高考理科数学选填压轴题专练32题含详细答案

2018高考理科数学选填压轴题专练32题含详细答案本文简介：学校年级姓名装装订线高三选填专练一．选择题（共26小题）1．设实数x，y满足，则z=+的取值范围是（）A．[4，]B．[，]C．[4，]D．[，]2．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，且，AC=2AB，PA=1，BC=3，则该三棱锥的外接球的体积等于（）A．B．C．D．3．三棱锥P﹣ABC中

2018高考理科数学选填压轴题专练32题含详细答案本文内容：

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装

订

线

高三选填专练

一．选择题（共26小题）

1．设实数x，y满足，则z=+的取值范围是（

）

A．[4，]B．[，]C．[4，]D．[，]

2．已知三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，且，AC=2AB，PA=1，BC=3，则该三棱锥的外接球的体积等于（

）

A．B．C．D．

3．三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC且PA=2，△ABC是边长为的等边三角形，则该三棱锥外接球的表面积为（

）

A．B．4πC．8πD．20π

4．已知函数f（x+1）是偶函数，且x＞1时，f′（x）＜0恒成立，又f（4）=0，则（x+3）f（x+4）＜0的解集为（

）

A．（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）B．（﹣6，﹣3）∪（0，4）C．（﹣∞，﹣6）∪（4，+∞）D．（﹣6，﹣3）∪（0，+∞）

5．当a＞0时，函数f（x）=（x2﹣2ax）ex的图象大致是（

）

A．B．CD．

6．抛物线y2=4x的焦点为F，M为抛物线上的动点，又已知点N（﹣1，0），则的取值范围是（

）

A．[1，2]B．[，]C．[，2]D．[1，]

7．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月（按30天计算）共织390尺布，记该女子一月中的第n天所织布的尺数为an，则a14+a15+a16+a17的值为（

）

A．55B．52C．39D．26

8．已知定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3+x2，若不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）对任意实数t恒成立，则实数m的取值范围是（

）

A．

B．

C．D．

9．将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）的图象，若对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，|x1﹣x2|min=，则φ的值是（

）

A．

B．C．D．

10．在平面直角坐标系xOy中，点P为椭圆C：+=1（a＞b＞0）的下顶点，M，N在椭圆上，若四边形OPMN为平行四边形，α为直线ON的倾斜角，若α∈（，]，则椭圆C的离心率的取值范围为（

）

A．（0，]B．（0，]C．[，]D．[，]

11．如图为中国传统智力玩具鲁班锁，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、前后完全对称，六根完全相同的正四棱柱分成三组，经90°榫卯起来．现有一鲁班锁的正四棱柱的底面正方形边长为1，欲将其放入球形容器内（容器壁的厚度忽略不计），若球形容器表面积的最小值为30π，则正四棱柱体的高为（

）

A．B．C．D．5

12．若函数f（x）=2sin（）（﹣2＜x＜10）的图象与x轴交于点A，过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点，则（+）?=（

）

A．﹣32B．﹣16C．16D．32

13．已知抛物线方程为y2=4x，直线l的方程为x﹣y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，P到l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（

）

A．B．﹣1C．2D．2+2

14．已知抛物线方程为y2=8x，直线l的方程为x﹣y+2=0，在抛物线上有一动点P到y轴距离为d1，P到l的距离为d2，则d1+d2的最小值为（

）

A．2﹣2B．2C．2﹣2D．2+2

15．如图，扇形AOB中，OA=1，∠AOB=90°，M是OB中点，P是弧AB上的动点，N是线段OA上的动点，则的最小值为（

）

A．0B．1C．D．1﹣

16．若函数f（x）=log0.2（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上递减，且b=lg0.2，c=20.2，则（

）

A．c＜b＜aB．b＜c＜aC．a＜b＜cD．b＜a＜c

17．双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左右焦点分别为F1，F2渐近线分别为l1，l2，位于第一象限的点P在l1上，若l2⊥PF1，l2∥PF2，则双曲线的离心率是（

）

A．B．C．2D．

18．已知定义在R上的可导函数y=f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜f（x），且y=f（x+1）为偶函数，f（2）=1，则不等式f（x）＜ex的解集为（

