江苏高考数学复习平面解析几何第49课双曲线教师用书

江苏高考数学复习平面解析几何第49课双曲线教师用书本文简介：第49课双曲线[最新考纲]内容要求ABC中心在坐标原点的双曲线的标准方程与几何性质√1．双曲线的定义(1)平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c>0.①当2aF1F2时，M点不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程－＝1(a>0，b>0)－

江苏高考数学复习平面解析几何第49课双曲线教师用书本文内容：

第49课

双曲线

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

中心在坐标原点的双曲线

的标准方程与几何性质

√

1．双曲线的定义

(1)平面内与两个定点F1，F2(F1F2＝2c>0)的距离之差的绝对值为非零常数2a(2a0，c>0.

①当2aF1F2时，M点不存在．

2．双曲线的标准方程和几何性质

标准方程

－＝1(a>0，b>0)

－＝1(a>0，b>0)

图形

性质

范围

x≥a或x≤－a，y∈R

x∈R，y≤－a或y≥a

对称性

对称轴：坐标轴，对称中心：原点

顶点

A1(－a,0)，A2(a,0)

A1(0，－a)，A2(0，a)

渐近线

y＝±x

y＝±x

离心率

e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝

a，b，c的关系

c2＝a2＋b2(c>a>0，c>b>0)

3.等轴双曲线

实轴和虚轴等长的双曲线叫作等轴双曲线，其渐近线方程为y＝±x，离心率为e＝.

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．(

)

(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．(

)

(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.(

)

(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.(

)

[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)√

2．(教材改编)已知双曲线－＝1(a>0)的离心率为2，则a＝________.

1

[依题意，e＝＝＝2，

∴＝2a，则a2＝1，a＝1.]

3．(2017·泰州中学高三摸底考试)若双曲线x2－＝1的焦点到渐近线的距离为2，则实数k的值是________．

8

[由题意得b＝2?k＝b2＝8.]

4．(2016·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－＝1的焦距是________．

2

[由双曲线的标准方程，知a2＝7，b2＝3，所以c2＝a2＋b2＝10，所以c＝，从而焦距2c＝2.]

5．(2016·北京高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则双曲线的方程为__________．

x2－＝1

[由于2x＋y＝0是－＝1的一条渐近线，

∴＝2，即b＝2a.①

又∵双曲线的一个焦点为(，0)，则c＝，

由a2＋b2＝c2，得a2＋b2＝5，②

联立①②得a2＝1，b2＝4.

∴所求双曲线的方程为x2－＝1.]

双曲线的定义及应用

已知F是双曲线C：x2－＝1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6)．则△APF周长的最小值为__________.

【导学号：62172269】

32

[由双曲线方程x2－＝1可知，a＝1，c＝3，

故F(3,0)，F1(－3,0)，

当点P在双曲线左支上运动时，由双曲线定义知PF－PF1＝2.所以PF＝PF1＋2，

从而△APF的周长＝AP＋PF＋AF＝AP＋PF1＋2＋AF.

因为AF＝＝15为定值，

所以当(AP＋PF1)最小时，△APF的周长最小，A，F1，P三点共线．

又因为AP＋PF1≥AF1＝AF＝15.

所以△APF周长的最小值为15＋15＋2＝32.]

[规律方法]

1.应用双曲线的定义需注意的问题：

在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件，即“到两定点(焦点)的距离之差的绝对值为一常数，且该常数必须小于两定点间的距离”．若定义中的“绝对值”去掉，点的轨迹是双曲线的一支．同时需注意定义的转化应用．

2．在焦点三角形中，注意定义、余弦定理的活用，常将PF1－PF2＝2a平方，建立PF1·PF2间的联系．

[变式训练1]

(1)已知双曲线C的离心率为2，焦点为F1，F2，点A在C上．若F1A＝2F2A，则cos∠AF2F1＝________.

(2)已知双曲线x2－＝1的两个焦点为F1，F2，P为双曲线右支上一点．若PF1＝PF2，则△F1PF2的面积为________．

(1)

(2)24

[(1)由e＝＝2得c＝2a，如图，由双曲线的定义得F1A－F2A＝2a.

