江苏高考数学复习数列推理与证明第37课合情推理与演绎推理教师用书

江苏高考数学复习数列推理与证明第37课合情推理与演绎推理教师用书本文简介：第37课合情推理与演绎推理[最新考纲]内容要求ABC合情推理与演绎推理√1．合情推理类型定义特点归纳推理根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理由部分到整体、由个别到一般类比推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征

江苏高考数学复习数列推理与证明第37课合情推理与演绎推理教师用书本文内容：

第37课

合情推理与演绎推理

[最新考纲]

内容

要求

A

B

C

合情推理与演绎推理

√

1．合情推理

类型

定义

特点

归纳

推理

根据一类事物的部分对象具有某种特征，推出这类事物的全部对象都具有这种特征的推理

由部分到整体、由个别到一般

类比

推理

由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理

由特殊到特殊

2.演绎推理

(1)定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

(2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

①大前提——已知的一般原理；

②小前提——所研究的特殊情况；

③结论——根据一般原理，对特殊情况做出的判断．

1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)归纳推理与类比推理都是由特殊到一般的推理．(

)

(2)在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适．(

)

(3)“所有3的倍数都是9的倍数，某数m是3的倍数，则m一定是9的倍数”，这是三段论推理，但其结论是错误的．(

)

(4)在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就一定正确．(

)

[答案]

(1)×

(2)×

(3)√

(4)×

2．由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是________．

①归纳推理；

②类比推理；

③演绎推理；

④以上都不是．

②

[类比推理的一般步骤是：(1)找出两类事物之间的相似性或一致性．(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)．所以，由“半径为R的圆内接矩形中，正方形的面积最大”，推理出“半径为R的球的内接长方体中，正方体的体积最大”是类比推理．]

3．(教材改编)已知数列{an}中，a1＝1，n≥2时，an＝an－1＋2n－1，依次计算a2，a3，a4后，猜想an的表达式是________．

an＝n2

[a1＝1，a2＝4，a3＝9，a4＝16，猜想an＝n2.]

4．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以函数y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误在于________．

①大前提错误导致结论错误；

②小前提错误导致结论错误；

③推理形式错误导致结论错误；

④大前提和小前提错误导致结论错误．

①

[“指数函数y＝ax是增函数”是本推理的大前提，它是错误的．因为实数a的取值范围没有确定，所以导致结论是错误的．]

5．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A，B，C三个城市时，

甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市；

乙说：我没去过C城市；

丙说：我们三人去过同一城市．

由此可判断乙去过的城市为________．

A

[由题意可推断：甲没去过B城市，但比乙去的城市多，而丙说“三人去过同一城市”，说明甲去过A，C城市，而乙“没去过C城市”，说明乙去过城市A，由此可知，乙去过的城市为A.]

归纳推理

(1)数列，，，，，，…，，，…，，…的第20项是________．

(2)(2016·山东高考)观察下列等式：

－2＋－2＝×1×2；

－2＋－2＋－2＋－2＝×2×3；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4；

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5；

…

照此规律，

－2＋－2＋－2＋…＋－2＝________.

(1)

(2)n(n＋1)

[(1)数列在数列中是第1＋2＋3＋…＋m＝项，当m＝5时，即是数列中第15项，则第20项是.

(2)通过观察已给出等式的特点，可知等式右边的是个固定数，后面第一个数是等式左边最后一个数括号内角度值分子中π的系数的一半，后面第二个数是第一个数的下一个自然数，所以，所求结果为×n×(n＋1)，即n(n＋1)．]

[规律方法]

1.常见的归纳推理分为数的归纳和形的归纳两类：

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等；

(2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳，合理利用特殊图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真伪性．

2．归纳推理的一般步骤：

(1)通过观察个别情况发现某些相同性质；

(2)从相同性质中推出一个明确表述的一般性命题．

[变式训练1]

(1)(2017·如皋市高三调研一)观察下列等式：

12＝1；

32＝2＋3＋4；

52＝3＋4＋5＋6＋7；

72＝4＋5＋6＋7＋8＋9＋10；

92＝5＋6＋7＋8＋9＋10＋11＋12＋13；

…

n2＝100＋101＋102＋…＋m，

则n＋m＝________.

【导学号：62172200】

(2)下面图形由小正方形组成，请观察图①至图④的规律，并依此规律，写出第n个图形中小正方形的个数是__________．

(1)497

(2)(n∈N＋)

[(1)观察所给等式，得：第2个等式右边为自然数2到4的和，左边为3平方；第3个等式右边为自然数3到7的和，左边为5平方；…故第n个等式右边为n起共2n－1个自然数的和，左边为2n－1的平方．∴第100个等式为：100＋101＋102＋…＋299＝n2＝1982；所以n＝198，m＝299，n＋m＝497.

(2)由题图知第n个图形的小正方形个数为1＋2＋3＋…＋n，所以总个数为(n∈N＋)．]

类比推理

(1)若数列{an}是等差数列，则数列{bn}也是等差数列，类比这一性质可知，若正项数列{cn}是等比数列，且{dn}也是等比数列，则dn的表达式应为________．

①dn＝；

②dn＝；

③dn＝；

④dn＝.

