北京石景山初三上学期期末数学试题及答案

北京石景山初三上学期期末数学试题及答案本文简介：2015-2016年北京石景山初三上学期期末数学试题及答案石景山区2015—2016学年度第一学期初三期末试卷数学一、选择题（本题共30分，每小题3分）下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．1．若⊙的半径为3，圆心到直线l的距离为2，则直线l与⊙的位置关系是A．相交B．相切C．相离D．无法

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2015-2016年北京石景山初三上学期期末数学试题及答案

石景山区2015—2016学年度第一学期初三期末试卷

数

学

一、选择题（本题共30分，每小题3分）

下面各题均有四个选项，其中只有一个是符合题意的．

1．若⊙的半径为3，圆心到直线l的距离为2，则直线l与⊙的位置关系是

A．相交

B．相切

C．相离

D．无法确定

2．两个相似三角形的相似比为1:2，若较小三角形的面积为1，则较大三角形的面积为

A．

B．

C．

D．

3．德育处王主任将10份奖品分别放在10个完全相同的不透明礼盒中，准备将它们奖给小明等10位获“科技节活动先进个人”称号的同学．这些奖品中有5份是学习文具，3份是科普读物，2份是科技馆通票．小明同学从中随机取一份奖品，恰好取到科普读物的概率是

A．

B．

C．

D．

4．某校要举办国庆联欢会，主持人站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB的长为20m，C为AB的一个黄金分割点（AC

（结果精确到0.1m）

A．6.7m

B．7.6

m

C．10m

D．12.4

m

5．将抛物线向左平移1个单位后，得到的抛物线的顶点坐标是

A．

B．

C．

D．

6．二次函数的图象如图所示，则下列关系式中正确的是

A．

B．

C．

D．

7．如图，为⊙的直径，，为⊙上的两点，若，则的度数为

A．

B．

C．

D．

第7题

第8题

8．如图，菱形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，若AC=4，BD=2，则的余弦值为

A．

B．

C．

D．

9．

二次函数的部分图象如图所示，对

称轴为直线，与轴的一个交点为，与轴的

交点为，则方程的解为

A．

B．

C．，

D．，

10．如图，正方形ABCD中，AB＝4cm，点E、F同时从C点出发，以1cm/s的速度分别沿CB-BA、CD-DA运动，到点A时停止运动．设运动时间为t(s)，△AEF的面积为S(cm2)，则S(cm2)与t(s)的函数关系可用图象表示为

A

B

C

D

二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）

11．若，则锐角为____________度．

12．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B在y轴上，AB＝AO，反比例函数的图象经过点A，若△***的面积为2，则k的值为_________．

13．如果某人沿坡度的斜坡前进m，那么他所在的位置比原来的位置升高了___________m．

14．如图，折扇的骨柄的长为，扇面的宽的长为，折扇张开的角度为，则扇面的面积为______________

(用代数式表示)．

15．根据函数学习中积累的知识与经验，请你构造一个函数，使其图象与轴有交点，但与轴无交点，这个函数表达式可以为_______________________．

16．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A在y轴上，点B在x轴上，∠***=60°，若点D（1,0）且BD=2OD．把△***绕着点D逆时针旋转后，点B恰好落在初始Rt△***的边上，此时的点B记为，则点的坐标为_______．

三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）

17．计算：．

18．已知：二次函数的图象过点，．

（1）求此二次函数的表达式，并用配方法将其化为的形式；

（2）画出此函数图象的示意图．

19．《九章算术》中记载了这样一道题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现代的语言表述为：“如果为⊙的直径，弦于，寸，寸，那么直径的长为多少寸？”请你补全示意图，并求出的长．

20．中秋节来临，小红家自己制作月饼.小红做了三个月饼，1个芝麻馅，2个豆沙馅；小红的爸爸做了两个月饼，1个芝麻馅，1个豆沙馅（除馅料不同，其它都相同）.做好后他们请奶奶品尝月饼，奶奶从小红做的月饼中拿了一个，从小红爸爸做的月饼中拿了一个.请利用列表或画树状图的方法求奶奶拿到的月饼都是豆沙馅的概率.