又F1A＝2F2A，故F1A＝4a，

F2A＝2a，

∴cos∠AF2F1＝＝.

(2)由双曲线的定义可得

PF1－PF2＝PF2＝2a＝2，

解得PF2＝6，故PF1＝8，又F1F2＝10，

由勾股定理可知三角形PF1F2为直角三角形，因此S△PF1F2＝PF1×PF2＝24.]

双曲线的标准方程

(1)已知双曲线C：－＝1的离心率e＝，且其右焦点为F2(5,0)，则双曲线C的方程为________．

(2)(2016·天津高考改编)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2，且双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，则双曲线的方程为________．

(1)－＝1

(2)－y2＝1

[(1)由焦点F2(5,0)知c＝5.

又e＝＝，得a＝4，b2＝c2－a2＝9.

∴双曲线C的标准方程为－＝1.

(2)由焦距为2得c＝.因为双曲线的一条渐近线与直线2x＋y＝0垂直，所以＝.

又c2＝a2＋b2，解得a＝2，b＝1，

所以双曲线的方程为－y2＝1.]

[规律方法]

1.确定双曲线的标准方程也需要一个“定位”条件，两个“定量”条件．“定位”是指确定焦点在哪条坐标轴上，“定量”是指确定a，b的值，常用待定系数法．若双曲线的焦点不能确定时，可设其方程为Ax2＋By2＝1(AB0，b>0)的右焦点是F，左、右顶点分别是A1，A2，过F作A1A2的垂线与双曲线交于B，C两点．若A1B⊥A2C，则该双曲线的渐近线为__________.

【导学号：62172270】

(1)

(2)x±y＝0

[(1)如图，因为MF1⊥x轴，所以MF1＝.

在Rt△MF1F2中，由sin∠MF2F1＝得

tan∠MF2F1＝.

所以＝，即＝，即＝，

整理得c2－ac－a2＝0，

两边同除以a2得e2－e－1＝0.

解得e＝(负值舍去)．

(2)由题设易知A1(－a,0)，A2(a,0)，B，C.

因为A1B⊥A2C，

所以·＝－1，整理得a＝b.

因此该双曲线的渐近线为y＝±x，即x±y＝0.]

[规律方法]

1.(1)求双曲线的渐近线，要注意双曲线焦点位置的影响；(2)求离心率的关键是确定含a，b，c的齐次方程，但一定注意e>1这一条件．

2．双曲线中c2＝a2＋b2，可得双曲线渐近线的斜率与离心率的关系＝.抓住双曲线中“六点”、“四线”、“两三角形”，研究a，b，c，e间相互关系及转化，简化解题过程．

[变式训练3]

(1)(2017·无锡期末)设△ABC是等腰三角形，∠ABC＝120°，则以A，B为焦点且过点C的双曲线的离心率为________．

(2)双曲线x2＋my2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则双曲线的渐近线方程为________．

(1)

(2)x±2y＝0

[(1)设AB＝x，则BC＝x，AC＝x，

∴2a＝x－x,2c＝x，

∴e＝＝＝＝.

(2)由题意可知a2＝1，b2＝－m，由于b＝2a，故－m＝4，∴m＝－4.

由x2－4y2＝0得x＝±2y，即x±2y＝0.

∴双曲线的渐近线方程为x±2y＝0.]

[思想与方法]

1．求双曲线标准方程的主要方法：

(1)定义法：由条件判定动点的轨迹是双曲线，求出a2，b2，得双曲线方程．

(2)待定系数法：即“先定位，后定量”，如果不能确定焦点的位置，应注意分类讨论或恰当设置简化讨论．

①若已知双曲线过两点，焦点位置不能确定，可设方程为Ax2＋By2＝1(AB0)的一条渐近线为x＋y＝0，则a＝__________.

【导学号：62172271】

[双曲线－y2＝1的渐近线为y＝±，已知一条渐近线为x＋y＝0，即y＝－x，因为a>0，所以＝，所以a＝.]

3．双曲线－＝1的离心率为________．

[∵a2＝4，b2＝5，

∴c2＝9，∴e＝＝.]

4．若双曲线－＝1的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________.

【导学号：62172272】

[由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，∴＝.

