二阶齐次线性微分方程通解公式 二阶非齐次线性微分方程的特解

二阶微分方程的通解

二阶微分方程的通解如下：二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0，其中p、q均为常数，如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是它的通解。选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程，只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解 扩展资料 二阶常系数齐次线性微分方程ypyqy0，其p、q为常数，如果y1、y2是二阶常系数齐次线性微分方程的两个线性无关解那么yC1y1C2y2就是通解。选取r使yerx满足二阶常系数齐次线性微分方程，只要r满足代数方程r2prq0函数yerx就是微分方程的解。

二阶微分方程的通解公式

二阶微分方程的通解公式：y''+py'+qy=f(x)，其中p，q是实常数。

自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。若函数y1和y2之比为常数，称y1和y2是线性相关的。若函数y1和y2之比不为常数，称y1和y2是线性无关的。特征方程为：λ^2+pλ+q=0，然后根据特征方程根的情况对方程求解。

举例

求微分方程：y"-4y'+3y=(x^2-1)e^(3x)的通解。

第一步，先求特征方程r^2-4r+3=0的根，解得r1=3, r2=1。因此齐次方程的通解是Y=C1e^(3x)+C2e^x。

又λ=3是特征方程的一个根，因此设非齐次方程的特解y*=(ax^3+bx^2+cx)e^(3x)，代入原微分方程，可得6ax+2b+2(3ax^2+2bx+c)=x^2-1. 化简得6ax^2+(6a+4b)x+(2b+2c)=x^2-1，因此a=1/6, b=-1/4, c=-1/4。原微分方程的通解为：y=C1e^(3x)+C2e^x+(x^3/6-x^2/4-x/4)e^(3x)。

二阶微分方程的通解公式是什么？

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

举例说明：

求微分方程2y’'+y'y=0的通解。

先求对应的齐次方程2y’'+y'一y-0的通解。

特征方程为2r3+r-1=0。

(2r-1)(r+1)=-0。

r=1/2或r=-1。

故通解为Y=c1 e^(x/2)+c2e^(一x)。

因为1不是特征根，所以设原方程的特解为y*=Ae ^x。

则]y*’=y*’'=Ae ^x。

代入原方程得，2Ae ^x=2e~x。

=1。

故y*=e ^x。

所以原方程的通解为y=Y+y*。

二阶齐次线性微分方程求解公式

较常用的几个：

1、Ay''+By'+Cy=e^mx

特解 y=C(x)e^mx

2、Ay''+By'+Cy=a sinx + bcosx

特解 y=msinx+nsinx

3、Ay''+By'+Cy= mx+n

特解 y=ax

二阶常系数线性微分方程是形如y''+py'+qy=f(x)的微分方程，其中p，q是实常数。自由项f(x)为定义在区间I上的连续函数，即y''+py'+qy=0时，称为二阶常系数齐次线性微分方程。

扩展资料

F″(λ)/2!z″+F′(λ)/1!z′+F(λ)z=pm(x) ，这里F(λ)=λ^2+pλ+q为方程对应齐次方程的特征多项式。

升阶法：

设y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，当f(x)为多项式时，设f(x)=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an，此时，方程两边同时对x求导n次，得

y'''+p(x)y''+q(x)y'=a0x^n+a1x^(n-1)+…+a(n-1)x+an……

y^(n+1)+py^(n)+qy^(n-1)=a0n!x+a1(n-1)!

y^(n+2)+py^(n+1)+qy^(n)=a0n!

令y^n=a0n!/q(q≠0),此时，y^(n+2)=y^(n+1)=0。由y^(n+1)与y^n通过倒数第二个方程可得y^(n-1)，依次升阶，一直推到方程y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)，可得到方程的一个特解y(x)。

二阶齐次微分方程的通解是什么？

二阶齐次微分方程的通解是先求齐次解y''+y'-2y=0特征根方程r^2+r-2=0r=2,-1y=Ae^(2x)+Be^(-x)然后找特解待定系数。

第一种：由y2-y1=cos2x-sin2x是对应齐方程的解可推出cos2x、sin2x均为齐方程的解，故可得方程的通解是：y=C1cos2x+C2sin2x-xsin2x。

第二种：通解是一个解集……包含了所有符合这个方程的解；n阶微分方程就带有n个常数，与是否线性无关。

在财务决策中，存货的经济批量决策、最大利润决策、最佳现金持有量决策、固定资产经济使用年限等决策问题都要用到数学微分法。基本程序如下：

(1)建立数学模型：y=f(x)，这里的函数y既可以是利润、资金、成本，也可以是生产批量或采购批量。

(2)对上述函数求导：y'=f'(x)，且令f'(x)=0，求x0 。

(3)计算上述函数的二阶导数，如果函数的二阶导数小于零，则存在极大值；反之，存在极小值。在决策分析中，这一程序可以省略，因为根据实际情况可直接确定极大值还是极小值。