）

A．（﹣∞，e4）B．（e4，+∞）C．（﹣∞，0）D．（0，+∞）

19．已知定义在R上的可导函数f（x）的导函数为f′（x），满足f′（x）＜x，且f（2）=1，则不等式f（x）＜x2﹣1的解集为（

）

A．（﹣2，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（2，+∞）

20．对任意实数a，b，定义运算“⊕”：，设f（x）=（x2﹣1）⊕（4+x），若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，则实数k的取值范围是（

）

A．（﹣1，2]B．[0，1]C．[﹣1，3）D．[﹣1，1）

21．定义在R上的函数f（x）满足：f（x）+f′（x）＞1，f（0）=4，则不等式exf（x）＞ex+3（其中e为自然对数的底数）的解集为（

）

A．（0，+∞）B．（﹣∞，0）∪（3，+∞）

C．（﹣∞，0）∪（0，+∞）D．（3，+∞）

22．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：①f（x）=3x+2；②f（x）=x2；③f（x）=ln（x+1）；④中，在区间[0，1]上“中值点”多于1个的函数是（

）

A．①④B．①③C．②④D．②③

23．已知函数f（x）（x∈R）满足f（1）=1，且f（x）的导数f′（x）＞，则不等式f（x2）＜的解集为（

）

A．（﹣∞，﹣1）B．（1，+∞）C．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）D．（﹣1，1）

24．已知函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，若f（x）＞1对?x∈（﹣，）恒成立，则φ的取值范围是（

）

A．B．C．D．

25．在R上定义运算⊕：x?y=x（1﹣y）若对任意x＞2，不等式（x﹣a）?x≤a+2都成立，则实数a的取值范围是（

）

A．[﹣1，7]B．（﹣∞，3]C．（﹣∞，7]D．（﹣∞，﹣1]∪[7，+∞）

26．设f（x）是定义在R上的偶函数，对任意的x∈R，都有f（x+4）=f（x），且当x∈[﹣2，0]时，，若在区间（﹣2，6]内关于x的方程f（x）﹣loga（x+2）=0（0＜a＜1）恰有三个不同的实数根，则a的取值范围是（

）

A．B．C．D．

27．已知函数f（x）=xex﹣ae2x（a∈R）恰有两个极值点x1，x2（x1＜x2），则实数a的取值范围为

．

28．函数y=f（x）图象上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2）处的切线的斜率分别是kA，kB，规定φ（A，B）=叫曲线y=f（x）在点A与点B之间的“弯曲度”，给出以下命题：

（1）函数y=x3﹣x2+1图象上两点A、B的横坐标分别为1，2，则φ（A，B）＞；

（2）存在这样的函数，图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数；

（3）设点A、B是抛物线，y=x2+1上不同的两点，则φ（A，B）≤2；

（4）设曲线y=ex上不同两点A（x1，y1），B（x2，y2），且x1﹣x2=1，若t?φ（A，B）＜1恒成立，则实数t的取值范围是（﹣∞，1）；

以上正确命题的序号为

（写出所有正确的）

29．已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且．若不等式对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为

．

30．已知点A（0，1），直线l：y=kx﹣m与圆O：x2+y2=1交于B，C两点，△ABC和△OBC的面积分别为S1，S2，若∠BAC=60°，且S1=2S2，则实数k的值为

．

31．定义在区间[a，b]上的连续函数y=f（x），如果?ξ∈[a，b]，使得f（b）﹣f（a）=f′（ξ）（b﹣a），则称ξ为区间[a，b]上的“中值点”．下列函数：

①f（x）=3x+2；

②f（x）=x2﹣x+1；

③f（x）=ln（x+1）；

④f（x）=（x﹣）3，

在区间[0，1]上“中值点”多于一个的函数序号为

．（写出所有满足条件的函数的序号）

32．已知函数f（x）=x3﹣3x，x∈[﹣2，2]和函数g（x）=ax﹣1，x∈[﹣2，2]，若对于?x1∈[﹣2，2]，总?x0∈[﹣2，2]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围

