湖南高考文科数学试题及答案解析word版

2013年湖南高考文科数学试题及答案解析word版本文简介：绝密★启用前2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数学（文史类）本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复

2013年湖南高考文科数学试题及答案解析word版本文内容：

绝密★启用前

2013年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）

数

学（文史类）

本试卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共5页，时量120分钟，满分150分。

一、选择题：本大题共9小题，每小题5分，共45分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.复数z=i·(1+i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于___

B

____

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

【答案】B

【解析】

z

=

i·(1+i)

=

i

–

1.所以对应点(-1,1).选B

2.“1＜x＜2”是“x＜2”成立的___

A

____

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充分必要条件

D.既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】

若“1＜x＜2”成立，则“x＜2”成立,所以“1＜x＜2”是“x＜2”的充分条件；

若“x＜2”

成立，则“1＜x＜2”不一定成立,所以“1＜x＜2”不是“x＜2”的必要条件.

综上，“1＜x＜2”是“x＜2”的充分不必要条件.

选A

3.某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件。为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n=___

D

____

A.9

B.10

C.12

D.13

【答案】D

【解析】

n

=

a

+

b

+

c=13.

选D

4.已知f（x）是奇函数，g（x）是偶函数，且f（－1）+g（1）=2，f（1）+g（－1）=4，则g（1）等于____

B

____

A.4

B.3

C.2

D.1

【答案】

B

【解析】

由题知f（－1）+g（1）=

-

f（1）+g（1）=

2,f（1）+g（－1）=

f（1）+

g（1）=

4.上式相加，解得g(1)

=

3

.

选B

5.在锐角ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b.

若2sinB=b，则角A等于____

A

____

A.

B.

C.

D.

【答案】

A

【解析】

选A

6.函数f（x）=㏑x的图像与函数g（x）=x2-4x+4的图像的交点个数为____

C

____

A.0

B.1

C.2

D.3

【答案】

C

【解析】

在同一坐标系中画出对数函数f（x）=㏑x的图像和二次函数g（x）=x2-4x+4的图像，观察可知交点个数为2个。

选C

7.已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于____

D

____

A．

B.1

C.

D.

【答案】

D

【解析】

正方体的侧视图面积为选D

8.已知a,b是单位向量，a·b=0.若向量c满足|c-a-b|=1,则|c|的最大值为____

C

____

A.

B.

C.

D.

【答案】

C

【解析】

可以这样认为：在直角坐标系中,选C

9.已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则=____

D

____

A.

B.

C.

D.

【答案】

D

【解析】

选D

二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

10.已知集合,则_____

【答案】

【解析】

.

11.在平面直角坐标系xOy中，若直线（s为参数）和直线（t为参数）平行，则常数a的值为___4___

【答案】

4

【解析】

.

12.执行如图1所示的程序框图，如果输入a=1,b=2,则输出的a的值为____9___

【答案】

4

【解析】

a

=

a

+

b

+

b

+

b……

=

1+2+2+2+2=9.

13.若变量x,y满足约束条件则x+y的最大值为___6___

【答案】

6

【解析】

14.设F1，F2是双曲线C，

(a>0,b>0)的两个焦点。若在C上存在一点P。使

PF1⊥PF2，且∠PF1F2=30°，则C的离心率为___________.

【答案】

【解析】

15.对于E={a1，a2,….a100}的子集X={a1，a2,…,an},定义X的“特征数列”

为x1,x2…,x100,其中x1=x10=…xn=1.其余项均为0，例如子集{a2，a3}的

“特征数列”为0，1，0，0，…,0

(1)

子集{a1,a3,a5}的“特征数列”的前三项和等于_____2________;

(2)

若E的子集P的“特征数列”P1，P2，…,P100

满足P1+Pi+1=1,1≤i≤99;

E

的子集Q的“特征数列”

q1，q2，q100

满足q1=1，q1+qj+1+qj+2=1，

1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为___17______.

