版高考数学复习立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算试题理北师大版

2018版高考数学复习立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算试题理北师大版本文简介：第八章立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算试题理北师大版1．空间向量的有关概念名称概念表示零向量模为0的向量0单位向量长度(模)为1的向量相等向量方向相同且模相等的向量a＝b相反向量方向相反且模相等的向量a的相反向量为－a共线向量表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量a∥b共面向量

2018版高考数学复习立体几何与空间向量8.6空间向量及其运算试题理北师大版本文内容：

第八章

立体几何与空间向量

8.6

空间向量及其运算试题

理

北师大版

1．空间向量的有关概念

名称

概念

表示

零向量

模为0的向量

0

单位向量

长度(模)为1的向量

相等向量

方向相同且模相等的向量

a＝b

相反向量

方向相反且模相等的向量

a的相反向量为－a

共线向量

表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合的向量

a∥b

共面向量

平行于同一个平面的向量

2.空间向量中的有关定理

(1)共线向量定理

空间两个向量a与b(b≠0)共线的充要条件是存在实数λ，使得a＝λb.

(2)空间向量基本定理

如果向量e1,e2，e3是空间三个不共面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得a＝λe1＋λ2e2＋λ3e3.空间中不共面的三个向量e1，e2，e3叫作这个空间的一个基底．

3．空间向量的数量积及运算律

(1)数量积及相关概念

①两向量的夹角

已知两个非零向量a，b，在空间任取一点O，作＝a，＝b，则∠AOB叫作向量a，b的夹角，记作〈a，b〉，其范围是0≤〈a，b〉≤π，若〈a，b〉＝，则称a与b互相垂直，记作a⊥b.

②两向量的数量积

已知空间两个非零向量a，b，则|a||b|cos〈a，b〉叫作向量a，b的数量积，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos〈a，b〉．

(2)空间向量数量积的运算律

①λ(a·b)＝(λa)·b(λ∈R)；

②交换律：a·b＝b·a；

③分配律：a·(b＋c)＝a·b＋a·c.

4．空间向量的坐标表示及其应用

设a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3).

向量表示

坐标表示

数量积

a·b

a1b1＋a2b2＋a3b3

共线

a＝λb(b≠0，λ∈R)

a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3

垂直

a·b＝0(a≠0，b≠0)

a1b1＋a2b2＋a3b3＝0

模

|a|

夹角

〈a，b〉(a≠0，b≠0)

cos〈a，b〉＝

【知识拓展】

1．向量三点共线定理：在平面中A、B、C三点共线的充要条件是：＝x＋y(其中x＋y＝1)，O为平面内任意一点．

2．向量四点共面定理：在空间中P、A、B、C四点共面的充要条件是：＝x＋y＋z(其中x＋y＋z＝1)，O为空间中任意一点．

【思考辨析】

判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)空间中任意两非零向量a，b共面．(

√

)

(2)在向量的数量积运算中(a·b)·c＝a·(b·c)．(

×

)

(3)对于非零向量b，由a·b＝b·c，则a＝c.(

×

)

(4)两向量夹角的范围与两异面直线所成角的范围相同．(

×

)

(5)若A、B、C、D是空间任意四点，则有＋＋＋＝0.(

√

)

1．已知正四面体ABCD的棱长为a，点E，F分别是BC，AD的中点，则·的值为(

)

A．a2

B.a2

C.a2

D.a2

答案

C

解析

如图，设＝a，＝b，＝c，则|a|＝|b|＝|c|＝a，且a，b，c三向量两两夹角为60°.＝(a＋b)，＝c，

∴·＝(a＋b)·c＝(a·c＋b·c)＝(a2cos

60°＋a2cos

60°)＝a2.

2．(2016·大连模拟)向量a＝(－2，－3,1)，b＝(2,0,4)，c＝(－4，－6,2)，下列结论正确的是(

)

A．a∥b，a∥c

B．a∥b，a⊥c

C．a∥c，a⊥b

D．以上都不对

答案

C

解析

因为c＝(－4，－6,2)＝2(－2，－3,1)＝2a，

所以a∥c.

又a·b＝(－2)×2＋(－3)×0＋1×4＝0，

所以a⊥b.故选C.

3．与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是_________________．

答案

和

解析

因为与向量a共线的单位向量是±，又因为向量(－3，－4,5)的模为＝5，所以与向量(－3，－4,5)共线的单位向量是±(－3，－4，5)＝±(－3，－4,5)．

4.如图，在四面体O－ABC中，＝a，＝b，＝c，D为BC的中点，E为AD的中点，则＝________.(用a，b，c表示)

答案

a＋b＋c

解析

＝＋＝＋＋

＝a＋b＋c.

