周长的计算公式

椭圆周长怎么算？

我们知道圆的周长和直径成正比，比值为圆周率，只要知道圆的直径，很容易就能算出圆的周长。

然而，椭圆的周长却很难计算出来，因为椭圆的周长无法通过初等函数进行表示。

不过，存在一些能够比较准确地计算出椭圆周长的近似初等公式。

圆的特点是圆上的任意一点到圆心的距离都是固定的，这个距离我们称之为半径。

但椭圆没有像圆一样拥有一个始终是常数的半径，取而代之的是定义了两个参数：长轴和短轴。

长轴过椭圆的两个焦点，是椭圆上最长的弦，从中心到端点的线段被称为半长轴（用字母a表示）。

短轴垂直平分于长轴，从中心到端点的线段被称为半短轴（用字母b表示）。

对于偏心率（用字母e表示）不是特别高的椭圆，也就是说形状不是特别的椭圆，可以通过求出椭圆的平均半径来计算周长。

只要求出椭圆的平均半径，我们就可以像计算圆的周长那样来近似计算椭圆的周长：C=2πr。

由于椭圆的平均半径为：r=√[(a^2+b^2)/2]，所以椭圆的近似周长为：如果半长轴没有超过半短轴的3倍（a/b<3），则这种近似方法计算出的椭圆周长的误差小于5%。

印度数学家拉马努金提出了两个更好的椭圆周长近似初等公式：公式（3）的计算精度更高，可以用22/7来近似替代圆周率，误差小于0.05%。

此外，椭圆周长的精确公式可以用无穷级数进行表达：由于是无穷级数，我们无法算出其精确值，只能通过计算足够多的项数来提高计算精度。

总之，在计算椭圆周长时，根据所需的精度来选择相应的近似公式。

椭圆周长的计算很麻烦，有简单的近似计算公式，也有复杂但精确的采用无穷级数来定义的公式。

无论是哪种计算公式都涉及到pai，都是通过将椭圆和圆进行类比来得出的。

但是，印度数学一代怪杰，拉马努金提供了两个计算椭圆周长的高精度近似计算公式，而他发现用22/7=3.142857.来代替真实的pai值，近似的效果更好，真是一代奇才，让我们欣赏下他提供的椭圆周长计算的近似公式。

精确计算公式需要用无穷级数进行表达：但然并卵，我们没法计算这个无穷级数最终答案，也同样只能进行近似解，只不过有了这个公式，理论上我们可以无限逼近我们想要的精度，那也就够用了。

现在，让我们来思考一下椭圆，为什么圆的周长计算公式那么简单？实际上，最初人们完全是依赖经验感觉到圆的周长和直径之间的比值似乎是个不变的值——一个常数项！然后，人们就大胆的假设事实就是如此，剩下的就是如何得出这个常数来，如何让这个常数的精度计算提高。

但要想从数学上证明或者推导出圆周长计算公式需要微积分问世。

把这个方程写成参数方程然后进行积分就得到结果自然就是：C = 2π * r幸运的是，最初的猜想是正确的。

当然，为了避免循环论证，在使用三角函数的时候，要把pai和圆脱钩，不然就是循环论证了。

其实，由于圆是特殊的椭圆，即长轴和短轴相等的椭圆，因此在上述的椭圆周长精确计算公式中将此条件带入，那么圆的周长计算公式也能同样导出。