射影定理公式推导过程(射影定理)
1、射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
2、射影定理是数学图形计算的重要定理。
3、在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:BD2=AD·CDAB2=AC·ADBC2=CD·AC由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。
4、此外,当这个三角形不是直角三角形但是角ABC等于角CDB时也成立。
5、可以使用相似进行证明,过程略。
6、扩展资料:验证推导①CD2=AD·BD;②AC2=AD·AB;③BC2=BD·AB;④AC·BC=AB·CD证明:①∵CD2+AD2=AC2,CD2+BD2=BC2∴2CD2+AD2+BD2=AC2+BC2∴2CD2=AB2-AD2-BD2∴2CD2=(AD+BD)2-AD2-BD2∴2CD2=AD2+2AD·BD+BD2-AD2-BD2∴2CD2=2AD·BD∴CD2=AD·BD②∵CD2=AD·BD(已证)∴CD2+AD2=AD·BD+AD2∴AC2=AD·(BD+AD)∴AC2=AD·AB③BC2=CD2+BD2BC2=AD·BD+BD2BC2=(AD+BD)·BDBC2=AB·BD∴BC2=AB·BD④∵S△ACB=?AC×BC=?AB·CD∴?AC·BC=?AB·CD∴AC·BC=AB·CD射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
7、射影定理是数学图形计算的重要定理。
8、在Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:BD2=AD·CD;AB2=AC·AD;BC2=CD·AC。
9、由古希腊著名数学家、《几何原本》作者欧几里得提出。
10、提出者简介欧几里得(希腊文:Ευκλειδη? ,公元前325年—公元前265年),古希腊数学家,被称为“几何之父”。
11、他活跃于托勒密一世(公元前323年-公元前283年)时期的亚历山大里亚。
12、他最著名的著作《几何原本》是欧洲数学的基础,总结了平面几何五大公设,被广泛的认为是历史上最成功的教科书。
13、欧几里得也写了一些关于透视、圆锥曲线、球面几何学及数论的作品。
14、直角三角形射影定理,又称“欧几里德定理”,定理的内容是直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
15、?公式表达为:如右图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高,则有射影定理如下:①CD2;=AD·DB,②BC2=BD·BA?③AC2=AD·AB?④AC·BC=AB·CD(等积式,可用面积来证明)AC*BC=2 S ABCCD*AB=2 S ABCAC*BC=AB*CD概述直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
16、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
17、公式Rt△ABC中,∠ACB=90°,cd是斜边ab上的高,则有射影定理如下:(1)(CD)^2;=AD·DB, (2)(BC)^2;=BD·BA , (3)(AC)^2;=AD·AB 。
18、等积式 (4)ACXBC=ABXCD(可用面积来证明)折叠直角三角形射影定理所谓射影,就是灯光投影。
19、直角三角形射影定理(又叫欧几里德(Euclid)定理):直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项。
20、每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项。
21、公式: 如图,Rt△ABC中,∠ABC=90°,BD是斜边AC上的高,则有射影定理如下:射影定理折叠证明解:在△BAD与△ACD中,∵∠ABD+∠BAD=90°,且∠CAD+∠C=90°, 射影定理简图∴∠ABD=∠C,又∵∠BDA=∠BDC=90°∴△BAD∽△CBD∴ AD/BD=BD/CD即 BD2=AD·DC其余同理可得可证射影定理折叠内容AB2=AD·AC,BC2=CD·CA两式相加得:AB2+BC2=AD·AC+CD·AC =(AD+CD)·AC=AC2 (即勾股定理)。
22、注: AB2的意思是AB的2次方。
23、证明已知:三角形中角A=90度,AD是高.证明1:设点A在直线BC上的射影为点D,则AB、AC在直线BC上的射影分别为BD、CD,且BD=c·cosB,CD=b·cosC,∴a=BD+CD=b·cosC+c·cosB 同理可证其余。
24、证明2:由正弦定理,可得:b=asinB/sinA,c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA=acosB+(asinB/sinA)cosA=a·cosB+b·cosA. 同理可证其余。
25、折叠任意三角形任意三角形射影定理又称“第一余弦定理”:△ABC的三边是a、b、c,它们所对的角分别是A、B、C,则有a=b·cosC+c·cosB,b=c·cosA+a·cosC,c=a·cosB+b·cosA。
26、注:以“a=b·cosC+c·cosB”为例,b、c在a上的射影分别为b·cosC、c·cosB,故名射影定理。
27、简单分析一下,答案如图所示是不是相似三角形那一部分的射影定理?