21．如图，Rt△中，，，为上一点，且，若，求的长．

22．在平面直角坐标系xOy中，反比例函数的图象过点．

（1）

求反比例函数的表达式；

（2）@co过点的直线与反比例函数图象的另一个交点为，与轴交于点，若，求点的坐标．

四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

23．如图，为了测量某电线杆（底部可到达）的高度，准备了如下的测量工具：

①平面镜；②皮尺；③长为2米的标杆；④高为1.5m的测角仪（测量仰角、俯角的仪器），请根据你所设计的测量方案，回答下列问题：

（1）画出你的测量方案示意图，并根据你的测量方案写出你所选

用的测量工具；

（2）结合你的示意图，写出求电线杆高度的思路．

24．“母亲节”前夕，我市某校学生积极参与“关爱贫困母亲”的活动，他们购进了一批单价为20元的“孝文化衫”在课余时间进行义卖，并将所得利润捐给贫困母亲．在义卖的过程中发现“这种文化衫每天的销售件数（件）与销售单价（元）满足一次函数关系：”．如果义卖这种文化衫每天的利润为（元），那么销售单价定为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

25．如图，是⊙的直径，为⊙上一点，过点作⊙的切线，交延长线于点，连接，过点作，交的延长线于点，连接．

（1）求证：直线是⊙的切线；

（2）若，tan∠=，求的长．

26．阅读下面材料：

小天在学习锐角三角函数中遇到这样一个问题：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=22.5°，则tan22.5°=

_________．

图1

图2

小天根据学习几何的经验，先画出了几何图形（如图1），他发现22.5°不是特殊角，但它是特殊角45°的一半，若构造有特殊角的直角三角形，则可能解决这个问题.于是小天尝试着在CB边上截取CD=CA，连接AD（如图2），通过构造有特殊角（45°）的直角三角形，经过推理和计算使问题得到解决．

请回答：tan22.5°=

________________．

参考小天思考问题的方法，解决问题：

如图3，在等腰△ABC

中，AB=AC，∠A=30°，请借助△ABC，构造出15°的角，并求出该角的正切值．

图3

五、解答题（本题共22分，第27题7分，第28题7分，第29题8分）

27．在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴是直线．

（1）求抛物线的表达式；

（2）点，在抛物线上，若，请直接写出的取值范围；

（3）设点为抛物线上的一个动点，当时，点关于轴的对称点都在直线的上方，求的取值范围．

28．在正方形ABCD中，DE为正方形的外角∠ADF的角平分线，点G在线段AD上，过点G作PG⊥DE于点P，连接CP，过点D作DQ⊥PC于点Q，交射线PG于点H．

（1）如图1，若点G与点A重合.

①依题意补全图1；

②判断DH与PC的数量关系并加以证明；

（2）如图2，若点H恰好在线段AB上，正方形ABCD的边长为1，请写出求DP长的思路（可以不写出计算结果）．

图1

图2

29．在平面直角坐标系中，⊙O的半径为1，P是坐标系内任意一点，点P到⊙O的距离的定义如下：若点P与圆心O重合，则为⊙O的半径长；若点P与圆心O不重合，作射线OP交⊙O于点A，则为线段AP的长度．

图1为点P在⊙O外的情形示意图．

图1

备用图2

（1）若点，，，则___；___；___；

（2）若直线上存在点M，使得，求的取值范围；

（3）已知点，在轴上，为线段上任意一点．若线段上存在一点T，满足T在⊙O内且，直接写出满足条件的线段长度的最大值．

备用图3

石景山区2015—2016学年度第一学期初三期末试卷

数学答案及评分参考

一、

选择题（本题共10道小题，每小题3分，共30分）

题

号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答

案

A

B

D

B

A

C

C

D

C

D

二、填空题（本题共6道小题，每小题3分，共18分）

11．60；

12．2；

13．；

14．；

15．如等；

16．或（对一个给2分）．

三、解答题（本题共6道小题，每小题5分，共30分）

17.解：

=

………………………

…….4分

=.

………………………….5分

18.解：（1）将和代入二次函数表达式，得

…….1分

二次函数表达式为：

配方得：

…………………

3分

（2）图象略

………………5分

19.解:

示意图如图所示,…………………1分

连接

∵为⊙的直径，且于点，，

∴

.

………2分

∵

，

设⊙的半径为寸,则OE

为寸

…………

3分

在Rt△中，由勾股定理得

………4分

解得，

∴

直径的长为26寸.

………5分

20．解：

………………….3分

所有可能的结果：

（芝麻，芝麻），（芝麻，豆沙），（豆沙，芝麻），

（豆沙，豆沙），（豆沙，芝麻），（豆沙，豆沙）.

