江苏高考数学复习平面解析几何第50课抛物线课时分层训练

江苏高考数学复习平面解析几何第50课抛物线课时分层训练本文简介：第九章平面解析几何第50课抛物线课时分层训练A组基础达标(建议用时：30分钟)1．(2016·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是________．(1,0)[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]2．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则线段

江苏高考数学复习平面解析几何第50课抛物线课时分层训练本文内容：

第九章

平面解析几何

第50课

抛物线课时分层训练

A组

基础达标

(建议用时：30分钟)

1．(2016·四川高考改编)抛物线y2＝4x的焦点坐标是________．

(1,0)

[由y2＝4x知p＝2，故抛物线的焦点坐标为(1,0)．]

2．已知点F是抛物线C：y2＝4x的焦点，点A在抛物线C上，若AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为________．

3

[由题意易知F(1,0)，F到准线的距离为2，A到准线的距离为AF＝4，则线段AF的中点到抛物线C的准线的距离为＝3.]

3．(2017·南京模拟)抛物线y2＝4x的焦点到双曲线x2－＝1的渐近线的距离是________.

【导学号：62172276】

[由双曲线x2－＝1知其渐近线方程为y＝±x，即x±y＝0，

又y2＝4x的焦点F(1,0)，

∴焦点F到直线的距离d＝＝.]

4．已知抛物线C与双曲线x2－y2＝1有相同的焦点，且顶点在原点，则抛物线C的方程是________．

y2＝±4x

[因为双曲线的焦点为(－，0)，(，0)．

设抛物线方程为y2＝±2px(p>0)，则＝，p＝2.

所以抛物线方程为y2＝±4x.]

5．过抛物线y2＝4x的焦点F作倾斜角为45°的直线交抛物线于A，B两点，则弦长AB为__________．

8

[设A(x1，y1)，B(x2，y2)．易得抛物线的焦点是F(1,0)，所以直线AB的方程是y＝x－1.

联立消去y得x2－6x＋1＝0.

所以x1＋x2＝6，所以AB＝x1＋x2＋p＝6＋2＝8.]

6．已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px的准线上，记C的焦点为F，则直线AF的斜率为__________．

－

[∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上．

∴－＝－2，∴p＝4，焦点F(2,0)．

∴kAF＝＝－.]

7．若抛物线y2＝2px的焦点与椭圆＋＝1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为__________．

x＝－2

[由椭圆＋＝1，知a＝3，b＝，

所以c2＝a2－b2＝4，所以c＝2.

因此椭圆的右焦点为(2,0)，

又抛物线y2＝2px的焦点为.

依题意，得＝2，

于是抛物线的准线x＝－2.]

8．设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为__________.

【导学号：62172277】

[如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1，由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P到F的距离．于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小．

连结AF交抛物线于点P，此时最小值为

AF＝＝.]

9．如图50-2，正方形ABCD和正方形DEFG的边长分别为a，b(a0)经过C，F两点，则＝__________.

图50-2

＋1

[由题意可得C，F，

则＝＋1(舍去－1)．]

10．(2017·徐州模拟)抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线与双曲线y2－x2＝1相交于A，B两点，若△ABF为等边三角形，则p＝__________.

2

[y2＝2px的准线为x＝－.

由于△ABF为等边三角形．

因此不妨设A，B.

又点A，B在双曲线y2－x2＝1，

从而－＝1，所以p＝2.]

11．已知抛物线y2＝2px(p>0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于________．

－4

[①若焦点弦AB⊥x轴，

则x1＝x2＝，所以x1x2＝；

∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，

∴＝－4.

②若焦点弦AB不垂直于x轴，

可设AB的直线方程为y＝k，

联立y2＝2px得k2x2－(k2p＋2p)x＋＝0，则x1x2＝.y1y2＝－p2，∴＝－4.]

12．设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，MF＝5.若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为________.

【导学号：62172278】

y2＝4x或y2＝16x

[由已知得抛物线的焦点F，设点A(0,2)，点M(x0，y0)．

则＝，＝.

由已知得，·＝0，即y－8y0＋16＝0，

因而y0＝4，M.

由MF＝5，得＝5，

又p>0，解得p＝2或p＝8.

故C的方程为y2＝4x或y2＝16x.]

B组

能力提升

(建议用时：15分钟)

1．设F为抛物线C：y2＝3x的焦点，过F且倾斜角为30°的直线交C于A，B两点，则AB＝________.

12

[∵F为抛物线C：y2＝3x的焦点，

∴F，

∴AB的方程为y－0＝tan

30°，即y＝x－.

联立得x2－x＋＝0，

∴x1＋x2＝－＝，即xA＋xB＝.

由于AB＝xA＋xB＋p，

∴AB＝＋＝12.]

2．(2016·全国卷Ⅰ改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知AB＝4，DE＝2，则C的焦点到准线的距离为________．

4

[设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，圆的方程为x2＋y2＝r2.

∵AB＝4，DE＝2，

抛物线的准线方程为x＝－，

∴不妨设A，D.

∵点A，D在圆x2＋y2＝r2上，

∴∴＋8＝＋5，∴p＝4(负值舍去)．

∴C的焦点到准线的距离为4.]

3．(2017·南京模拟)如图50-3，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．

图50-3

y2＝3x

[如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知：

AF＝AA1，BF＝BB1，∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，

∴∠BCB1＝30°，

∴∠AFx＝60°，

连结A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则KF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.]

4．O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝4x的焦点，P为C上一点，若PF＝4，则△POF的面积为________．

2

[如图，设点P的坐标为(x0，y0)，

由PF＝x0＋＝4，得x0＝3，

代入抛物线方程得，y＝4×3＝24，

所以|y0|＝2，

所以S△POF＝OF|y0|＝××2＝2.]

5．(2017·南通调研)已知P是抛物线y2＝4x上的一个动点，Q是圆(x－3)2＋(y－1)2＝1上的一个动点，N(1,0)是一个定点，则PQ＋PN的最小值为________．

3

[由抛物线方程y2＝4x，可得抛物线的焦点F(1,0)，又N(1,0)，所以N与F重合．

过圆(x－3)2＋(y－1)2＝1的圆心M作抛物线准线的垂线MH，交圆于Q，交抛物线于P，则PQ＋PN的最小值等于MH－1＝3.]

6．已知一条过点P(2,1)的直线与抛物线y2＝2x交于A，B两点，且P是弦AB的中点，则直线AB的方程为________．

x－y－1＝0

[依题意，设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有y＝2x1，y＝2x2，两式相减得y－y＝2(x1－x2)，即＝＝1，直线AB的斜率为1，直线AB的方程是y－1＝x－2，即x－y－1＝0.]