条件下，证明：平面EMN⊥平面PAC.

证明

因为AB⊥PA，AB⊥AC，

且PA∩AC＝A，所以AB⊥平面PAC.

又MN∥CD，CD∥AB，所以MN∥AB，

所以MN⊥平面PAC.

又MN平面EMN，

所以平面EMN⊥平面PAC.

2．在本例条件下，证明：平面EFG∥平面PAC.

证明

因为E，F，G分别为PB，AB，BC的中点，

所以EF∥PA，FG∥AC，

又EF平面PAC，PA平面PAC，

所以EF∥平面PAC.

同理，FG∥平面PAC.

又EF∩FG＝F，

所以平面EFG∥平面PAC.

思维升华

(1)判定面面垂直的方法

①面面垂直的定义；

②面面垂直的判定定理(a⊥β，aα?α⊥β)．

(2)在已知平面垂直时，一般要用性质定理进行转化．

在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．

(2016·江苏)如图，在直三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别为AB，BC的中点，点F在侧棱B1B上，且B1D⊥A1F，A1C1⊥A1B1.

求证：(1)直线DE∥平面A1C1F；

(2)平面B1DE⊥平面A1C1F.

证明

(1)由已知，DE为△ABC的中位线，

∴DE∥AC，又由三棱柱的性质可得AC∥A1C1，

∴DE∥A1C1，

又∵DE平面A1C1F，A1C1平面A1C1F，

∴DE∥平面A1C1F.

(2)在直三棱柱ABCA1B1C1中，AA1⊥平面A1B1C1，

∴AA1⊥A1C1，

又∵A1B1⊥A1C1，且A1B1∩AA1＝A1，

∴A1C1⊥平面ABB1A1，

∵B1D平面ABB1A1，

∴A1C1⊥B1D，

又∵A1F⊥B1D，且A1F∩A1C1＝A1，

∴B1D⊥平面A1C1F，

又∵B1D平面B1DE，

∴平面B1DE⊥平面A1C1F.

题型三

垂直关系中的探索性问题

例3

如图，在三棱台ABC－DEF中，CF⊥平面DEF，AB⊥BC.

(1)设平面ACE∩平面DEF＝a，求证：DF∥a；

(2)若EF＝CF＝2BC，试问在线段BE上是否存在点G，使得平面DFG⊥平面CDE？若存在，请确定G点的位置；若不存在，请说明理由．

(1)证明

在三棱台ABC－DEF中，AC∥DF，AC平面ACE，DF平面ACE，∴DF∥平面ACE.

又∵DF平面DEF，平面ACE∩平面DEF＝a，

∴DF∥a.

(2)解

线段BE上存在点G，且BG＝BE，使得平面DFG⊥平面CDE.

证明如下：

取CE的中点O，连接FO并延长交BE于点G，

连接GD，GF，

∵CF＝EF，

∴GF⊥CE.

在三棱台ABC－DEF中，AB⊥BC?DE⊥EF.

由CF⊥平面DEF?CF⊥DE.

又CF∩EF＝F，∴DE⊥平面CBEF，∴DE⊥GF.

?GF⊥平面CDE.

又GF平面DFG，

∴平面DFG⊥平面CDE.

此时，如平面图所示，延长CB，FG交于点H，

∵O为CE的中点，EF＝CF＝2BC，

由平面几何知识易证△HOC≌△FOE，

∴HB＝BC＝EF.

由△HGB∽△FGE可知＝，即BG＝BE.

思维升华

同“平行关系中的探索性问题”的规律方法一样，一般是先探求点的位置，多为线段的中点或某个三等分点，然后给出符合要求的证明．

(2016·北京东城区模拟)如图，在三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，M为棱AC的中点．AB＝BC，AC＝2，AA1＝.

(1)求证：B1C∥平面A1BM；

(2)求证：AC1⊥平面A1BM；

(3)在棱BB1上是否存在点N，使得平面AC1N⊥平面AA1C1C？如果存在，求此时的值；如果不存在，请说明理由．

(1)证明

连接AB1与A1B，两线交于点O，连接OM，

在△B1AC中，∵M，O分别为AC，AB1中点，

∴OM∥B1C，

又∵OM平面A1BM，B1C平面A1BM，

∴B1C∥平面A1BM.

(2)证明

∵侧棱AA1⊥底面ABC，BM平面ABC，

∴AA1⊥BM，

又∵M为棱AC中点，AB＝BC，∴BM⊥AC.

