北京高考数学(理科)试卷
2013年北京高考数学(理科)试卷本文简介:2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)数学(理)本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。第一部分(选择题共40分)一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
2013年北京高考数学(理科)试卷本文内容:
2013年普通高等学校招生全国统一考试(北京卷)
数学(理)
本试卷共5页,150分.考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上答无效。考试结束后,将本卷和答题卡一并交回。
第一部分
(选择题
共40分)
一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
(1)已知集合,,则(
)
A.B.C.D.
(2)在复平面内,复数对应的点位于(
)
A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限
(3)“”是“曲线过坐标原点”的(
)
A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件
C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件
(4)执行如图所示的程序框图,输出的S值为(
)
A.1B.C.D.
(5)函数的图象向右平移1个单位长度,所得图象与曲线对称,则
A.B.C.D.
(6)若双曲线的离心率为,则其渐近线方程为(
)
A.B.C.D.
(7)直线l过抛物线的焦点且与y轴垂直,则l与C所围成的图形的面积等于(
)
A.B.2C.D.
(8)设关于x、y的不等式组表示的平面区域内存在点,满足,求得m的取值范围是(
)
A.B.C.D.
二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
(9)在极坐标系中,点到直线的距离等于___________.
(10)若等比数列满足,,则公比___________,前n项和___________.
(11)如图,AB为圆O的直径,PA为圆O的切线,PB与圆O相交于D,若,,则___________,___________.
(12)将序号分别为1,2,3,4,5,的5张参观券全部分给4人,每人至少1张,如果分给同一人的2张参观券连号,那么不同的分法种数是___________.
三、解答题
15、在△ABC中,,,.
(1)求的值;
(2)求c的值.
16、下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图,空气质量指数小于100表示空气质量优良,空气质量指数大于200表示空气重度污染.某人随机选择3月1日至3月13日中的某一天到达该市,并停留2天.
(1)求此人到达当日空气重度污染的概率;
(2)设X是此人停留期间空气质量优良的天数,求X的分步列与数学期望;
(3)由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大?(结论不要求证明).
17、如图,在三棱柱中,是边长为4的正方形.平面⊥平面,,.
(1)求证:⊥平面;
(2)求证二面角的余弦值;
(3)证明:在线段上存在点,使得,并求的值.
18、(本小题共13分)
设l为曲线在点处的切线.
(1)求l的方程;
(2)证明:除切点之外,曲线C在直线l的下方.
19、(本小题共14分)
已知A,B,C是椭圆上的三个点,O是坐标原点.
(1)当点B是W的右顶点,且四边形OABC为菱形时,求此菱形的面积;
(2)当点B不是W的顶点时,判断四边形OABC是否可能为菱形,并说明理由.
20、已知是由非负整数组成的无穷数列,设数列前n项的最大值为,第n项之后各项,,…的最小值记为,.
(1)若为2,1,4,3,2,1,4,3,…是一个周期为4的数列,写出、、、的值;
(2)设d是非负整数,证明:的充分必要条件是是公差为d的等差数列;
(3)证明:若,,则的项只能是1或者2,且有无穷多项为1.
参考答案
1
2
3
4
5
6
7
8
B
D
A
C
D
B
C
C
一、选择题
二、填空题
9
.
1
10.
2,
11.,4
12.
96
13.
4
14.
三、解答题
15、解析:(1)由条件可以看出,已知两角关系,求角,明显应用正弦定理解决问题.
即.
(2)由已知两边和角求第三边,所以我们应用余弦定理求解.
,
即,所以或(舍)
16、解析:(1);
(2)
X
0
1
2
P
(3)5,6,7三天
17、解析:(1).
由
(2)建立如图所示的空间直角坐标系
,,,.
,,,.
设平面的法向量为,平面的法向量为,
所以,
,
(3)设点D的竖坐标为,在平面中作于E,根据比例关系可知,,
所以,.
又∵,∴,∴,∴.
18、解:(1),于是,因此l的方程为;
(2)只需要证明,且时,.
设,,则
,
因此在上单调递减,在上单调递增.
进而,即原命题得证.
19、解析:(1)线段OB的垂直平分线为,因此,进而菱形面积为
.
(2)四边形OABC不可能是菱形.只需要证明若,则A点与C点的横坐标相等或互为相反数.
设,则A、C为圆与椭圆的交点.
因此,于是结论得证
20、解:(1),,,.
(2)充分性:
若是公差为d的等差数列,则.
于是,.
因此.
必要性:
若,假设是第一个使得的项,则
,与矛盾.
因此是不减的数列.
进而,即,因此是公差为d的等差数列.
(3)1°:首先中的项不能是0,否则,矛盾.
2°:中的项不能超过2,用反证法证明如下:
若中有超过2的项,设是第一个大于2的项.
中一定存在项为1,否则与矛盾;
当时,,否则与矛盾;
因此存在最大的i在2到之间,使得,此时,矛盾.
综上,中没有超过2的项.
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