版高考数学复习数列教师用书文

2018版高考数学复习数列教师用书文本文简介：第五章数列第一节数列的概念与简单表示法1．数列的有关概念概念含义数列按照一定顺序排列的一列数数列的项数列中的每一个数数列的通项数列{an}的第n项an通项公式数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式前n项和数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an

2018版高考数学复习数列教师用书文本文内容：

第五章数

列

第一节数列的概念与简单表示法

1．数列的有关概念

概念

含义

数列

按照一定顺序排列的一列数

数列的项

数列中的每一个数

数列的通项

数列{an}的第n项an

通项公式

数列{an}的第n项an与n之间的关系能用公式an＝f(n)表示，这个公式叫做数列的通项公式

前n项和

数列{an}中，Sn＝a1＋a2＋…＋an叫做数列的前n项和

2．数列的表示方法

列表法

列表格表示n与an的对应关系

图象法

把点(n，an)画在平面直角坐标系中

公式法

通项公式

把数列的通项使用公式表示的方法

递推公式

使用初始值a1和an＋1＝f(an)或a1，a2和an＋1＝f(an，an－1)等表示数列的方法

3．an与Sn的关系

若数列{an}的前n项和为Sn，

则an＝

4．数列的分类

[小题体验]

1．已知数列{an}的前4项为1,3,7,15，则数列{an}的一个通项公式为________．

答案：an＝2n－1(n∈N*)

2．已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝，则a5等于________．

答案：

3．(教材习题改编)已知函数f(x)＝，设an＝f(n)(n∈N*)，则{an}是________数列(填“递增”或“递减”)．

答案：递增

1．数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关．

2．易混项与项数的概念，数列的项是指数列中某一确定的数，而项数是指数列的项对应的位置序号．

3．在利用数列的前n项和求通项时，往往容易忽略先求出a1，而是直接把数列的通项公式写成an＝Sn－Sn－1的形式，但它只适用于n≥2的情形．

[小题纠偏]

1．已知Sn是数列{an}的前n项和，且Sn＝n2＋1，则数列{an}的通项公式是________．

答案：an＝

2．数列{an}的通项公式为an＝－n2＋9n，则该数列第________项最大．

答案：4或5

[题组练透]

1．已知n∈N*，给出4个表达式：①an＝②an＝，③an＝，④an＝．其中能作为数列：0,1,0,1,0,1,0,1，…的通项公式的是(

)

A．①②③

B．①②④

C．②③④

D．①③④

解析：选A

检验知①②③都是所给数列的通项公式．

2．根据数列的前几项，写出各数列的一个通项公式：

(1)4,6,8,10，…；

(2)(易错题)－，，－，，…；

(3)a，b，a，b，a，b，…(其中a，b为实数)；

(4)9,99,999,9

999，…．

解：(1)各数都是偶数，且最小为4，所以它的一个通项公式an＝2(n＋1)，n∈N*．

(2)这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式an＝(－1)n×，n∈N*．

(3)这是一个摆动数列，奇数项是a，偶数项是b，所以此数列的一个通项公式an＝

(4)这个数列的前4项可以写成10－1,100－1,1

000－1，10

000－1，所以它的一个通项公式an＝10n－1，n∈N*．

[谨记通法]

由数列的前几项求数列通项公式的策略

(1)根据所给数列的前几项求其通项公式时，需仔细观察分析，抓住以下几方面的特征，并对此进行归纳、联想，具体如下：

①分式中分子、分母的特征；

②相邻项的变化特征；

③拆项后的特征；

④各项符号特征等．

(2)根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是利用不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验，对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整．如“题组练透”第2(2)题．

[典例引领]

已知下面数列{an}的前n项和Sn，求{an}的通项公式．

(1)Sn＝2n2－3n；

(2)Sn＝3n＋b．

解：(1)a1＝S1＝2－3＝－1，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n2－3n)－[2(n－1)2－3(n－1)]＝4n－5，