∵AA1∩AC＝A，∴BM⊥平面ACC1A1，

∴BM⊥AC1.

∵AC＝2，∴AM＝1.

又∵AA1＝，∴在Rt△ACC1和Rt△A1AM中，

tan∠AC1C＝tan∠A1MA＝.

∴∠AC1C＝∠A1MA，

即∠AC1C＋∠C1AC＝∠A1MA＋∠C1AC＝90°，

∴A1M⊥AC1.

∵BM∩A1M＝M，∴AC1⊥平面A1BM.

(3)解

当点N为BB1中点，即＝时，

平面AC1N⊥平面AA1C1C.

证明如下：

设AC1中点为D，连接DM，DN.

∵D，M分别为AC1，AC中点，

∴DM∥CC1，且DM＝CC1.

又∵N为BB1中点，∴DM∥BN，且DM＝BN，

∴四边形BNDM为平行四边形，

∴BM∥DN，

∵BM⊥平面ACC1A1，∴DN⊥平面ACC1A1.

又∵DN平面AC1N，∴平面AC1N⊥平面AA1C1C.

17．立体几何证明问题中的转化思想

典例

(12分)如图所示，M，N，K分别是正方体ABCD—A1B1C1D1的棱AB，CD，C1D1的中点．

求证：(1)AN∥平面A1MK；

(2)平面A1B1C⊥平面A1MK.

思想方法指导

(1)线面平行、垂直关系的证明问题的指导思想是线线、线面、面面关系的相互转化，交替使用平行、垂直的判定定理和性质定理；

(2)线线关系是线面关系、面面关系的基础．证明过程中要注意利用平面几何中的结论，如证明平行时常用的中位线、平行线分线段成比例；证明垂直时常用的等腰三角形的中线等；

(3)证明过程一定要严谨，使用定理时要对照条件、步骤书写要规范．

规范解答

证明

(1)如图所示，连接NK.

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，

∵四边形AA1D1D，DD1C1C都为正方形，

∴AA1∥DD1，AA1＝DD1，

C1D1∥CD，C1D1＝CD.[2分]

∵N，K分别为CD，C1D1的中点，∴DN∥D1K，DN＝D1K，

∴四边形DD1KN为平行四边形，[3分]

∴KN∥DD1，KN＝DD1，∴AA1∥KN，AA1＝KN，

∴四边形AA1KN为平行四边形，∴AN∥A1K.[4分]

∵A1K平面A1MK，AN平面A1MK，

∴AN∥平面A1MK.[6分]

(2)如图所示，连接BC1.在正方体ABCD—A1B1C1D1中，AB∥C1D1，AB＝C1D1.

∵M，K分别为AB，C1D1的中点，

∴BM∥C1K，BM＝C1K，

∴四边形BC1KM为平行四边形，∴MK∥BC1.[8分]

在正方体ABCD—A1B1C1D1中，A1B1⊥平面BB1C1C，

BC1平面BB1C1C，∴A1B1⊥BC1.

∵MK∥BC1，∴A1B1⊥MK.

∵四边形BB1C1C为正方形，∴BC1⊥B1C.[10分]

∴MK⊥B1C.

∵A1B1平面A1B1C，B1C平面A1B1C，A1B1∩B1C＝B1，∴MK⊥平面A1B1C.

又∵MK平面A1MK，

∴平面A1B1C⊥平面A1MK.[12分]

1．若平面α⊥平面β，平面α∩平面β＝直线l，则(

)

A．垂直于平面β的平面一定平行于平面α

B．垂直于直线l的直线一定垂直于平面α

C．垂直于平面β的平面一定平行于直线l

D．垂直于直线l的平面一定与平面α，β都垂直

答案

D

解析

对于A，垂直于平面β的平面与平面α平行或相交，故A错误；

对于B，垂直于直线l的直线与平面α垂直、斜交、平行或在平面α内，故B错误；

对于C，垂直于平面β的平面与直线l平行或相交，故C错误；易知D正确．

2．设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，下列命题中正确的是(

)

A．若α⊥β，mα，nβ，则m⊥n

B．若α∥β，mα，nβ，，则m∥n

C．若m⊥n，mα，nβ，则α⊥β

D．若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β

答案

D

解析

A中，m与n可垂直、可异面、可平行；B中，m与n可平行、可异面；C中，若α∥β，仍然满足m⊥n，mα，nβ，故C错误；故选D.