．

1．解：由已知得到可行域如图：由图象得到的范围为[kOB，kOC]，即[，2]，

所以z=+的最小值为4；（当且仅当y=2x=2时取得）；

当=，z

最大值为；

所以z=+的取值范围是[4，]；

故选：C．

2．解：∵三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，且，AC=2AB，PA=1，BC=3，

设AC=2AB=2x，

∴由余弦定理得32=x2+4x2﹣2×，解得AC=2，AB=，

∴AB2+BC2=AC2，∴AB⊥BC，

构造长方体ABCD﹣PEFG，

则三棱锥P﹣ABC的外接球就是长方体ABCD﹣PEFG的外接球，

∴该三棱锥的外接球的半径R===，

∴该三棱锥的外接球的体积：

V==．

故选：A．

3．解：根据已知中底面△ABC是边长为的正三角形，PA⊥底面ABC，

可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以PA为高的正三棱柱的外接球

∵△ABC是边长为的正三角形，

∴△ABC的外接圆半径r==1，

球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=1，

故球的半径R==，

故三棱锥P﹣ABC外接球的表面积S=4πR2=8π，

故选：C．

4．解：∵函数f（x+1）是偶函数，∴其图象关于y轴对称，

∵f（x）的图象是由f（x+1）的图象向右平移1个单位得到的，

∴f（x）的图象关于x=1对称，

又∵x＞1时，f′（x）＜0恒成立，所以f（x）在（1，+∞）上递减，在（﹣∞，1）上递增，

又f（4）=0，∴f（﹣2）=0，

∴当x∈（﹣∞，﹣2）∪（4，+∞）时，f（x）＜0；当x∈（﹣2，1）∪（1，4）时，f（x）＞0；

∴对于（x﹣1）f（x）＜0，当x∈（﹣2，1）∪（4，+∞）时成立，

∵（x+3）f（x+4）＜0可化为（x+4﹣1）f（x+4）＜0，

∴由﹣2＜x+4＜1或x+4＞4得所求的解为﹣6＜x＜﹣3或x＞0．

故选D

5．解：解：由f（x）=0，解得x2﹣2ax=0，即x=0或x=2a，

∵a＞0，∴函数f（x）有两个零点，∴A，C不正确．

设a=1，则f（x）=（x2﹣2x）ex，

∴f

（x）=（x2﹣2）ex，

由f

（x）=（x2﹣2）ex＞0，解得x＞或x＜﹣．

由f

（x）=（x2﹣2）ex＜0，解得，﹣＜x＜

即x=﹣是函数的一个极大值点，

∴D不成立，排除D．

故选B．

6．解：设过点N的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，

∴由△=（2k2﹣4）2﹣4k4=0，可得k=±1，此时直线的倾斜角为45°．

过M作准线的垂线，垂足为A，则|MF|=|MA|，

∴=

∴直线的倾斜角为45°或135°时，取得最大值，倾斜角为0°时，取得最小值1，

∴的取值范围是[1，]．

故选：D．

7．解：设从第2天开始，每天比前一天多织d尺布，

则=390，

解得d=，

∴a14+a15+a16+a17=a1+13d+a1+14d+a1+15d+a1+16d

=4a1+58d

=4×5+58×

=52．

故选：B．

8．解：∵定义在R上的奇函数f（x）满足：当x≥0时，f（x）=x3+x2，

∴f（0）=0，且f′（x）=3x2+2x≥0，即函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，

∵f（x）是奇函数，∴函数f（x）在（﹣∞，0]上也是增函数，

即函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为增函数，

则不等式f（﹣4t）＞f（2m+mt2）等价为﹣4t＞2m+mt2对任意实数t恒成立

即mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，

若m=0，则不等式等价为4t＜0，即t＜0，不满足条件．，

若m≠0，则要使mt2+4t+2m＜0对任意实数t恒成立，

则，

解得m＜﹣，

故选：A

9．解：将函数的图象向左平移个单位得到y=g（x）=sin[2（x+φ）+]=sin（2x+2φ+）的图象，

对满足|f（x1）﹣g（x2）|=2的x1、x2，|x1﹣x2|min=，

即两个函数的最大值与最小值的差为2时，|x1﹣x2|min=．

不妨设

x1=，此时

x2

=±．

若

x1=，x2

=+=，则g（x2）=﹣1，sin2φ=1，φ=．

若

x1=，x2

=﹣=﹣，则g（x2）=﹣1，sin2φ=﹣1，φ=，不合题意，

故选：B．

10．解：∵OP在y轴上，且平行四边形中，MN∥OP，

∴M、N两点的横坐标相等，

纵坐标互为相反数，即M，N两点关于x轴对称，MN=OP=a，

可设M（x，﹣），N（x，），?

