高考数学复习阶段性测试题十二算法初步、推理与证明、复数

高考数学复习阶段性测试题十二算法初步、推理与证明、复数本文简介：阶段性测试题十二(算法初步、推理与证明、复数)本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．第Ⅰ卷(选择题共50分)一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(文)(2011·辽宁文)i为虚数

高考数学复习阶段性测试题十二算法初步、推理与证明、复数本文内容：

阶段性测试题十二(算法初步、推理与证明、复数)

本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．

满分150分．考试时间120分钟．

第Ⅰ卷(选择题

共50分)

一、选择题(本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．(文)(2011·辽宁文)i为虚数单位，＋＋＋＝(

)

A．0

B．2i

C．－2i

D．4i

[答案]

A

[解析]

本题考查了复数的定义及其运算，等比数列前n项和公式的应用，并考查了多种方法灵活处理问题的能力．

法1：∵i2＝1，∴i3＝－i，i5＝i，i7＝－i，

∴原式＝＋＋＋＝0.

法2：把原式看成是以为首项，以为公比的等比数列的前4项和即原式＝＝0.

(理)(2011·辽宁理)a为正实数，i为虚数单位，||＝2，则a＝(

)

A．2

B.

C.

D．1

[答案]

B

[解析]

本小题考查内容为复数的运算与复数的模的求法．

＝|1－ai|＝＝2，∴a＝.

2．(2011·大纲全国卷理)复数z＝1＋i，为z的共轭复数，则z－z－1＝(

)

A．－2i

B．－i

C．i

D．2i

[答案]

B

[解析]

本小题考查的内容是复数的概念与运算．

＝1－i，∴z·－z－1＝(1＋i)(1－i)－(1＋i)－1＝－i.

3．(2011·新课标理)执行下面的程序框图，如果输入的N是6，那么输出的p是(

)

A．120

B．720

C．1440

D．5040

[答案]

B

[解析]

当输入的N是6时，由于k＝1，p＝1，因此p＝p·k＝1.此时k＝1，满足k105.

此时输出k＝15.

14．(2012·咸阳调研)已知点An(n，an)为函数y＝的图像上的点，Bn(n，bn)为函数y＝x图像上的点，其中n∈N*，设cn＝an－bn，则cn与cn＋1的大小关系为________．

[答案]

cn>cn＋1

[解析]

解法1：∵an＝，bn＝n，

cn＝－n＝，随n的增大而减小，为减函数，∴cn＋11，

∴cn>cn＋1.

15．(文)(2012·唐山模拟)方程f(x)＝x的根称为f(x)的不动点，若函数f(x)＝有唯一不动点，且x1＝1007，xn＋1＝(n∈N＋)，则x2013＝________.

[答案]

2013

[解析]

由＝x，得ax2＋(2a－1)x＝0，

∵f(x)有唯一不动点，

∴2a－1＝0，即a＝，

∴f(x)＝，∴xn＋1＝＝＝xn＋.

∴x2013＝x1＋×2012＝1007＋1006＝2013.

(理)自然数按下表的规律排列

则上起第15行，左起第16列的数为________．

[答案]

240

[解析]

经观察可得这个自然数表的排列特点：

①第一列的每个数都是完全平方数，并且恰好等于它所在行数的平方，即第n行的第1个数为n2；

②第一行第n个数为(n－1)2＋1；

③第n行从第1个数至第n个数依次递减1；

④第n列从第1个数至第n个数依次递增1.

则上起第15行，左起第16列的数应为第16列的第15个数，即为[(16－1)2＋1]＋14＝152＋1＋14＝15×16＝240.

三、解答题(本大题共6个小题，共75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．(本小题满分12分)(2011·上海理)已知复数z1满足(z1－2)(1＋i)＝1－i(i为虚数单位)，复数z2的虚部为2，且z1·z2是实数，求z2.

