全国高考数学复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系习题理

全国高考数学复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系习题理本文简介：第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系【选题明细表】知识点、方法题号极坐标与直角坐标的互化1直线和圆的极坐标方程及应用2简单曲线的极坐标方程及应用3,41.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设☉C的极坐标方程为ρ=2sinθ,点P为☉C上一动点,点M的极坐标为(4,),

全国高考数学复习第十二篇坐标系与参数方程第1节坐标系习题理本文内容：

第十二篇

坐标系与参数方程

第1节

坐标系

【选题明细表】

知识点、方法

题号

极坐标与直角坐标的互化

1

直线和圆的极坐标方程及应用

2

简单曲线的极坐标方程及应用

3,4

1.在直角坐标系xOy中,以O为极点,x轴非负半轴为极轴建立极坐标系,设☉C的极坐标方程为ρ=2sin

θ,点P为☉C上一动点,点M的极坐标为(4,),点Q为线段PM的中点.

(1)求点Q的轨迹C1的方程;

(2)试判定轨迹C1和☉C的位置关系,并说明理由.

解:(1)由☉C的极坐标方程为ρ=2sin

θ得ρ2=2ρsin

θ,所以☉C的直角坐标方程为x2+y2-2y=0,又点M的极坐标为(4,),所以点M的直角坐标为(0,4).

设点P(x0,y0),点Q(x,y),则有+(y0-1)2=1.(*)

因为点Q为线段PM的中点,所以

代入(*)得轨迹C1的方程为x2+(y-)2=.

(2)因为☉C的直角坐标方程为x2+(y-1)2=1,圆心为(0,1),半径为1,而轨迹C1是圆心为(0,),半径为的圆,所以两圆的圆心距为,等于两圆半径和,所以两圆外切.

2.在极坐标系中,曲线C1,C2的极坐标方程分别为ρ=-2cos

θ,ρcos(θ+)=1.

(1)求曲线C1和C2的公共点的个数;

(2)过极点作动直线与曲线C2相交于点Q,在OQ上取一点P,使|OP|·|OQ|=2,求点P的轨迹,并指出轨迹是什么图形.

解:(1)C1的直角坐标方程为(x+1)2+y2=1,它表示圆心为(-1,0),半径为1的圆,C2的直角坐标方程为x-y-2=0,所以曲线C2为直线,由于圆心到直线的距离为d==>1,所以直线与圆相离,即曲线C1和C2没有公共点.

(2)设Q(ρ0,θ0),P(ρ,θ),则

即

①

因为点Q(ρ0,θ0)在曲线C2上,所以ρ0cos(θ0+)=1,②

将①代入②,得cos(θ+)=1,即ρ=2cos(θ+)为点P的轨迹方程,化为直角坐标方程为(x-)2+(y+)2=1,因此点P的轨迹是以(,-)为圆心,1为半径的圆.

3.导学号

49612292在极坐标系中,圆C是以点C(2,-)为圆心,2为半径的圆.

(1)求圆C的极坐标方程;

(2)求圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长.

解:法一

(1)设所求圆上任意一点M(ρ,θ),如图,在Rt△OAM中,∠OMA=90°,∠AOM=2π-θ-,|OA|=4.

因为cos

∠AOM=,所以|OM|=|OA|·cos

∠AOM,即ρ=4cos(2π-θ-)=4cos(θ+),验证可知,极点O与A(4,-

)的极坐标也满足方程,故ρ=4cos

(θ+)为所求.

(2)设l:θ=-(ρ∈R)交圆C于点P,在Rt△OAP中,∠OPA=90°,易得∠AOP=,所以|OP|=|OA|cos

∠AOP=2.

法二

(1)圆C是将圆ρ=4cos

θ绕极点按顺时针方向旋转而得到的圆,所以圆C的极坐标方程是ρ=4cos(θ+).

(2)将θ=-代入圆C的极坐标方程ρ=4cos(θ+),得ρ=2,所以圆C被直线l:θ=-(ρ∈R)所截得的弦长为2.

4.已知曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,曲线C2的极坐标方程为ρ=2cos(θ-).以极点为坐标原点,极轴为x轴正半轴建立平面直角坐标系.

(1)求曲线C2的直角坐标方程;

(2)求曲线C2上的动点M到曲线C1的距离的最大值.

解:(1)依题意得ρ=2cos(θ-)=2(cos

θ+sin

θ),即ρ2=2(ρcos

θ+ρsin

θ),可得x2+y2-2x-2y=0,故C2的直角坐标方程为(x-1)2+(y-1)2=2.

(2)曲线C1的极坐标方程为ρcos(θ-)=-1,即ρ(cos

θ+sin

θ)=-1,化为直角坐标方程为x+y+2=0,由(1)知曲线C2是以(1,1)为圆心,为半径的圆,且圆心到直线C1的距离d==>r=,于是直线与圆相离,所以动点M到曲线C1的距离的最大值为.