由于a1也适合此等式，∴an＝4n－5．

(2)a1＝S1＝3＋b，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n＋b)－(3n－1＋b)＝2·3n－1．

当b＝－1时，a1适合此等式．

当b≠－1时，a1不适合此等式．

∴当b＝－1时，an＝2·3n－1；

当b≠－1时，an＝

[由题悟法]

已知Sn求an的

3个步骤

(1)先利用a1＝S1求出a1；

(2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式；

(3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．

[即时应用]

已知数列{an}的前n项和为Sn．

(1)若Sn＝(－1)n＋1·n，求a5＋a6及an；

(2)若Sn＝3n＋2n＋1，求an．

解：(1)a5＋a6＝S6－S4＝(－6)－(－4)＝－2，

当n＝1时，a1＝S1＝1；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(－1)n＋1·n－(－1)n·(n－1)

＝(－1)n＋1·[n＋(n－1)]

＝(－1)n＋1·(2n－1)，

又a1也适合此式，

所以an＝(－1)n＋1·(2n－1)．

(2)因为当n＝1时，a1＝S1＝6；

当n≥2时，

an＝Sn－Sn－1＝(3n＋2n＋1)－[3n－1＋2(n－1)＋1]

＝2·3n－1＋2，

由于a1不适合此式，

所以an＝

[锁定考向]

递推公式和通项公式是数列的两种表示方法，它们都可以确定数列中的任意一项，只是由递推公式确定数列中的项时，不如通项公式直接．

常见的命题角度有：

(1)形如an＋1＝anf(n)，求an；

(2)形如an＋1＝an＋f(n)，求an；

(3)形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an．

[题点全练]

角度一：形如an＋1＝anf(n)，求an

1．在数列{an}中，a1＝1，an＝an－1(n≥2)，求数列{an}的通项公式．

解：∵an＝an－1(n≥2)，

∴an－1＝an－2，an－2＝an－3，…，a2＝a1．

以上(n－1)个式子相乘得

an＝a1···…·＝＝．

当n＝1时，a1＝1，上式也成立．∴an＝(n∈N*)．

角度二：形如an＋1＝an＋f(n)，求an

2．设数列{an}满足a1＝1，且an＋1－an＝n＋1(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．

解：由题意有a2－a1＝2，a3－a2＝3，…，an－an－1＝n(n≥2)．

以上各式相加，得an－a1＝2＋3＋…＋n＝＝．

又∵a1＝1，∴an＝(n≥2)．

∵当n＝1时也满足此式，∴an＝(n∈N*)．

角度三：形如an＋1＝Aan＋B(A≠0且A≠1)，求an

3．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝3an＋2，求数列{an}的通项公式．

解：∵an＋1＝3an＋2，∴an＋1＋1＝3(an＋1)，

∴＝3，∴数列{an＋1}为等比数列，公比q＝3，

又a1＋1＝2，∴an＋1＝2·3n－1，

∴an＝2·3n－1－1(n∈N*)．

[通法在握]

典型的递推数列及处理方法

递推式

方

法

示

例

an＋1＝an＋f(n)

叠加法

a1＝1，an＋1＝an＋2n

an＋1＝anf(n)

叠乘法

a1＝1，＝2n

an＋1＝Aan＋B

(A≠0,1，B≠0)

化为等比数列

a1＝1，an＋1＝2an＋1

[演练冲关]

根据下列条件，求数列{an}的通项公式．

(1)a1＝1，an＋1＝an＋2n；

(2)a1＝，an＝an－1(n≥2)．

解：(1)由题意知an＋1－an＝2n，

an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1

＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋1＝＝2n－1．

(2)因为an＝an－1(n≥2)，

所以当n≥2时，＝，

所以＝，＝，…，＝，＝，

以上n－1个式子相乘得··…··＝··…··，

即＝××2×1，所以an＝．

当n＝1时，a1＝＝，也与已知a1＝相符，

所以数列{an}的通项公式为an＝．

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．数列1，，，，，…的一个通项公式an＝(

)

