高考数学第九章数列第66课等差等比数列在实际问题中的应用教案

高考数学第九章数列第66课等差等比数列在实际问题中的应用教案本文简介：等差、等比数列在实际问题中的应用一、教学目标1.能在具体问题情境中，发现等差，等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题2.通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生数学的提出，分析，解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。二、基础知识回顾与梳理1

高考数学第九章数列第66课等差等比数列在实际问题中的应用教案本文内容：

等差、等比数列在实际问题中的应用

一、

教学目标

1.

能在具体问题情境中，发现等差，等比数列模型，并能运用有关知识解决相应问题

2.

通过建立数列模型，以及应用数列模型解决实际问题的过程，培养学生数学的提出，分析，解决问题的能力，提高学生的基本数学素养，为后续的学习奠定良好的数学基础。

二、

基础知识回顾与梳理

1.数列应用题常见模型

?等差模型:如果增加（或减少）的量是一个固定值时，该模型就是等差模型

?等比模型：如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数，该模型是等比模型

?混合模型：在一个问题中同时涉及等比数列和等差数列的模型

④生长模型：某一个量，每一时期以一个固定的百分数增加（或减少），同时又以一个固定的具体量增加（或减少），该模型为生长模型，如分期付款，树木的生长与砍伐等问题

2.回顾课本题：

题1．（课本第52页练习1）某厂去年的产值记为1，若计划在今后的五年内每年的产值比上年增长10％，则从今年起到第五年，这个厂的总产值为

．

【分析于点评】问题1第一年产值为多少?第二年,第三年,第四年,第五年依次为多少?有什么规律?本题帮助学生复习回忆起增长率问题，由学生口答增长率计算公式：，期中P为增长率，为初始值，为n期以后的值．

题2.（课本第42页例6）教育储蓄是一种零存整取定期储蓄存款，它享受整存整取利率，利息免税．教育储蓄的对象为在校小学四年级（含四年级）以上的学生。假设零存整取3年期教育储蓄的月利率为2.1‰，

（1）

欲在3年后一次支取本息合计2万元，每月大约存入多少元？

（2）

零存整取3年期教育储蓄每月至多存入多少元？此时3年后本息合计约为多少元？（精确到1元）．

【教学处理】学生阅读该例题，教师提问:1每月存入的钱,存期分别为多少个月?到期后本利和分别为多少?这些数据有什么规律?总和是多少?引导学生回忆单利计算公式，回忆怎样建立等差数列模型解决实际问题。同时归纳整理增长率问题；单利，复利问题，简单的分期付款问题：

①

增长率模型：；

②

单利模型：

为本金,r为利息率，n为借贷期限，为本金和利息之和（简称本利和）；

③

复利模型:

=本金；r=利率；n=持有期限，为本金和利息之和（简称本利和）．

④

分期付款的数学模型

，期中为应付金额，x为每期所付金额，r为期利率．

三、

诊断练习

1.教学处理：课前由学生自主完成4道小题，并要求将解题过程扼要地写在学习笔记栏。课前抽查批阅部分同学的解答，了解学生的思路及主要错误。将知识问题化，通过问题驱动，使教学言而有物，帮助学生内化知识，初步形成能力。点评时要简洁，要点击要害．

2．诊断练习点评

题1、用火柴棒按下图的方法搭

按图示的规律搭下去，则可推测第n个图中所用的火柴棒数__________.

【分析与点评】

问题1：前四个图形中火柴棒数分别是多少？

问题2：前四个图形中火柴棒数有什么规律？构成什么数列模型？

问题3：在这个数列模型中已知什么？要求什么？

这是个等差数列模型．

题2、某种细胞在培养过程中,每20分钟分裂一次(一个变成两个),那么经过3个小时,这种细胞由1个可以繁殖成__________个.