代入椭圆方程得：|x|=b，得N（b，），

α为直线ON的倾斜角，tanα==，cotα=，

α∈（，]，∴1≤cotα=≤，

，∴，

∴0＜e=≤．

∴椭圆C的离心率的取值范围为（0，]．故选：A．

11．解：∵球形容器表面积的最小值为30π，

∴球形容器的半径的最小值为r==，

∴正四棱柱体的对角线长为，

设正四棱柱体的高为h，

∴12+12+h2=30，

解得h=2．

故选：B．

12．解：由f（x）=2sin（）=0可得

∴x=6k﹣2，k∈Z

∵﹣2＜x＜10

∴x=4即A（4，0）

设B（x1，y1），C（x2，y2）

∵过点A的直线l与函数的图象交于B、C两点

∴B，C

两点关于A对称即x1+x2=8，y1+y2=0

则（+）?=（x1+x2，y1+y2）?（4，0）=4（x1+x2）=32

故选D

13．解：如图，过点P作PA⊥l于点A，作PB⊥y轴于点B，PB的延长线交准线x=﹣1于点C，

连接PF，根据抛物线的定义得PA+PC=PA+PF，

∵P到y轴的距离为d1，P到直线l的距离为d2，

∴d1+d2=PA+PB=（PA+PC）﹣1=（PA+PF）﹣1，

根据平面几何知识，可得当P、A、F三点共线时，PA+PF有最小值，

∵F（1，0）到直线l：x﹣y+2=0的距离为=

∴PA+PF的最小值是，

由此可得d1+d2的最小值为﹣1

故选：B．

14．解：点P到准线的距离等于点P到焦点F的距离，

过焦点F作直线x﹣y+2=0的垂线，此时d1+d2最小，

∵F（2，0），则d1+d2=﹣2=2﹣2，

故选：C．

15．解；分别以OA，OB为x轴，y轴建立平面直角坐标系，设P（cosα，sinα），N（t，0），则0≤t≤1，0≤α≤，M（0，），

∴=（﹣cosα，﹣sinα），=（t﹣cosα，﹣sinα）．

∴=﹣（t﹣cosα）cosα﹣sinα（﹣sinα）=cos2α+sin2α﹣tcosα﹣sinα=1﹣sin（α+φ）．

其中tanφ=2t，∵0≤α≤，0≤t≤1，

∴当α+φ=，t=1时，取得最小值1﹣=1﹣．

故选：D．

16．解：由5+4x﹣x2＞0，得﹣1＜x＜5，

又函数t=5+4x﹣x2的对称轴方程为x=2，

∴复合函数f（x）=log0.2（5+4x﹣x2）的减区间为（﹣1，2），

∵函数f（x）=log0.2（5+4x﹣x2）在区间（a﹣1，a+1）上递减，

∴，则0≤a≤1．

而b=lg0.2＜0，c=20.2＞1，

∴b＜a＜c．

故选：D．

17．解：∵双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，

渐近线分别为l1，l2，点P在第一

象限内且在l1上，

∴F1（﹣c，0）F2（c，0）P（x，y），

渐近线l1的直线方程为y=x，渐近线l2的直线方程为y=﹣x，

∵l2∥PF2，∴，即ay=bc﹣bx，

∵点P在l1上即ay=bx，

∴bx=bc﹣bx即x=，∴P（，），

∵l2⊥PF1，

∴，即3a2=b2，

∵a2+b2=c2，

∴4a2=c2，即c=2a，

∴离心率e==2．

故选C．

18．解：∵y=f（x+1）为偶函数，

∴y=f（x+1）的图象关于x=0对称，

∴y=f（x）的图象关于x=1对称，

∴f（2）=f（0），

又∵f（2）=1，

∴f（0）=1；

设（x∈R），

则，

又∵f′（x）＜f（x），

∴f′（x）﹣f（x）＜0，

∴g′（x）＜0，

∴y=g（x）单调递减，

∵f（x）＜ex，

∴，

即g（x）＜1，

又∵，

∴g（x）＜g（0），

∴x＞0，

故答案为：（0，+∞）．

19．解：设g（x）=f（x）﹣（x2﹣1），

则函数的导数g′（x）=f′（x）﹣x，

∵f′（x）＜x，

∴g′（x）=f′（x）﹣x＜0，

即函数g（x）为减函数，

且g（2）=f（2）﹣（×4﹣1）=1﹣1=0，

