直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
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洒脱 2023-11-13 13:23:50
直角三角形斜边中线定理:如果一个三角形是直角三角形,那么这个三角形斜边上的中线等于斜边的一半。这是数学中关于直角三角形的一个定理。
【证明方法】
ΔABC是直角三角形,作AB的垂直平分线n交BC于D
∴AD=BD(线段垂直平分线上的点到这条线段两端点的距离相等)
以DB为半径,D为圆心画弧,与BC在D的另一侧交于C'
∴DC’=AD=BD∴∠BAD=∠ABD∠C’AD=∠AC’D(等边对等角)
又∵∠BAD+∠ABD+∠C’AD+∠AC’D=180°(三角形内角和定理)
∴∠BAD+∠C’AD=90°即:∠BAC’=90°
又∵∠BAC=90°
∴∠BAC=∠BAC’
∴C与C’在直线AC上
又∵C与C’在直线BD上,AC与BD相交
∴C与C’重合(也可用垂直公理证明:假使C与C’不重合由于CA⊥AB,C’A⊥AB故过A有CA、C’A两条直线与AB垂直这就与垂直公理矛盾∴假设不成立∴C与C’重合)
∴DC=AD=BD∴AD是BC上的中线且AD=BC/2这就是直角三角形斜边上的中线定理。
【成立的逆命题】如果一个三角形一条边的中线等于这条边的一半,那么这个三角形是直角三角形,且这条边为直角三角形的斜边。
证明:以该条边的中点为圆心,以中线长为半径作圆,则该边成为圆的直径,该三角形的另一个顶点在圆上,该顶角为圆周角。因为直径上的圆周角是直角,所以该逆命题成立。
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