【分析与点评】

问题1：经过3小时一共分裂了多少次？

问题2：第一次分裂成几个？第二次、第三次、第四次呢？

问题3：前四次个数成什么规律？构成什么数列模型？

问题4：在这个数列模型中已知什么？要求什么？

这是个等比数列模型，，，3个小时分裂了9次，分裂了九次应得到

【变式】：：经过30个小时呢？

题3、某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵树是前一天的2倍，则需要最少天数n为_______

答案为：6

【分析与点评】

问题1：如何转化为数学问题，是什么数学问题？

问题2：如何建立等量关系？

题4、甲、乙两物体从相距70米的两处同时出发，相向运动。甲第1分钟走2米，以后每1分钟比前1分钟多走1米；乙每分钟走5米。那么甲乙开始运动后

分钟它们相遇。答案为

7

【分析与点评】

问题1：甲、乙的运动分别构成什么数列模型？

问题2：如何建立等量关系？

3、要点归纳

1.

有些数学问题需要由特殊事例归纳出一般性结论，然后运用数列知识给予解答．

2.

数列与函数、与不等式、与解析几何的综合问题是本节课的重点与难点．

3.

解题中要体会转化、数形结合、归纳猜想、分类讨论等思想方法．

四．范例导析

例1

某屋顶的一个斜面成等腰梯形，最上面一行铺瓦片21片，下一行总是比上一行多铺2片瓦片，已知斜面上共铺了19行瓦片，试问：

（1）

最下面一行铺了多少片瓦片？

（2）从上往下数，哪一行铺了39片瓦片？

【教学处理】

引导学生阅读分析问题，由学生自主解决．

【引导分析与精讲建议】

阅读题目可知，各行瓦片构成什么数列?(等差数列)等差数列通项公式是什么?(要突出强调首项为21，公差为2，项数为19，最后用等差数列通项公式求解。)

变式：屋顶共铺了多少瓦片？

例2：某啤酒厂为适应市场需要，2011年起引进葡萄酒生产线，同时生产啤酒和葡萄酒，2011年啤酒生产量为16000吨，葡萄酒生产量1000吨．该厂计划从2012年起每年啤酒的生产量比上一年减少50%，葡萄酒生产量比上一年增加100%，试问：

（1）哪一年啤酒与葡萄酒的年生产量之和最低？

（2）从2011年起（包括2011年），经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？（生产总量是指各年年产量之和）

【教学处理】带领学生理清题意引导学生建立适当的数学模型。

【引导分析与精讲建议】

问题1：需要引进几个数列，是什么数列？

交流：它们都是等比数列.

问题2：如何研究最低，构建关于n的函数，用什么方法研究最小值？

问题3：如何理解经过多少年葡萄酒的生产总量不低于该厂啤酒与葡萄酒生产总量之和的？建立什么关系式，，这个式子如何化简

例3

为了保护三峡地区的生态环境，凡是坡度在25°以上的荒坡地都要绿化造林。经初步统计，在三峡库区内坡度大于25°的荒坡地面积约有2***0万亩。若从2009年初开始绿化造林，第一年造林120万亩，以后每年比前一年多绿化60万亩。

(1)

若所有被绿化造林的荒坡地全部成功，问到哪一年底可使库区的荒坡地全部绿化？

(2)

若每万亩绿化造林的所植树苗的木材量平均为0.1万立方米，每年树木木材量的自然生产率为20%，那么当整个库区25°以上的荒坡地全部绿化完的那一年底，一共有木材多少万立方米？（保留一位小数，

，）

【教学处理】

带领学生理清题意，突出关键词，引导学生建立适当的数学模型。

【引导分析与精讲建议】

问题1：每年的绿化造林面积构成什么数列模型？

问题2：第（1）问是研究还是？

问题3：2016年底对应的是吗？如何求总和？

解：（1）设，，第年后可以使绿化任务完成，则有

解得

故到2016年可以使库区内坡度在25°以上的荒坡地全部绿化。

（2）到2016年造林数量为（万亩）

设到2016年木材总量为，依题意有

利用错位相减法可求得(万立方米)

五、解题反思

数列应用题的一般思路：

⑴读题分析，明确哪些量成等差数列，哪些成等比数列，哪些量给出的是递推关系

⑵若是等差，等比数列的应用题，则要明确这些量中，哪些已知，哪些未知

⑶应用相关数列知识解答．