A．

B．

C．

D．

解析：选B

由已知得，数列可写成，，，…，故通项为．

2．已知数列{an}的前n项和为Sn＝n2－2n＋2，则数列{an}的通项公式为(

)

A．an＝2n－3

B．an＝2n＋3

C．an＝

D．an＝

解析：选C

当n＝1时，a1＝S1＝1，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－3，由于n＝1时a1的值不适合n≥2的解析式，故通项公式为选项C．

3．若a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)，当an>100时，n的最小值为(

)

A．3

B．4

C．5

D．6

解析：选C

由a1＝，an＝4an－1＋1(n≥2)得，

a2＝4a1＋1＝4×＋1＝3，a3＝4a2＋1＝4×3＋1＝13，

a4＝4a3＋1＝4×13＋1＝53，a5＝4a4＋1＝4×53＋1＝213>100．

4．(2016·肇庆三模)已知数列{an}满足a1＝1，an－an－1＝n(n≥2)，则数列{an}的通项公式an＝________．

解析：由an－an－1＝n得a2－a1＝2，

a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，

上面(n－1)个式子相加得

an＝1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)．

又n＝1时也满足此式，

所以an＝n(n＋1)．

答案：n(n＋1)

5．(2017·南昌模拟)数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，且S2＝3，则a1＋a3的值为________．

解析：∵Sn＋Sn－1＝2n－1(n≥2)，令n＝2，

得S2＋S1＝3，由S2＝3得a1＝S1＝0，

令n＝3，得S3＋S2＝5，所以S3＝2，

则a3＝S3－S2＝－1，所以a1＋a3＝0＋(－1)＝－1．

答案：－1

二保高考，全练题型做到高考达标

1．数列0,1,0，－1,0,1,0，－1，…的一个通项公式是an等于(

)

A．

B．cos

C．cosπ

D．cosπ

解析：选D

令n＝1,2,3，…，逐一验证四个选项，易得D正确．

2．(2017·福建福州八中质检)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝a－2an＋1(n∈N*)，则a2

017＝(

)

A．1

B．0

C．2

017

D．－2

017

解析：选A

∵a1＝1，∴a2＝(a1－1)2＝0，a3＝(a2－1)2＝1，a4＝(a3－1)2＝0，…，可知数列{an}是以2为周期的数列，∴a2

017＝a1＝1．

3．设数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2(an－1)，则an＝(

)

A．2n

B．2n－1

C．2n

D．2n－1

解析：选C

当n＝1时，a1＝S1＝2(a1－1)，可得a1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2an－2an－1，∴an＝2an－1，∴数列{an}为等比数列，公比为2，首项为2，所以an＝2n．

4．设曲线f(x)＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，则x1·x2·x3·x4·…·x2

017＝(

)

A．

B．

C．

D．

解析：选D

由f(x)＝xn＋1得f′(x)＝(n＋1)xn，切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得xn＝，故x1·x2·x3·x4·…·x2

017＝××…×＝．

5．(2017·衡水中学检测)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(

)

A．6

B．7

C．8

D．9

解析：选B

∵a1＝19，an＋1－an＝－3，

∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，

∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n．

设{an}的前k项和数值最大，

则有k∈N*，∴

∴≤k≤，

∵k∈N*，∴k＝7．∴满足条件的n的值为7．

6．在数列－1,0，，，…，，…中，0．08是它的第____________项．

解析：令＝0．08，得2n2－25n＋50＝0，

即(2n－5)(n－10)＝0．

解得n＝10或n＝(舍去)．

答案：10

7．已知数列{an}满足a1＝1，an＝a－1(n>1)，则a2

017＝________，|an＋an＋1|＝________(n>1)．

解析：由a1＝1，an＝a－1(n>1)，得

a2＝a－1＝12－1＝0，a3＝a－1＝02－1＝－1，

a4＝a－1＝(－1)2－1＝0，a5＝a－1＝02－1＝－1，

由此可猜想当n>1，n为奇数时an＝－1，n为偶数时an＝0，

∴a2

017＝－1，|an＋an＋1|＝1．

答案：－1

1

8．在一个数列中，如果?n∈N*，都有anan＋1an＋2＝k(k为常数)，那么这个数列叫做等积数列，k叫做这个数列的公积．已知数列{an}是等积数列，且a1＝1，a2＝2，公积为8，则a1＋a2＋a3＋…＋a12＝________．