【答案】

（1）

2

（2）

【解析】

(1)

由题知，特征数列为：1,0,1,0,1,0,0,0……0.所以前3项和

=

2。

(2)

P的“特征数列”:1,0,1,0

…

1,0.

所以P

=

.

Q的“特征数列”:1,0,0,1,0,0

…1,0,0,1.

所以Q

=

.

所以,,共有17个元素。

三、解答题；本大题共6小题，共75分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

16.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=fx=cosx.cos(x-π3)

（1）

求的值；

（2）

求使

成立的x的取值集合

【答案】

（1）

（2）

【解析】

(1)

。

（3）

由（1）知，

17.(本小题满分12分)

如图2.在直菱柱ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=2，AA1=3，D是BC的中点，点E在菱BB1上运动。

（I）

证明：AD⊥C1E；

（II）

当异面直线AC，C1E

所成的角为60°时，

求三菱子C1-A2B1E的体积

【答案】

（Ⅰ）

见下

（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)

.

.

(证毕)

（Ⅱ）.

.

18.（本小题满分12分）

某人在如图3所示的直角边长为4米的三角形地块的每个格点（指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点）处都种了一株相同品种的作物。根据历年的种植经验，一株该种作物的年收货量(单位：kg)与它的“相近”作物株数之间的关系如下表所示：

这里，两株作物“相近”是指它们之间的直线距离不超过1米。

（Ⅰ）完成下表,并求所种作物的平均年收获量;

(Ⅱ)在所种作物中随机选取一株,求它的年收获量至少为48kg的概率.

【答案】

（Ⅰ）

46

（Ⅱ）0.4

【解析】

(Ⅰ)

由图知，三角形中共有15个格点,与周围格点的距离不超过1米的格点数都是1个的格点有2个，坐标分别为(4,0),(0,4)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是2个的格点有4个，坐标分别为(0,0),(1,3),(2,2),(3,1)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是3个的格点有6个，坐标分别为(1,0),(2,0),(3,0),(0，1,),(0，2),(0，3,)。

与周围格点的距离不超过1米的格点数都是4个的格点有3个，坐标分别为(1，1),(1,2),(2,1)。如下表所示：

Y

51

48

45

42

频数

2

4

6

3

平均年收获量.

（Ⅱ）在15株中，年收获量至少为48kg的作物共有2+4=6个.

所以，15株中任选一个，它的年收获量至少为48k的概率P=.

19.（本小题满分13分）

设为数列{}的前项和，已知，2，N

（Ⅰ）求，，并求数列｛｝的通项公式；

(Ⅱ)求数列｛｝的前项和。

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)

-

（Ⅱ）

上式左右错位相减：

。

20.（本小题满分13分）

已知，分别是椭圆的左、右焦点，关于直线的对称点是圆的一条直径的两个端点。

（Ⅰ）求圆的方程；

(Ⅱ)设过点的直线被椭圆和圆所截得的弦长分别为，。当最大时，求直线的方程。

【答案】

（Ⅰ）

（Ⅱ）

【解析】

(Ⅰ)

先求圆C关于直线x

+

y

–

2

=

0对称的圆D，由题知圆D的直径为直线对称.

（Ⅱ）由(Ⅰ)知(2,0),,据题可设直线方程为:

x

=

my

+2,m∈R.

这时直线可被圆和椭圆截得2条弦，符合题意.

圆C:到直线的距离。

.

由椭圆的焦半径公式得：

.

所以当

21.（本小题满分13分

已知函数f（x）=.

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）证明：当f（x1）=f（x2）(x1≠x2)时，x1+x2＜0.

【答案】

（Ⅰ）.

（Ⅱ）见下。

【解析】

(Ⅰ)

.

所以，。

（Ⅱ）由(Ⅰ)知，只需要证明：当x>0时f(x)

<

f(-x)即可。

。

。

（证毕）

答案：

1.B

2.A

3.D

4.B

5.A

6.C

7.D

8.C

9.D

10.{6,8}

11.4

12.9

13.6

14.

15.(1)2

(2)17

16.

17.

18.

19.

20.

21.