又b2＝c2－a2，∴＝，

即e2－1＝，∴e2＝，∴e＝.]

5．已知点F1(－3,0)和F2(3,0)，动点P到F1，F2的距离之差为4，则点P的轨迹方程为________．

－＝1(x>0)

[由题设知点P的轨迹方程是焦点在x轴上的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x>0，a>0，b>0)，由题设知c＝3，a＝2，b2＝9－4＝5.

所以点P的轨迹方程为－＝1(x>0)．]

6．已知F为双曲线C：x2－my2＝3m(m>0)的一个焦点，则点F到C的一条渐近线的距离为________．

[由双曲线方程知a2＝3m，b2＝3，

∴c＝＝.

不妨设点F为右焦点，则F(，0)．

又双曲线的一条渐近线为x－y＝0，

∴d＝＝.]

7．(2016·全国卷Ⅰ改编)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是________．

(－1,3)

[∵原方程表示双曲线，且两焦点间的距离为4.

∴则

因此－10，即－20，b>0)，若矩形ABCD的四个顶点在E上，AB，CD的中点为E的两个焦点，且2AB＝3BC，则E的离心率是________．

2

[如图，由题意知AB＝，BC＝2c.

又2AB＝3BC，

∴2×＝3×2c，即2b2＝3ac，

∴2(c2－a2)＝3ac，两边同除以a2，并整理得2e2－3e－2＝0，解得e＝2(负值舍去)．]

B组

能力提升

(建议用时：15分钟)

1．已知F为双曲线C：－＝1的左焦点，P，Q为C上的点．若PQ的长等于虚轴长的2倍，点A(5,0)在线段PQ上，则△PQF的周长为________．

44

[由双曲线C的方程，知a＝3，b＝4，c＝5，

∴点A(5,0)是双曲线C的右焦点，

且PQ＝QA＋PA＝4b＝16，

由双曲线定义，得PF－PA＝6，

QF－QA＝6.

∴PF＋QF＝12＋PA＋QA＝28，

因此△PQF的周长为PF＋QF＋PQ＝28＋16＝44.]

2．已知点F是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点，点E是该双曲线的右顶点，过F且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，若△ABE是锐角三角形，则该双曲线的离心率e的取值范围是________．

(1,2)

[由题意易知点F的坐标为(－c,0)，A，B，E(a,0)，∵△ABE是锐角三角形，∴·>0，

即·＝·>0，整理得3e2＋2e>e4，

∴e(e3－3e－3＋1)1，∴e∈(1,2)．]

3．(2016·北京高考)双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝__________.

2

[双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，易得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性知＝1.

又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，

所以a2＋b2＝c2＝8，因此a＝2.]

4．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一个焦点为F(2,0)，且双曲线的渐近线与圆(x－2)2＋y2＝3相切，则双曲线的方程为__________．

x2－＝1

[由双曲线的渐近线y＝±x，即bx±ay＝0与圆(x－2)2＋y2＝3相切，

∴＝，则b2＝3a2.①

又双曲线的一个焦点为F(2,0)，

∴a2＋b2＝4，②

联立①②，解得a2＝1，b2＝3.

故所求双曲线的方程为x2－＝1.]

5．(2017·南通三模)在平面直角坐标系xOy中，双曲线－y2＝1与抛物线y2＝－12x有相同的焦点，则双曲线的两条渐近线的方程为________．

y＝±x

[抛物线y2＝－12x的焦点为(－3,0)，∴a2＋1＝9，∴a＝±2.

∴双曲线的两条渐近线方程为y＝±＝±x.]

6．(2016·天津高考改编)已知双曲线－＝1(b＞0)，以原点为圆心，双曲线的实半轴长为半径长的圆与双曲线的两条渐近线相交于A，B，C，D四点，四边形ABCD的面积为2b，则双曲线的方程为________．

－＝1

[由题意知双曲线的渐近线方程为y＝±x，圆的方程为x2＋y2＝4，联立

解得或

即第一象限的交点为.

由双曲线和圆的对称性得四边形ABCD为矩形，其相邻两边长为，，故＝2b，得b2＝12.

故双曲线的方程为－＝1.]