3．(2016·包头模拟)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1垂直底面A1B1C1，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC中点，则下列叙述正确的是(

)

A．CC1与B1E是异面直线

B．AC⊥平面ABB1A1

C．AE与B1C1是异面直线，且AE⊥B1C1

D．A1C1∥平面AB1E

答案

C

解析

A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中，故不是异面直线；B不正确，由题意知，上底面ABC是一个正三角形，故不可能存在AC⊥平面ABB1A1；C正确，因为AE，B1C1为在两个平行平面中且不平行的两条直线，故它们是异面直线；D不正确，因为A1C1所在的平面与平面AB1E相交，且A1C1与交线有公共点，故A1C1∥平面AB1E不正确，故选C.

4．如图，以等腰直角三角形ABC的斜边BC上的高AD为折痕，把△ABD和△ACD折成互相垂直的两个平面后，某学生得出下列四个结论：

①BD⊥AC；

②△BAC是等边三角形；

③三棱锥D－ABC是正三棱锥；

④平面ADC⊥平面ABC.

其中正确的是(

)

A．①②④

B．①②③

C．②③④

D．①③④

答案

B

解析

由题意知，BD⊥平面ADC，故BD⊥AC，①正确；AD为等腰直角三角形斜边BC上的高，平面ABD⊥平面ACD，所以AB＝AC＝BC，△BAC是等边三角形，②正确；易知DA＝DB＝DC，又由②知③正确；由①知④错．故选B.

5.如图所示，直线PA垂直于⊙O所在的平面，△ABC内接于⊙O，且AB为⊙O的直径，点M为线段PB的中点．现有结论：①BC⊥PC；②OM∥平面APC；③点B到平面PAC的距离等于线段BC的长．其中正确的是(

)

A．①②

B．①②③

C．①

D．②③

答案

B

解析

对于①，∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC，

∵AB为⊙O的直径，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC，

又PC平面PAC，∴BC⊥PC；

对于②，∵点M为线段PB的中点，∴OM∥PA，

∵PA平面PAC，OM平面PAC，

∴OM∥平面PAC；

对于③，由①知BC⊥平面PAC，

∴线段BC的长即是点B到平面PAC的距离，

故①②③都正确．

6.如图，∠BAC＝90°，PC⊥平面ABC，则在△ABC和△PAC的边所在的直线中，与PC垂直的直线有________；与AP垂直的直线有________．

答案

AB、BC、AC

AB

解析

∵PC⊥平面ABC，∴PC垂直于直线AB，BC，AC；∵AB⊥AC，AB⊥PC，AC∩PC＝C，

∴AB⊥平面PAC，∴与AP垂直的直线是AB.

7.如图，直三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱长为2，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F是BB1上的动点，AB1，DF交于点E.要使AB1⊥平面C1DF，则线段B1F的长为________．

答案

解析

设B1F＝x，

因为AB1⊥平面C1DF，DF平面C1DF，

所以AB1⊥DF.

由已知可得A1B1＝，

设Rt△AA1B1斜边AB1上的高为h，

则DE＝h.

又2×＝h，

所以h＝，DE＝.

在Rt△DB1E中，

B1E＝

＝.

由面积相等得×

＝x，

得x＝.

8.如图，PA⊥圆O所在的平面，AB是圆O的直径，C是圆O上的一点，E，F分别是点A在PB，PC上的射影，给出下列结论：

①AF⊥PB；②EF⊥PB；③AF⊥BC；

④AE⊥平面PBC.

其中正确结论的序号是________．

答案

①②③

解析

由题意知PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC.

又AC⊥BC，且PA∩AC＝A，

∴BC⊥平面PAC，∴BC⊥AF.

∵AF⊥PC，且BC∩PC＝C，

∴AF⊥平面PBC，

∴AF⊥PB，又AE⊥PB，AE∩AF＝A，

∴PB⊥平面AEF，∴PB⊥EF.

故①②③正确．

9．(2016·保定模拟)如图，在直二面角α－MN－β中，等腰直角三角形ABC的斜边BCα，一直角边ACβ，BC与β所成角的正弦值为，则AB与β所成的角是________．

答案

解析

如图所示，作BH⊥MN于点H，连接AH，

则BH⊥β，∠BCH为BC与β所成的角．

∵sin∠BCH＝＝，

设BC＝1，则BH＝.

∵△ABC为等腰直角三角形，∴AC＝AB＝，

∴AB与β所成的角为∠BAH.

∴sin∠BAH＝＝＝，

∴∠BAH＝.