[解析]

(z1－2)(1＋i)＝1－i?z1＝2－i

设z2＝a＋2i，a∈R，则z1z2＝(2－i)(a＋2i)＝(2a＋2)＋(4－a)i，

∵z1z2∈R，∴a＝4，∴z2＝4＋2i.

17．(本小题满分12分)(2012·合肥模拟)给出以下10个数：5,9,80,43,95,73,28,17,60,36，要求把大于40的数找出来并输出，试画出该问题的程序框图．

[分析]

题目给出了10个数字，将大于40的数找出来．解答本题先确定使用循环结构，再确定循环体．

[解析]

程序框图如图所示：

[点评]

设计程序框图，首先由题意选择合适的结构，再确定本结构需要的条件．

18．(本小题满分12分)设复数z＝lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i，当实数m取何值时．

(1)z是纯虚数．

(2)z是实数．

(3)z对应的点位于复平面的第二象限．

[解析]

(1)由题意知

解得m＝3.

所以当m＝3时，z是纯虚数．

(2)由m2＋3m＋2＝0，

得m＝－1或m＝－2，

又m＝－1或m＝－2时，m2－2m－2>0，

所以当m＝－1或m＝－2时，z是实数．

(3)由

即

解得：－1

所以当－1

19．(本小题满分12分)求证关于x的方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根的充要条件是a≤1.

[分析]

需证明充分性和必要性．证充分性时，可分a＝0，a<0和0

[证明]

充分性：当a＝0时，方程为2x＋1＝0，

其根为x＝－，方程有一个负根，符合题意．

当a0，方程ax2＋2x＋1＝0有两个不相等的实根，且<0，方程有一正一负根，符合题意．当0

方程ax2＋2x＋1＝0有实根，

且，故方程有两个负根，符合题意．

综上知：当a≤1时，方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

必要性：若方程ax2＋2x＋1＝0至少有一个负根．

当a＝0时，方程为2x＋1＝0符合题意．

当a≠0时，方程ax2＋2x＋1＝0应有一正一负或两个负根．

则<0或.解得a<0或00时，不等式成立；

当x≤0时，8x3≤0，

而(x＋1)(x2＋1)(x3＋1)

＝(x＋1)2(x2＋1)(x2－x＋1)

＝(x＋1)2(x2＋1)[(x－)2＋]≥0.

此时不等式仍然成立．

21．(本小题满分14分)(2012·贵阳一模)已知数列{an}中，Sn是它的前n项和，并且Sn＋1＝4an＋2(n＝1,2，…)，a1＝1.

(1)设bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，求证：数列{bn}是等比数列；

(2)设cn＝(n＝1,2，…)，求证：数列{cn}是等差数列；

(3)(理)求数列{an}的通项公式及前n项和公式．

[解析]

(1)证明：∵Sn＋1＝4an＋2，∴Sn＋2＝4an＋1＋2，

两式相减，得Sn＋2－Sn＋1＝4an＋1－4an(n＝1,2，…)，

即an＋2＝4an＋1－4an，

变形得an＋2－2an＋1＝2(an＋1－2an)．

∵bn＝an＋1－2an(n＝1,2，…)，∴bn＋1＝2bn.

由此可知，数列{bn}是公比为2的等比数列．

(2)证明：由S2＝a1＋a2＝4a1＋2，a1＝1，

∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3，

由(1)知bn＝3·2n－1，又cn＝.

∴cn＋1－cn＝－＝＝.

将bn＝3·2n－1代入得cn＋1－cn＝(n＝1,2，…)．

由此可知，数列{cn}是公差d＝的等差数列．

(3)解：由(2)得：c1＝＝，故cn＝n－.

∵cn＝n－＝(3n－1)，

∴an＝2n·cn＝(3n－1)·2n－2(n＝1,2，…)．

当n≥2时，Sn＝4an－1＋2＝(3n－4)·2n－1＋2.

由于S1＝a1＝1也适合于此公式，

所以{an}的前n项和公式为Sn＝(3n－4)·2n－1＋2.