即不等式f（x）＜x2﹣1等价为g（x）＜0，

即等价为g（x）＜g（2），

解得x＞2，

故不等式的解集为{x|x＞2}．

故选：D．

20．解：由x2﹣1﹣（4+x）=x2﹣x﹣5≥1得x2﹣x﹣6≥0，得x≥3或x≤﹣2，此时f（x）=4+x，

由x2﹣1﹣（4+x）=x2﹣x﹣5＜1得x2﹣x﹣6＜0，得﹣2＜x＜3，此时f（x）=x2﹣1，

即f（x）=，

若函数y=f（x）﹣k有三个不同零点，

即y=f（x）﹣k=0，即k=f（x）有三个不同的根，

作出函数f（x）与y=k的图象如图：

当k=2时，两个函数有三个交点，

当k=﹣1时，两个函数有两个交点，

故若函数f（x）与y=k有三个不同的交点，

则﹣1＜k≤2，

即实数k的取值范围是（﹣1，2]，

故选：A

21．解：设g（x）=exf（x）﹣ex，（x∈R），

则g′（x）=exf（x）+exf′（x）﹣ex=ex[f（x）+f′（x）﹣1]，

∵f（x）+f′（x）＞1，

∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，

∴g′（x）＞0，

∴y=g（x）在定义域上单调递增，

∵exf（x）＞ex+3，

∴g（x）＞3，

又∵g（0）═e0f（0）﹣e0=4﹣1=3，

∴g（x）＞g（0），

∴x＞0

故选：A．

22．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[a，b]上存在点，

使得函数在该点的切线的斜率等于区间[a，b]的两个端点连线的斜率值．

对于①，根据题意，在区间[a，b]上的任一点都是“中值点”，f′（x）=3，

满足f（b）﹣f（a）=f′（x）（b﹣a），∴①正确；

对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴②不正确；

对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[a，b]只存在一个“中值点”，∴③不正确；

对于④，∵f′（x）=3（x﹣）2，且f（1）﹣f（0）=，1﹣0=1；

∴3（x﹣）2×1=，解得x=±∈[0，1]，

∴存在两个“中值点”，④正确．故选：A

23．解：根据题意，设g（x）=f（x）﹣，其导数g′（x）=f′（x）﹣＞0，

则函数g（x）在R上为增函数，

又由f（1）=1，则g（1）=f（1）﹣=，

不等式f（x2）＜?f（x2）﹣＜?g（x2）＜g（1），

又由g（x）在R上为增函数，则x2＜1，

解可得：﹣1＜x＜1，

即不等式的解集为（﹣1，1）；

故选：D．

24．解：函数f（x）=2sin（ωx+φ）+1（ω＞0，|φ|≤），其图象与直线y=﹣1相邻两个交点的距离为π，

故函数的周期为=π，∴ω=2，f（x）=2sin（2x+φ）+1．

若f（x）＞1对?x∈（﹣，）恒成立，即当x∈（﹣，）时，sin（2x+φ）＞0恒成立，

故有2kπ＜2?（﹣）+φ＜2?+φ＜2kπ+π，求得2kπ+φ＜2kπ+，k∈Z，

结合所给的选项，

故选：D．

25．解：∵x?y=x（1﹣y），

∴（x﹣a）?x≤a+2转化为（x﹣a）（1﹣x）≤a+2，

∴﹣x2+x+ax﹣a≤a+2，

a（x﹣2）≤x2﹣x+2，

∵任意x＞2，不等式（x﹣a）?x≤a+2都成立，

∴a≤．

令f（x）=，x＞2，

则a≤[f（x）]min，x＞2

而f（x）==

=（x﹣2）++3

≥2+3=7，

当且仅当x=4时，取最小值．

∴a≤7．

故选：C．

26．解：由f（x+4）=f（x），即函数f（x）的周期为4，

∵当x∈[﹣2，0]时，=2﹣2﹣x，

∴若x∈[0，2]，则﹣x∈[﹣2，0]，

∵f（x）是偶函数，

∴f（﹣x）=2﹣2x=f（x），

即f（x）=2﹣2x，x∈[0，2]，