解析：依题意得数列{an}是周期为3的数列，且a1＝1，a2＝2，a3＝4，因此a1＋a2＋a3＋…＋a12＝4(a1＋a2＋a3)＝4×(1＋2＋4)＝28．

答案：28

9．已知Sn为正项数列{an}的前n项和，且满足Sn＝a＋an(n∈N*)．

(1)求a1，a2，a3，a4的值；

(2)求数列{an}的通项公式．

解：(1)由Sn＝a＋an(n∈N*)，可得

a1＝a＋a1，解得a1＝1；

S2＝a1＋a2＝a＋a2，解得a2＝2；

同理，a3＝3，a4＝4．

(2)Sn＝a＋an，①

当n≥2时，Sn－1＝a＋an－1，②

①－②得(an－an－1－1)(an＋an－1)＝0．

由于an＋an－1≠0，

所以an－an－1＝1，

又由(1)知a1＝1，

故数列{an}是首项为1，公差为1的等差数列，故an＝n．

10．已知数列{an}的通项公式是an＝n2＋kn＋4．

(1)若k＝－5，则数列中有多少项是负数？n为何值时，an有最小值？并求出最小值；

(2)对于n∈N*，都有an＋1>an，求实数k的取值范围．

解：(1)由n2－5n＋4an，知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n2＋kn＋4，可以看作是关于n的二次函数，考虑到n∈N*，所以－－3．

所以实数k的取值范围为(－3，＋∞)．

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．已知数列{an}的通项公式为an＝(－1)n·2n＋1，该数列的项排成一个数阵(如图)，则该数阵中的第10行第3个数为________．

a1

a2

a3

a4

a5

a6

……

解析：由题意可得该数阵中的第10行、第3个数为数列{an}的第1＋2＋3＋…＋9＋3＝＋3＝48项，而a48＝(－1)48×96＋1＝97，故该数阵第10行、第3个数为97．

答案：97

2．(2017·甘肃诊断性考试)已知数列{an}满足a1＝，an＋1＝10an＋1．

(1)证明数列是等比数列，并求数列{an}的通项公式；

(2)数列{bn}满足bn＝lg，Tn为数列的前n项和，求证：Tn0，d0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm．

[即时应用]

1．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若＝，则＝(

)

A．1

B．－1

C．2

D．

解析：选A

＝＝＝×＝1．

2．设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知前6项和为36，最后6项的和为180，Sn＝324(n＞6)，则数列{an}的项数为________．

解：由题意知a1＋a2＋…＋a6＝36，①

an＋an－1＋an－2＋…＋an－5＝180，②

①＋②得(a1＋an)＋(a2＋an－1)＋…＋(a6＋an－5)＝6(a1＋an)＝216，∴a1＋an＝36，

又Sn＝＝324，∴18n＝324，∴n＝18．

答案：18

3．设Sn是等差数列{an}的前n项和，S10＝16，S100－S90＝24，则S100＝________．

解析：依题意，S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90依次成等差数列，设该等差数列的公差为d．又S10＝16，S100－S90＝24，因此S100－S90＝24＝16＋(10－1)d＝16＋9d，解得d＝，因此S100＝10S10＋d＝10×16＋×＝200．

答案：200

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．(2017·桂林调研)等差数列{an}中，a4＋a8＝10，a10＝6，则公差d＝(

)