10．(2016·全国乙卷)如图，在以A，B，C，D，E，F为顶点的五面体中，平面ABEF为正方形，AF＝2FD，∠AFD＝90°，且二面角D-AF-E与二面角C-BE-F都是60°.

(1)证明：平面ABEF⊥EFDC；

(2)求二面角E-BC-A的余弦值．

(1)证明

由已知可得AF⊥DF，AF⊥FE，

DF∩FE＝F，

所以AF⊥平面EFDC，

又AF平面ABEF，

故平面ABEF⊥平面EFDC.

(2)解

过D作DG⊥EF，垂足为G，由(1)知DG⊥平面ABEF.以G为坐标原点，的方向为x轴正方向，||为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系．由(1)知∠DFE为二面角DAFE的平面角，故∠DFE＝60°，则|DF|＝2，|DG|＝，可得A(1,4,0)，B(－3,4,0)，E(－3,0,0)，D(0,0，)．

由已知，AB∥EF，AB平面EFDC，EF平面EFDC，

所以AB∥平面EFDC，

又平面ABCD∩平面EFDC＝CD，

故AB∥CD，CD∥EF，

由BE∥AF，可得BE⊥平面EFDC，

所以∠CEF为二面角C-BE-F的平面角，

∠CEF＝60°，

从而可得C(－2,0，)．

所以＝(1,0，)，＝(0,4,0)，＝(－3，－4，)，＝(－4,0,0)．

设n＝(x，y，z)是平面BCE的法向量，则

即所以可取n＝(3,0，－)．

设m是平面ABCD的法向量，则

同理可取m＝(0，，4)，则cos〈n，m〉＝＝－.故二面角E-BC-A的余弦值为－.

11．如图所示，四边形ABCD是平行四边形，平面AED⊥平面ABCD，EF∥AB，AB＝2，BC＝EF＝1，AE＝，DE＝3，∠BAD＝60°，G为BC的中点．

(1)求证：FG∥平面BED；

(2)求证：平面BED⊥平面AED；

(3)求直线EF与平面BED所成角的正弦值．

(1)证明

如图，取BD的中点O，连接OE，OG.

在△BCD中，因为G是BC的中点，

所以OG∥DC且OG＝DC＝1.

又因为EF∥AB，AB∥DC，

所以EF∥OG且EF＝OG，

所以四边形OGFE是平行四边形，所以FG∥OE.

又FG

平面BED，OE平面BED，

所以FG∥平面BED.

(2)证明

在△ABD中，AD＝1，AB＝2，∠BAD＝60°，

由余弦定理可得BD＝，进而∠ADB＝90°，

即BD⊥AD.

又因为平面AED⊥平面ABCD，BD平面ABCD，

平面AED∩平面ABCD＝AD，

所以BD⊥平面AED.

又因为BD平面BED，

所以平面BED⊥平面AED.

(3)解

因为EF∥AB，所以直线EF与平面BED所成的角即为直线AB与平面BED所成的角．

过点A作AH⊥DE于点H，连接BH.

又平面BED∩平面AED

＝ED，

由(2)知AH⊥平面BED，

所以直线AB与平面BED所成的角即为∠ABH.

在△ADE中，AD＝1，DE＝3，AE＝，

由余弦定理得cos∠ADE＝，所以sin∠ADE＝，

因此，AH＝AD·sin∠ADE＝.

在Rt△AHB中，sin∠ABH＝＝.

所以直线EF与平面BED所成角的正弦值为.

12．在直角梯形SBCD中，∠D＝∠C＝，BC＝CD＝2，SD＝4，A为SD的中点，如图(1)所示，将△SAB沿AB折起，使SA⊥AD，点E在SD上，且SE＝SD，如图(2)所示．

(1)求证：SA⊥平面ABCD；

(2)求二面角E－AC－D的正切值．

(1)证明

由题意，知SA⊥AB，

又SA⊥AD，AB∩AD＝A，

所以SA⊥平面ABCD.

(2)解

在AD上取一点O，使AO＝AD，

连接EO，如图所示．

又SE＝SD，所以EO∥SA.

所以EO⊥平面ABCD.

过O作OH⊥AC交AC于H，连接EH，

则AC⊥平面EOH，

所以AC⊥EH，

所以∠EHO为二面角E－AC－D的平面角．

已知EO＝SA＝.

在Rt△AHO中，∠HAO＝45°，

OH＝AO·sin

45°＝×＝.

tan∠EHO＝＝2，即二面角E－AC－D的正切值为2.