…

……4分

…………………….5分

21．解：过点作于点

………….1分

∵在Rt△中，，，

∴设，，

由勾股定理得

………2分

∵

∴

………

3分

∵，∴

∵Rt△中

，

∴，

勾股定理得

………

4分

∴

∴在Rt△中，由勾股定理得.….

5分

22．解：

（1）由题意:

解得

∴反比例函数的表达式为……………1分

（2）当过点A的直线过第一、二、三象限时，

分别过点作轴于点，

过点作轴于点,可得

∵且

∴,…………4分

当过点A的直线过第一、二、四象限时，

同理可求

∴点坐标为

，

…5分

四、解答题（本题共4道小题，每小题5分，共20分）

23．解：

方案一

（1）示意图如图

选用工具：测角仪、皮尺.………………2分

（2）①用测角仪测出∠ACE的角度;

②用皮尺测量DB的长;

③AE=DBtan∠ACE;

④AB=AE+1.5.……………………………5分

方案二

（1）示意图如图.

选用工具：长为2米的标杆、皮尺….2分

（2）①把2米的标杆EF如图放置;

②测出在同一时刻标杆EF和电线杆AB

的影长;

③用相似的知识利用

求出AB的值.

………………………….5分

24．解：每天获得的利润为：

……

………………………

1分

………………………………

3分

∵

∴当销售价定为28元时，每天获得的利润最大，……

4分

最大利润是192元.

.

……5分

25．（1）

证明：连结.

∵∥，∴∠2=∠3，∠1=∠4.

∵，∴∠3=∠4

.

∴∠1=∠2.

∵，∠1=∠2，，

∴△≌△∴

……….1分

∵为切线，∴⊥∴

∴.

又∵点C在圆上，∴直线是⊙的切线

…….

2分

（2）∵∠2=∠3

，tan∠=，

∴tan∠=.

∵中，∠C=90°，tan∠=，

∴可设，

，得

……

3分

由切线长定理得，

∵∥∴

.即

∴

…………4分

在Rt△ADO中由勾股定理得：

解方程得：

∴OA=3

…………5分

26．

解：

.………….

2分

解决问题：

如图过点C作CD⊥AB于点D.

………………

3分

Rt△ACD中，∠A=30°，

设CD=x,则AC=2x，AD=x.

∵AC=AB∴AB=2x，DB=(2—)x.

∴tan∠BCD

=

tan15°=

………….

5分

五、解答题（本题共3道小题，27、28每小题各7分，29题8分，共22分）

27．

解：

（1）∵抛物线的对称轴是

∴

∴

………….

……….1分

∴．

……….

……….2分

（2）或．

……….

……….4分

（3）

由题意得抛物线

关于轴对称的抛物线为.

当；

当直线经过点时，

可得

………5分

当；

当直线经过点时，

可得

……6分

综上所述，的取值范围是．

…………7分

28．

（1）①依题意补全图1

……………………….

.1分

②

DH=CP

……….……………

.2分

证明：∵DE为正方形的外角∠ADF的角平分线

∴∠1=∠2=45°

∵PG⊥DE于点P

∴∠3=45°

∴∠HAD=135°，∠PDC=135°

∴∠HAD=∠PDC

∵四边形ABCD为正方形

∴AD=CD.

∵DQ⊥PC，

∴∠ADQ+∠CDQ=90°，∠4+∠CDQ=90°.

∴∠ADQ

=∠4

∠HAD=∠PDC

，∠ADQ

=∠4，AD=CD

∴△HAD≌△PDC.

∴DH=CP…………….……………

.5分

（2）

求解思路如下：

a．与②同理可证∠HGD=∠PDC,∠ADQ

=∠4

可证△HGD∽△PDC；

b．由②可知△GPD为等腰直角三角形，

可设PD=PG=x，GD=x,AG=1-x

易证△AGH为等腰直角三角形GH=

；

c.

由△HGD∽△PDC

得

解方程求得PD的长

……….7分

29．解：

（1）；；…………………………

3分

（2）如图，

当直线与以O为圆心3为半径的圆相切于点A时，

∠OAC=90°

可求直线与x轴交于点B（0，-b），与y轴交于点C（0，b）

∴OB=OC

∴∠OCA=45°

∵AO=3，

∴OC=

………

4分

利用对称性可得的取值范围是

………6分

（3）4

……………………8分