A．

B．

C．2

D．－

解析：选A

由a4＋a8＝2a6＝10，得a6＝5，所以4d＝a10－a6＝1，解得d＝，故选A．

2．等差数列{an}的前n项之和为Sn，若a5＝6，则S9为(

)

A．45

B．54

C．63

D．27

解析：选B

法一：∵S9＝＝9a5＝9×6＝54．故选B．

法二：由a5＝6，得a1＋4d＝6，

∴S9＝9a1＋d＝9(a1＋4d)＝9×6＝54，故选B．

3．(2017·陕西质量监测)已知数列{an}满足a1＝15，且3an＋1＝3an－2．若ak·ak＋10，a4＋a70成立的最大的自然数n是(

)

A．9

B．10

C．11

D．12

解析：选A

由题可得{an}的公差d＝＝－2，a1＝9，所以an＝－2n＋11，则{an}是递减数列，且a5>0>a6，a5＋a6＝0，于是S9＝·9>0，S10＝·10＝0，S11＝·110．

(1)求证：当n≥5时，{an}成等差数列；

(2)求{an}的前n项和Sn．

解：(1)证明：由4Sn＝a＋2an－3,4Sn＋1＝a＋2an＋1－3，

得4an＋1＝a－a＋2an＋1－2an，

即(an＋1＋an)(an＋1－an－2)＝0．

当n≥5时，an>0，所以an＋1－an＝2，

所以当n≥5时，{an}成等差数列．

(2)由4a1＝a＋2a1－3，得a1＝3或a1＝－1，

又a1，a2，a3，a4，a5成等比数列，

所以由(1)得an＋1＋an＝0(n≤5)，q＝－1，

而a5>0，所以a1>0，从而a1＝3，

所以an＝

所以Sn＝

三上台阶，自主选做志在冲刺名校

1．(2016·安庆二模)已知数列{an}是各项均不为零的等差数列，Sn为其前n项和，且an＝(n∈N*)．若不等式≤对任意n∈N*恒成立，则实数λ的最大值为________．

解析：an＝?an＝＝?a＝(2n－1)an?an＝2n－1，n∈N*．

≤就是λ≤?λ≤2n－＋15，f(n)＝2n－＋15在n≥1时单调递增，其最小值为f(1)＝9，所以λ≤9，故实数λ的最大值为9．

答案：9

2．已知数列{an}满足，an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)．

(1)若数列{an}是等差数列，求a1的值；

(2)当a1＝2时，求数列{an}的前n项和Sn．

解：(1)法一：∵数列{an}是等差数列，

∴an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd．

由an＋1＋an＝4n－3，

得(a1＋nd)＋[a1＋(n－1)d]＝4n－3，

∴2dn＋(2a1－d)＝4n－3，

即2d＝4,2a1－d＝－3，

解得d＝2，a1＝－．

法二：在等差数列{an}中，由an＋1＋an＝4n－3，

得an＋2＋an＋1＝4(n＋1)－3＝4n＋1，

∴2d＝an＋2－an＝(an＋2＋an＋1)－(an＋1＋an)

＝4n＋1－(4n－3)＝4，

∴d＝2．

又∵a1＋a2＝2a1＋d＝2a1＋2＝4×1－3＝1，

∴a1＝－．

(2)由题意，①当n为奇数时，

Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝a1＋(a2＋a3)＋(a4＋a5)＋…＋(an－1＋an)

＝2＋4[2＋4＋…＋(n－1)]－3×

＝．

②当n为偶数时，Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an

＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(an－1＋an)

＝1＋9＋…＋(4n－7)

＝．

第三节等比数列及其前n项和

1．等比数列的有关概念

(1)定义：

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q表示，定义的表达式为＝q．

(2)等比中项：

如果a，G，b成等比数列，那么G叫做a与b的等比中项．即：G是a与b的等比中项?a，G，b成等比数列?G2＝ab．

2．等比数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1qn－1．

(2)前n项和公式：Sn＝

3．等比数列的常用性质

(1)通项公式的推广：an＝am·qn－m(n，m∈N*)．

(2)若m＋n＝p＋q＝2k(m，n，p，q，k∈N*)，

则am·an＝ap·aq＝a；

(3)若数列{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}，，{a}，{an·bn}，(λ≠0)仍然是等比数列；

