怎样用定义来验证二元函数的极限是否正确?
欲握玫瑰必承其痛
精选回答
在探究多元函数的极限之前,我们通常先研究一下二元函数的极限,然后再把这个规律推广到多元函数。其中,用定义法来验证多元函数的极限是最基本的方法,虽然以后我们还会接触更多的方法,但还是要先学会最最基本的方法,这里就以一道题目为例给大家详细诠释此方法,希望对你有所帮助。
操作方法
先看看下面这个题目,题目要求用定义来验证这个二元函数的极限为7,那我们只能用定义啦。定义是什么呢?简单的来说就是,A是一个确定实数,对任意小的正数ε,总存在某正数δ,使得属于P。空心邻域内的点P,总有/f(P)-A/<ε。我们称A为该函数的极限,就用这个方法来证明即可。
接着选取邻域,对于这到题目我们选择方形邻域而不是圆形邻域,因为圆形邻域的表达式很复杂,和二元函数的表达式不好联系。
这里不妨先令δ=1,然后根据方形邻域的形式对二元函数进行变形,具体如下。
这里需要用到三角不等式进行放缩,得到绝对值乘积式子。
继续将剩余的式子和方形邻域的表达式靠拢,化成相似的形式,结果如下。
这样再回到原来的绝对值下,很显然,7×2δ<ε,这样再取1和ε/14的最小值作为δ即可满足极限的定义。
【总结】
这个基本定义的方法可能不会作为考试的题型,但是其中的数学思维方法,作为数学系的学生是必须要掌握的为。
气贯长虹 2024-01-11 15:29:21
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