5．(教材改编)正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD中点，则EF的长为________．

答案

解析

||2＝2＝(＋＋)2

＝2＋2＋2＋2(·＋·＋·)

＝12＋22＋12＋2(1×2×cos

120°＋0＋2×1×cos

120°)

＝2，

∴||＝，∴EF的长为.

题型一

空间向量的线性运算

例1

(1)如图所示，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，O为AC的中点．

用，，表示，则＝________________.

答案

＋＋

解析

＝＝(＋)，

∴＝＋＝(＋)＋

＝＋＋.

(2)三棱锥O－ABC中，M，N分别是OA，BC的中点，G是△ABC的重心，用基向量，，表示，.

解

＝＋＝＋

＝＋(－)＝＋[(＋)－]

＝－＋＋.

＝＋＝－＋＋

＝＋＋.

思维升华

用已知向量表示某一向量的方法

用已知向量来表示未知向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键．要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义．首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量．在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立．

(2016·青岛模拟)如图所示，在空间几何体ABCD－A1B1C1D1中，各面为平行四边形，设＝a，＝b，＝c，M，N，P分别是AA1，BC，C1D1的中点，试用a，b，c表示以下各向量：

(1)；

(2)＋.

解

(1)因为P是C1D1的中点，

所以＝＋＋

＝a＋＋

＝a＋c＋＝a＋c＋b.

(2)因为M是AA1的中点，

所以＝＋＝＋

＝－a＋(a＋c＋b)

＝a＋b＋c.

又＝＋＝＋

＝＋＝c＋a，

所以＋＝(a＋b＋c)＋(a＋c)

＝a＋b＋c.

题型二

共线定理、共面定理的应用

例2

(2016·天津模拟)如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．

(1)求证：E，F，G，H四点共面；

(2)求证：BD∥平面EFGH；

(3)设M是EG和FH的交点，求证：对空间任一点O，有＝(＋＋＋)．

证明

(1)连接BG，

则＝＋

＝＋(＋)

＝＋＋

＝＋，

由共面向量定理的推论知E，F，G，H四点共面．

(2)因为＝－＝－

＝(－)＝，

所以EH∥BD.

又EH平面EFGH，BD平面EFGH，

所以BD∥平面EFGH.

(3)找一点O，并连接OM，OA，OB，OC，OD，OE，OG.

由(2)知＝，

同理＝，

所以＝，即EH綊FG，

所以四边形EFGH是平行四边形，

所以EG，FH交于一点M且被M平分．

故＝(＋)

＝＋

＝[(＋)]＋[(＋)]

＝(＋＋＋)．

思维升华

(1)证明空间三点P，A，B共线的方法

①＝λ(λ∈R)；

②对空间任一点O，＝＋t(t∈R)；

③对空间任一点O，＝x＋y(x＋y＝1)．

(2)证明空间四点P，M，A，B共面的方法

①＝x＋y；

②对空间任一点O，＝＋x＋y；

③对空间任一点O，＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)；

④∥(或∥或∥)．

已知A，B，C三点不共线，对平面ABC外的任一点O，若点M满足＝(＋＋)．

(1)判断，，三个向量是否共面；

(2)判断点M是否在平面ABC内．

解

(1)由题意知＋＋＝3，

∴－＝(－)＋(－)

即＝＋＝－－，

∴，，共面．

(2)由(1)知，，共面且基线过同一点M，

∴M，A，B，C四点共面．

从而点M在平面ABC内．

题型三

空间向量数量积的应用

例3

(2016·济南模拟)如图，已知平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD是边长为1的正方形，AA1＝2，∠A1AB＝∠A1AD＝120°.

(1)求线段AC1的长；

(2)求异面直线AC1与A1D所成角的余弦值；

(3)求证：AA1⊥BD.

(1)解

设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝1，|c|＝2，a·b＝0，c·a＝c·b＝2×1×cos

120°＝－1.

∵＝＋＝＋＋＝a＋b＋c，

∴||＝|a＋b＋c|

＝

＝

＝＝.

∴线段AC1的长为.

(2)解

设异面直线AC1与A1D所成的角为θ，

则cos

θ＝|cos〈，〉|＝.

∵＝a＋b＋c，＝b－c，

∴·＝(a＋b＋c)·(b－c)＝a·b－a·c＋b2－c2＝0＋1＋12－22＝－2，

||＝＝

＝＝.

∴cos

θ＝＝||＝.

故异面直线AC1与A1D所成角的余弦值为.