(4)在等比数列{an}中，等距离取出若干项也构成一个等比数列，即an，an＋k，an＋2k，an＋3k，…为等比数列，公比为qk．

[小题体验]

1．(教材习题改编)将公比为q的等比数列a1，a2，a3，a4，…依次取相邻两项的乘积组成新的数列a1a2，a2a3，a3a4，…．此数列是(

)

A．公比为q的等比数列

B．公比为q2的等比数列

C．公比为q3的等比数列

D．不一定是等比数列

答案：B

2．等比数列{an}中，a3＝12，a4＝18，则a6＝________．

解析：法一：由a3＝12，a4＝18，得解得a1＝，q＝，

∴a6＝a1q5＝×5＝．

法二：由等比数列性质知，a＝a2a4，

∴a2＝＝＝8，

又a＝a2a6，∴a6＝＝＝．

答案：

3．(教材习题改编)在等比数列{an}中，已知a1＝－1，a4＝***，则公比q＝________，S4＝________．

答案：－4

51

1．特别注意q＝1时，Sn＝na1这一特殊情况．

2．由an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，还要验证a1≠0．

3．在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形而导致解题失误．

4．Sn，S2n－Sn，S3n－S2n未必成等比数列(例如：当公比q＝－1且n为偶数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n不成等比数列；当q≠－1或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列)，但等式(S2n－Sn)2＝Sn·(S3n－S2n)总成立．

[小题纠偏]

1．在等比数列{an}中，a3＝2，a7＝8，则a5等于(

)

A．5

B．±5

C．4

D．±4

解析：选C

a＝a3a7＝2×8＝16，∴a5＝±4，又∵a5＝a3q2>0，∴a5＝4．

2．设数列{an}是等比数列，前n项和为Sn，若S3＝3a3，则公比q＝________．

答案：－或1

[典例引领]

1．(2017·武汉调研)若等比数列{an}的各项均为正数，a1＋2a2＝3，a＝4a2a6，则a4＝(

)

A．

B．

C．

D．

解析：选C

由题意，得

解得所以a4＝a1q3＝×3＝．

2．(2015·全国卷Ⅰ)在数列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，Sn为{an}的前n项和．若Sn＝126，则n＝________．

解析：∵a1＝2，an＋1＝2an，

∴数列{an}是首项为2，公比为2的等比数列．

又∵Sn＝126，∴＝126，∴n＝6．

答案：6

[由题悟法]

解决等比数列有关问题的2种常用思想

方程

的思想

等比数列中有五个量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)求关键量a1和q，问题可迎刃而解

分类讨论的思想

等比数列的前n项和公式涉及对公比q的分类讨论，当q＝1时，{an}的前n项和Sn＝na1；当q≠1时，{an}的前n项和Sn＝＝

[即时应用]

1．等比数列{an}的前n项和为Sn，已知S3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1＝(

)

A．

B．－

C．

D．－

解析：选C

设等比数列{an}的公比为q，

∵S3＝a2＋10a1，a5＝9，

∴

解得

2．(2017·洛阳统考)设等比数列{an}的前n项和为Sn，若a1＋8a4＝0，则＝(

)

A．－

B．

C．

D．

解析：选C

在等比数列{an}中，因为a1＋8a4＝0，所以q＝－，所以＝＝＝＝．

3．(2015·安徽高考)已知数列是递增的等比数列，a1＋a4＝9，a2a3＝8，则数列的前n项和等于________．

解析：设等比数列的公比为q，则有

解得或

又为递增数列，∴∴Sn＝＝2n－1．

答案：2n－1

[典例引领]