(2)(2017·贵州六校联考)在平面几何中，△ABC的∠C的平分线CE分AB所成线段的比为＝.把这个结论类比到空间：在三棱锥A-BCD中(如图37-1)，DEC平分二面角A-CD-B且与AB相交于E，则得到类比的结论是________________．

图37-1

(1)④

(2)＝

[(1)法一：从商类比开方，从和类比到积，则算术平均数可以类比几何平均数，故dn的表达式为dn＝.

法二：若{an}是等差数列，则a1＋a2＋…＋an＝na1＋d，∴bn＝a1＋d＝n＋a1－，即{bn}为等差数列；若{cn}是等比数列，则c1·c2·…·cn＝c·q1＋2＋…＋(n－1)＝c·q，∴dn＝＝c1·q，即{dn}为等比数列，故选④.

(2)由平面中线段的比转化为空间中面积的比可得＝.]

[规律方法]

1.进行类比推理，应从具体问题出发，通过观察、分析、联想进行对比，提出猜想，其中找到合适的类比对象是解题的关键．

2．类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比；等差数列与等比数列类比；运算类比(和与积、乘与乘方，差与除，除与开方)．数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间的类比等．

[变式训练2]

给出下面类比推理(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：

①“若a，b∈R，则a－b＝0?a＝b”类比推出“a，c∈C，则a－c＝0?a＝c”；

②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di?a＝c，b＝d”类比推出“a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d?a＝c，b＝d”；

③“a，b∈R，则a－b>0?a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0?a>b”；

④“若x∈R，则|x|0，n∈N＋)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N＋)，则可以得到bm＋n＝________.

[设数列{an}的公差为d，数列{bn}的公比为q.

因为an＝a1＋(n－1)d，bn＝b1qn－1，am＋n＝，

所以类比得bm＋n＝.]

2．(2016·全国卷Ⅱ)有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是2”，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是1”，丙说：“我的卡片上的数字之和不是5”，则甲的卡片上的数字是________．

1和3

[法一：由题意得丙的卡片上的数字不是2和3.

若丙的卡片上的数字是1和2，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和3，满足题意；

若丙的卡片上的数字是1和3，则由乙的说法知乙的卡片上的数字是2和3，则甲的卡片上的数字是1和2，不满足甲的说法．

故甲的卡片上的数字是1和3.

法二：因为甲与乙的卡片上相同的数字不是2，所以丙的卡片上必有数字2.又丙的卡片上的数字之和不是5，所以丙的卡片上的数字是1和2.因为乙与丙的卡片上相同的数字不是1，所以乙的卡片上的数字是2和3，所以甲的卡片上的数字是1和3.]

3．某同学在一次研究性学习中发现，以下五个式子的值都等于同一个常数：

①sin213°＋cos217°－sin

13°cos

17°；

②sin215°＋cos215°－sin

15°cos

15°；

③sin218°＋cos212°－sin

18°cos

12°；

④sin2(－18°)＋cos248°－sin(－18°)cos

48°；

⑤sin2(－25°)＋cos255°－sin(－25°)cos

55°.

(1)试从上述五个式子中选择一个，求出这个常数；

(2)根据(1)的计算结果，将该同学的发现推广为三角恒等式，并证明你的结论．

[解]

(1)选择②式，计算如下：

sin215°＋cos215°－sin

15°cos

15°＝1－sin

30°

＝1－＝.

(2)法一：三角恒等式为

sin2α＋cos2(30°－α)－sin

αcos(30°－α)＝.

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin

αcos(30°－α)

＝sin2α＋(cos

30°cos

α＋sin

30°sin

α)2－sin

α(cos

30°cos

α＋sin

30°sin

α)

＝sin2α＋cos2α＋sin

αcos

α＋sin2α－sin

αcos

α－sin2α

＝sin2α＋cos2α＝.

法二：三角恒等式为

sin2α＋cos2(30°－α)－sin

αcos(30°－α)＝.

证明如下：

sin2α＋cos2(30°－α)－sin

αcos(30°－α)

＝＋－sin

α(cos

30°

cos

α＋sin

30°sin

α)

＝－cos

2α＋＋(cos

60°cos

2α＋sin

60°sin

2α)－sin

αcos

α－sin2α

＝－cos

2α＋＋cos

2α＋sin

2α－sin

2α－(1－cos

2α)

＝1－cos

2α－＋cos

2α＝.

4．已知椭圆具有性质：若M，N是椭圆C上关于原点对称的两个点，点P是椭圆上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．试对双曲线－＝1写出具有类似特性的性质，并加以证明．

[解]

类似的性质为：若M，N是双曲线－＝1上关于原点对称的两个点，点P是双曲线上任意一点，当直线PM，PN的斜率都存在，并记为kPM，kPN时，那么kPM与kPN之积是与点P的位置无关的定值．

证明如下：设点M，P的坐标分别为(m，n)，(x，y)，

则N(－m，－n)．

因为点M(m，n)在已知双曲线上，

所以n2＝m2－b2.同理y2＝x2－b2.

则kPM·kPN＝·＝＝·＝(定值)．