圆的面积公式推导过程

圆面积公式的推导过程圆的面积的公式的推导过程

圆面积的推导： 在硬纸板上画一个圆，把圆分成若干等分，剪开后用这些近似的等腰三角形的小纸片拼一拼，就可以拼成一个近似的平行四边形。

如果分的分数越多，每一份会越细。

拼成的图形就会越接近长方形。

长方形的长等于圆周长的一半，即 r , 宽等于圆的半径 r ，因为长方形的面积 = 长×宽，所以园的面积 =r × r = r2 即 s= ∏ r2

首先我们从数学角度进行分析：圆等分成360份，每一份1度圆心角对应的圆弧长为a=πr/180，则半径r与a所围的面积近似于一个三角形的面积，设高为h则h=√[1-(π/180)^2]*r一个三角形的面积=ah/2=(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)360个全等三角形的面积之和为圆面积，s=360*(πr^2/2)*√[1-2π/180^2]*(1/180)=πr^2)*√[1-2π/180^2]2π/180^2近似等于0所以s=πr^2这个公式作为公理是无任何问题的。

下面我们再从历史的角度进行分析：用圆内接正多边形的面积去无限逼近圆面积并以此求取圆周率。

"圜，一中同长也"。

意思是说:圆只有一个中心，圆周上每一点到中心的距离相等。

早在我国先秦时期，《墨经》上就已经给出了圆的这个定义，而公元前11世纪，我国西周时期数学家商高也曾与周公讨论过圆与方的关系。

认识了圆，人们也就开始了有关于圆的种种计算，特别是计算圆的面积。

我国古代数学经典《九章算术》在第一章"方田"章中写到"半周半径相乘得积步"，也就是我们现在所熟悉的公式。

他认为，圆内接正多边形的面积与圆面积都有一个差，用有限次数的分割、拼补，是无法证明《九章算术》的圆面积公式的。

因此刘徽大胆地将极限思想和无穷小分割引入了数学证明。

他从圆内接正六边形开始割圆，"割之弥细，所失弥少，割之又割，以至不可割，则与圆周合体，而无所失矣。

"也就是说将圆内接正多边形的边数不断加倍，则它们与圆面积的差就越来越小，而当边数不能再加的时候，圆内接正多边形的面积的极限就是圆面积。

刘徽考察了内接多边形的面积，也就是它的"幂"，同时提出了"差幂"的概念。

"差幂" 是后一次与前一次割圆的差值，可以用图中阴影部分三角形的面积来表示。

同时，它与两个小黄三角形的面积和相等。

刘徽指出，在用圆内接正多边形逼近圆面积的过程中，圆半径在正多边形与圆之间有一段余径。

以余径乘正多边形的边长，即2倍的"差幂"，加到这个正多边形上，其面积则大于圆面积。

这是圆面积的一个上界序列。

刘徽认为，当圆内接正多边形与圆是合体的极限状态时，"则表无余径。

表无余径，则幂不外出矣。

"就是说，余径消失了，余径的长方形也就不存在了。

因而，圆面积的这个上界序列的极限也是圆面积。

于是内外两侧序列都趋向于同一数值，即，圆面积。