(2016·全国丙卷)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0．

(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；

(2)若S5＝，求λ．

解：(1)证明：由题意得a1＝S1＝1＋λa1，

故λ≠1，a1＝，故a1≠0．

由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，

即an＋1(λ－1)＝λan．

由a1≠0，λ≠0得an≠0，所以＝．

因此{an}是首项为，

公比为的等比数列，

于是an＝n－1．

(2)由(1)得Sn＝1－n．

由S5＝得1－5＝，即5＝．

解得λ＝－1．

[由题悟法]

等比数列的4种常用判定方法

定义法

若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，则{an}是等比数列

中项

公式法

若数列{an}中，an≠0且a＝an·an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列

通项

公式法

若数列通项公式可写成an＝c·qn－1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列

前n项和公式法

若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列

[提醒]

(1)前两种方法是判定等比数列的常用方法，常用于证明；后两种方法常用于选择题、填空题中的判定．

(2)若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比数列即可．

[即时应用]

设数列的前n项和为Sn，n∈N*．已知a1＝1，a2＝，a3＝，且当n≥2时，4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1．

(1)求a4的值；

(2)证明：为等比数列．

解：(1)当n＝2时，4S4＋5S2＝8S3＋S1，

即4＋5＝8＋1，解得a4＝．

(2)证明：由4Sn＋2＋5Sn＝8Sn＋1＋Sn－1(n≥2)，

得4Sn＋2－4Sn＋1＋Sn－Sn－1＝4Sn＋1－4Sn(n≥2)，

即4an＋2＋an＝4an＋1(n≥2)．

∵4a3＋a1＝4×＋1＝6＝4a2，

∴4an＋2＋an＝4an＋1，

∴＝

＝＝

＝，

∴数列是以a2－a1＝1为首项，为公比的等比数列．

[典例引领]

1．(2017·湖南师大附中月考)已知各项不为0的等差数列{an}满足a6－a＋a8＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b2b8b11＝(

)

A．1

B．2

C．4

D．8

解析：选D

由等差数列的性质，得a6＋a8＝2a7．由a6－a＋a8＝0，可得a7＝2，所以b7＝a7＝2．由等比数列的性质得b2b8b11＝b2b7b12＝b＝23＝8．

2．若等比数列{an}的前n项和为Sn，且＝5，则＝________．

解析：设数列{an}的公比为q，

由已知得＝1＋＝5，

即1＋q2＝5，

所以q2＝4，

＝1＋＝1＋q4＝1＋16＝17．

答案：17

[由题悟法]

等比数列的性质可以分为3类

通项公式的变形

根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口

等比中项的变形

前n项和公式的变形

[即时应用]

1．等比数列{an}的各项均为正数，且a5a6＋a4a7＝18，则log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝(

)

A．5

B．9

C．log345

D．10

解析：选D

由等比数列的性质知a5a6＝a4a7，又a5a6＋a4a7＝18，所以a5a6＝9，则原式＝log3(a1a2…a10)＝log3(a5a6)5＝10．

2．(2017·长春调研)在正项等比数列{an}中，已知a1a2a3＝4，a4a5a6＝12，an－1anan＋1＝324，则n＝________．

解析：设数列{an}的公比为q，由a1a2a3＝4＝aq3与a4a5a6＝12＝aq12，可得q9＝3，an－1anan＋1＝aq3n－3＝324，因此q3n－6＝81＝34＝q36，所以3n－6＝36，即n＝14．

答案：14

一抓基础，多练小题做到眼疾手快

1．对任意等比数列{an}，下列说法一定正确的是(

)

A．a1，a3，a9成等比数列

B．a2，a3，a6成等比数列

C．a2，a4，a8成等比数列

D．a3，a6，a9成等比数列

解析：选D

由等比数列的性质得，a3·a9＝a≠0，因此a3，a6，a9一定成等比数列，选D．

2．在正项等比数列{an}中，a1＝1，前n项和为Sn，且－a3，a2，a4成等差数列，则S7的值为(

)