(3)证明

∵＝c，＝b－a，

∴·＝c·(b－a)＝c·b－c·a＝(－1)－(－1)＝0，∴⊥，∴AA1⊥BD.

思维升华

(1)利用向量的数量积可证明线段的垂直关系，也可以利用垂直关系，通过向量共线确定点在线段上的位置；

(2)利用夹角公式，可以求异面直线所成的角，也可以求二面角；

(3)可以通过|a|＝，将向量的长度问题转化为向量数量积的问题求解．

如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为60°.

(1)求的长；

(2)求与夹角的余弦值．

解

(1)记＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

∴a·b＝b·c＝c·a＝.

||2＝(a＋b＋c)2＝a2＋b2＋c2＋2(a·b＋b·c＋c·a)＝1＋1＋1＋2×(＋＋)＝6，

∴||＝，即AC1的长为.

(2)＝b＋c－a，＝a＋b，

∴||＝，||＝，

·＝(b＋c－a)·(a＋b)

＝b2－a2＋a·c＋b·c＝1，

∴cos〈，〉＝＝.

即与夹角的余弦值为.

18．坐标法在立体几何中的应用

典例

(12分)

如图，已知直三棱柱ABC－A1B1C1，在底面△ABC中，CA＝CB＝1，∠BCA＝90°，棱AA1＝2，M，N分别是A1B1，A1A的中点．

(1)求的模；

(2)求cos〈，〉的值；

(3)求证：A1B⊥C1M.

思想方法指导

利用向量解决立体几何问题时，首先要将几何问题转化成向量问题，通过建立坐标系利用向量的坐标进行求解．

规范解答

(1)解

如图，建立空间直角坐标系．

依题意得B(0,1,0)，N(1,0,1)，

所以||＝

＝.[2分]

(2)解

依题意得A1(1,0,2)，

B(0,1,0)，C(0,0,0)，B1(0，1,2)．

所以＝(1，－1,2)，＝(0,1,2)，

·＝3，||＝，||＝，

所以cos〈，〉＝＝.[6分]

(3)证明

依题意得C1(0,0,2)，M(，，2)，

＝(－1,1，－2)，＝(，，0)．[9分]

所以·＝－＋＋0＝0，

所以⊥，即A1B⊥C1M.[12分]

1．在下列命题中：

①若向量a，b共线，则向量a，b所在的直线平行；

②若向量a，b所在的直线为异面直线，则向量a，b一定不共面；

③若三个向量a，b，c两两共面，则向量a，b，c共面；

④已知空间的三个向量a，b，c，则对于空间的任意一个向量p总存在实数x，y，z使得p＝xa＋yb＋zc.

其中正确命题的个数是(

)

A．0

B．1

C．2

D．3

答案

A

解析

a与b共线，a，b所在的直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任意两向量a，b都共面，故②不正确；三个向量a，b，c中任意两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a，b，c不共面时，空间任意一向量p才能表示为p＝xa＋yb＋zc，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0，故选A.

2．(2016·郑州模拟)已知a＝(2,1，－3)，b＝(－1,2,3)，c＝(7,6，λ)，若a，b，c三向量共面，则λ等于(

)

A．9

B．－9

C．－3

D．3

答案

B

解析

由题意知c＝xa＋yb，

即(7,6，λ)＝x(2,1，－3)＋y(－1,2,3)，

∴解得λ＝－9.

3．已知a＝(－2,1,3)，b＝(－1,2,1)，若a⊥(a－λb)，则实数λ的值为(

)

A．－2

B．－

C.

D．2

答案

D

解析

由题意知a·(a－λb)＝0，即a2－λa·b＝0，

所以14－7λ＝0，解得λ＝2.

4.如图，在大小为45°的二面角A－EF－D中，四边形ABFE，CDEF都是边长为1的正方形，则B，D两点间的距离是(

)

A.

B.

C．1

D.

答案

D

解析

∵＝＋＋，

∴||2＝||2＋||2＋||2＋2·＋2·＋2·

＝1＋1＋1－＝3－，

故||＝.

5．已知a，b是异面直线，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，则异面直线a，b所成的角等于(

)

A．30°

B．45°

C．60°

D．90°

答案

C

解析

如图，设＝a，＝b，＝c，则＝a＋b＋c，

所以cos〈，〉＝＝，

所以异面直线a，b所成的角等于60°，

故选C.

6．(2016·深圳模拟)正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，点M在AC1上且＝，N为B1B的中点，则||为(

)

A.a

B.a

C.a

D.a

答案

A

解析

以D为原点建立如图所示的空间直角坐标系，

则A(a，0,0)，C1(0，a，a)，N(a，a，)．

设M(x，y，z)，∵点M在AC1上且＝，

∴(x－a，y，z)＝(－x，a－y，a－z)，

∴x＝a，y＝，z＝.

