版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测35理新人教A版
2018版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测35理新人教A版本文简介:课时跟踪检测(三十五)[高考基础题型得分练]1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*有an+Sn=n.(1)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列;(2)设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通项公式.(1)证明:由a1+S1=1及a1=S1,得a1=.又
2018版高考数学一轮复习第六章数列课时跟踪检测35理新人教A版本文内容:
课时跟踪检测(三十五)
[高考基础题型得分练]
1.已知数列{an}的前n项和为Sn,且对任意的n∈N*有an+Sn=n.
(1)设bn=an-1,求证:数列{bn}是等比数列;
(2)设c1=a1且cn=an-an-1(n≥2),求{cn}的通项公式.
(1)证明:由a1+S1=1及a1=S1,得a1=.
又由an+Sn=n及an+1+Sn+1=n+1,
得an+1-an+an+1=1,∴2an+1=an+1.
∴2(an+1-1)=an-1,即2bn+1=bn.
∴数列{bn}是首项b1=a1-1=-,公比为的等比数列.
(2)解:由(1)知,2an+1=an+1,∴2an=an-1+1(n≥2),
∴2an+1-2an=an-an-1(n≥2),
即2cn+1=cn(n≥2),
又c1=a1=,2a2=a1+1,∴a2=.
∴c2=-=,即c2=c1.
∴数列{cn}是首项为,公比为的等比数列.
∴cn=·n-1=.
2.已知数列{an}与{bn},若a1=3且对任意正整数n满足an+1-an=2,数列{bn}的前n项和Sn=n2+an.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)求数列的前n项和Tn.
解:(1)因为对任意正整数n满足an+1-an=2,
所以{an}是公差为2的等差数列.
又因为a1=3,所以an=2n+1.
当n=1时,b1=S1=4;
当n≥2时,bn=Sn-Sn-1=(n2+2n+1)-[(n-1)2+2(n-1)+1]=2n+1,对b1=4不成立.
所以数列{bn}的通项公式为bn=
(2)由(1)知,当n=1时,T1==.
当n≥2时,=
=,
所以Tn=+
=+=+.
当n=1时仍成立,
所以Tn=+.
3.[2017·山东青岛模拟]已知数列{an}是等差数列,Sn为{an}的前n项和,且a10=28,S8=92;数列{bn}对任意n∈N*,总有b1b2b3·…·bn-1bn=3n+1成立.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)记cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.
解:(1)设等差数列{an}的公差为d,
则a10=a1+9d=28,S8=8a1+×d=92,
解得a1=1,d=3,所以an=1+3(n-1)=3n-2.
因为b1b2b3·…·bn-1bn=3n+1,
所以b1b2b3·…·bn-1=3n-2(n≥2),
两式相除,得bn=(n≥2).
因为当n=1时,b1=4适合上式,
所以bn=(n∈N*).
(2)由(1)知,cn==,
则Tn=+++…+,①
Tn=+++…++,②
①-②,得Tn=2+-,
从而Tn=2+3×-
=-,即Tn=7-.
4.数列{an}满足a1=1,an+1=2an(n∈N*),Sn为其前n项和.数列{bn}为等差数列,且满足b1=a1,b4=S3.
(1)求数列{an},{bn}的通项公式;
(2)设cn=,数列{cn}的前n项和为Tn,求证:≤Tn0,
∴数列{Tn}是一个递增数列,∴Tn≥T1=.
综上知,≤Tn(m2-5m)对所有的n∈N*恒成立的整数m的取值集合.
(1)证明:依题意,当n=1时,a2=9a1+10=100,
故=10.
当n≥2时,an+1=9Sn+10,an=9Sn-1+10,
两式相减,得an+1-an=9an,即an+1=10an,=10,
故{an}为等比数列,且an=a1qn-1=10n(n∈N*),
∴lg
an=n.∴lg
an+1-lg
an=(n+1)-n=1,
即{lg
an}是等差数列.
(2)解:由(1)知,
Tn=3
=3
=3-.
(3)解:∵Tn=3-,
∴当n=1时,Tn取最小值.
依题意有>(m2-5m),解得-1 故所求整数m的取值集合为{0,1,2,3,4,5}.