A．125

B．126

C．127

D．128

解析：选C

设{an}的公比为q，则2a2＝a4－a3，又a1＝1，∴2q＝q3－q2，解得q＝2或q＝－1，∵an>0，∴q>0，∴q＝2，∴S7＝＝127．

3．(2016·石家庄质检)已知数列{an}的前n项和为Sn，若Sn＝2an－4(n∈N*)，则an＝(

)

A．2n＋1

B．2n

C．2n－1

D．2n－2

解析：选A

依题意，an＋1＝Sn＋1－Sn＝2an＋1－4－(2an－4)，则an＋1＝2an，令n＝1，则S1＝2a1－4，即a1＝4，∴数列{an}是以4为首项，2为公比的等比数列，∴an＝4×2n－1＝2n＋1，故选A．

4．在等比数列{an}中，若a1·a5＝16，a4＝8，则a6＝________．

解析：由题意得，a2·a4＝a1·a5＝16，

∴a2＝2，∴q2＝＝4，∴a6＝a4q2＝32．

答案：32

5．在等比数列{an}中，an>0，a5－a1＝15，a4－a2＝6，则a3＝________．

解析：∵a5－a1＝15，a4－a2＝6．

∴(q≠1)

两式相除得＝，即2q2－5q＋2＝0，

∴q＝2或q＝，

当q＝2时，a1＝1；

当q＝时，a1＝－16(舍去)．

∴a3＝1×22＝4．

答案：4

二保高考，全练题型做到高考达标

1．已知数列{an}为等比数列，若a4＋a6＝10，则a7(a1＋2a3)＋a3a9的值为(

)

A．10

B．20

C．100

D．200

解析：选C

a7(a1＋2a3)＋a3a9＝a7a1＋2a7a3＋a3a9＝a＋2a4a6＋a＝(a4＋a6)2＝102＝100．

2．设等比数列{an}中，前n项和为Sn，已知S3＝8，S6＝7，则a7＋a8＋a9等于(

)

A．

B．－

C．

D．

解析：选A

因为a7＋a8＋a9＝S9－S6，且S3，S6－S3，S9－S6也成等比数列，即8，－1，S9－S6成等比数列，所以8(S9－S6)＝1，即S9－S6＝．所以a7＋a8＋a9＝．

3．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，则log(a5＋a7＋a9)的值是(

)

A．－5

B．－

C．5

D．

解析：选A

∵log3an＋1＝log3an＋1，∴an＋1＝3an．

∴数列{an}是以公比q＝3的等比数列．

∵a5＋a7＋a9＝q3(a2＋a4＋a6)，

∴log(a5＋a7＋a9)＝log(9×33)＝log35＝－5．

4．(2016·河北三市第二次联考)古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有女子善织，日自倍，五日织五尺，问日织几何？”意思是：“一女子善于织布，每天织的布都是前一天的2倍，已知她5天共织布5尺，问这女子每天分别织布多少？”根据上题的已知条件，若要使织布的总尺数不少于30，该女子所需的天数至少为(

)

A．7

B．8

C．9

D．10

解析：选B

设该女子第一天织布x尺，则＝5，得x＝，∴前n天所织布的尺数为(2n－1)．由(2n－1)≥30，得2n≥187，则n的最小值为8．

5．已知Sn是等比数列{an}的前n项和，若存在m∈N*，满足＝9，＝，则数列{an}的公比为(

)

A．－2

B．2

C．－3

D．3

解析：选B

设公比为q，若q＝1，则＝2，与题中条件矛盾，故q≠1．∵＝＝qm＋1＝9，∴qm＝8．

∴＝＝qm＝8＝，

∴m＝3，∴q3＝8，

∴q＝2．

6．(2015·湖南高考)设Sn为等比数列{an}的前n项和．若a1＝1，且3S1,2S2，S3成等差数列