∴M(，，)，

∴||＝

＝a.

7．A，B，C，D是空间不共面四点，且·＝0，·＝0，·＝0，则△BCD的形状是________三角形．(填锐角、直角、钝角中的一个)

答案

锐角

解析

因为·＝(－)·(－)

＝·－·－·＋2

＝2>0，

所以∠CBD为锐角．

同理∠BCD，∠BDC均为锐角．

8．设O－ABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则x，y，z的值分别为______________．

答案

，，

解析

如图所示，取BC的中点E，连接AE.

＝＝(＋)

＝＋

＝＋(＋)

＝＋(－＋－)

＝(＋＋)，

∴x＝y＝z＝.

9．(2016·合肥模拟)已知a＝(x,4,1)，b＝(－2，y，－1)，c＝(3，－2，z)，a∥b，b⊥c，则c＝________.

答案

(3，－2,2)

解析

因为a∥b，所以＝＝，

解得x＝2，y＝－4，

此时a＝(2,4,1)，b＝(－2，－4，－1)，

又因为b⊥c，所以b·c＝0，

即－6＋8－z＝0，解得z＝2，于是c＝(3，－2,2)．

10．(2016·天津模拟)已知ABCD－A1B1C1D1为正方体，

①(＋＋)2＝32；

②·(－)＝0；

③向量与向量的夹角是60°；

④正方体ABCD－A1B1C1D1的体积为

|··|.

其中正确的序号是________．

答案

①②

解析

①中，(＋＋)2＝2＋2＋2＝32，故①正确；②中，－＝，因为AB1⊥A1C，故②正确；③中，两异面直线A1B与AD1所成的角为60°，但与的夹角为120°，故③不正确；④中，|··|＝0，故④也不正确．

11.如图，在平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，点M，P，Q分别为棱AB，CD，BC的中点，若平行六面体的各棱长均相等，则

①A1M∥D1P；

②A1M∥B1Q；

③A1M∥平面DCC1D1；

④A1M∥平面D1PQB1.

以上正确说法的个数为________．

答案

3

解析

＝＋＝＋，

＝＋＝＋，

∴∥，

∴A1M∥D1P，由线面平行的判定定理可知，

A1M∥平面DCC1D1，A1M∥平面D1PQB1.

①③④正确．

12.如图所示，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，计算：

(1)·；(2)·；

(3)EG的长；

(4)异面直线AG与CE所成角的余弦值．

解

(1)设＝a，＝b，＝c，

则|a|＝|b|＝|c|＝1，〈a，b〉＝〈b，c〉＝〈c，a〉＝60°，

＝＝c－a，＝－a，＝b－c.

·＝·(－a)

＝a2－a·c＝.

(2)·＝(c－a)·(b－c)

＝(b·c－a·b－c2＋a·c)＝－.

(3)＝＋＋＝a＋b－a＋c－b

＝－a＋b＋c，

||2＝a2＋b2＋c2－a·b＋b·c－c·a＝，则||＝.

(4)＝b＋c，＝＋＝－b＋a，

cos〈，〉＝＝－，

由于异面直线所成角的范围是，

所以异面直线AG与CE所成角的余弦值为.

13.(2016·沈阳模拟)如图，在直三棱柱ABC—A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分别为AB、BB′的中点．

(1)求证：CE⊥A′D；

(2)求异面直线CE与AC′所成角的余弦值．

(1)证明

设＝a，＝b，＝c，

根据题意得，|a|＝|b|＝|c|，

且a·b＝b·c＝c·a＝0，

∴＝b＋c，＝－c＋b－a.

∴·＝－c2＋b2＝0.

∴⊥，即CE⊥A′D.

(2)解

∵＝－a＋c，||＝|a|，||＝|a|.

·＝(－a＋c)·＝c2＝|a|2，

∴cos〈，〉＝＝.

即异面直线CE与AC′所成角的余弦值为.

14.如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N分别是A1D，B1D1的中点．

(1)试用a，b，c表示；

(2)求证：MN∥平面ABB1A1.

(1)解

∵＝－＝c－a，

∴＝＝(c－a)．

同理，＝(b＋c)，

∴＝－＝(b＋c)－(c－a)

＝(b＋a)＝a＋b.

(2)证明

∵＝＋＝a＋b，

∴＝，即MN∥AB1，

∵AB1平面ABB1A1，MN

平面ABB1A1，

∴MN∥平面ABB1A1.