由f（x）﹣loga（x+2）=0得f（x）=loga（x+2），

作出函数f（x）的图象如图：

当a＞1时，要使方程f（x）﹣loga（x+2）=0恰有3个不同的实数根，

则等价为函数f（x）与g（x）=loga（x+2）有3个不同的交点，

则满足，即，

解得：＜a＜

故a的取值范围是（，），

故选：C．

二．填空题（共6小题）

27．解：函数f（x）=xex﹣ae2x

可得f′（x）=ex（x+1﹣2aex），要使f（x）恰有2个极值点，

则方程x+1﹣2aex=0有2个不相等的实数根，

令g（x）=x+1﹣2aex，g′（x）=1﹣2aex；

（i）a≤0时，g′（x）＞0，g（x）在R递增，不合题意，舍，

（ii）a＞0时，令g′（x）=0，解得：x=ln，

当x＜ln时，g′（x）＞0，g（x）在（﹣∞，ln）递增，且x→﹣∞时，g（x）＜0，

x＞ln时，g′（x）＜0，g（x）在（ln，+∞）递减，且x→+∞时，g（x）＜0，

∴g（x）max=g（ln）=ln+1﹣2a?=ln＞0，

∴＞1，即0＜a＜；

故答案为：（0，）．

28．解：对于（1），由y=x3﹣x2+1，得y′=3x2﹣2x，

则，，

y1=1，y2=5，则，

φ（A，B）=，（1）错误；

对于（2），常数函数y=1满足图象上任意两点之间的“弯曲度”为常数，（2）正确；

对于（3），设A（x1，y1），B（x2，y2），y′=2x，

则kA﹣kB=2x1﹣2x2，=

=．

∴φ（A，B）==，（3）正确；

对于（4），由y=ex，得y′=ex，φ（A，B）==．

t?φ（A，B）＜1恒成立，即恒成立，t=1时该式成立，∴（4）错误．

故答案为：（2）（3）．

29．解：∵数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且．

∴，

∴，由a1＞0，解得a1=1，

=3a2，由a2＞0，解得a2=3，

∴公差d=a2﹣a1=2，

an=1+（n﹣1）×2=2n﹣1．

∵不等式对任意n∈N*恒成立，

∴对任意n∈N*恒成立，

∴==≥2+17=25．

当且仅当2n=，即n=2时，取等号，

∴实数λ的最大值为25．

故答案为：25．

30．解：设圆心O、点A到直线的距离分别为d，d′，则d=，d′=，

根据∠BAC=60°，可得BC对的圆心角∠BOC=120°，且BC=．

∴S△OBC=?OB?OC?sin∠BOC=×1×1×sin120°=，

∴S1=②．

∴=，=

∴k=±，m=1

故答案为：±．

31．解：根据题意，“中值点”的几何意义是在区间[0，1]上存在点，使得函数在该点的切线的斜率等于区间[0，1]的两个端点连线的斜率值．如图．

对于①，根据题意，在区间[0，1]上的任何一点都是“中值点”，故①正确；

对于②，根据“中值点”函数的定义，抛物线在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故②不正确；

对于③，f（x）=ln（x+1）在区间[0，1]只存在一个“中值点”，故③不正确；

对于④，根据对称性，函数在区间[0，1]存在两个“中值点”，故④正确．

故答案为：①④．

32．解：∵f（x）=x3﹣3x，

∴f′（x）=3（x﹣1）（x+1），

当x∈[﹣2，﹣1]，f′（x）≥0，x∈（﹣1，1），f′（x）＜0；x∈（1，2]，f′（x）＞0．

∴f（x）在[﹣2，﹣1]上是增函数，（﹣1，1）上递减，（1，2）递增；

且f（﹣2）=﹣2，f（﹣1）=2，f（1）=﹣2，f（2）=2．

∴f（x）的值域A=[﹣2，2]；

又∵g（x）=ax﹣1（a＞0）在[﹣2，2]上是增函数，

∴g（x）的值域B=[﹣2a﹣1，2a﹣1]；

根据题意，有A?B

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