高一下学期数学期中考试试卷

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为()

A．B．

C．D．

2．计算的值等于()

A．B．C．D．

3．已知数列成等比数列,则=()

A．B．C．D．

4．等于()

A．－1B．1C．22D．－22

5．如图,三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A，测得它们的

仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于()

A．米B．米

C．米D．200米

6．若为锐角，且满足，，则的值为()

A．B．C．D．

7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为()

A．B．C．D．

8．在中，＝(分别为角的对边)，则的形状为()

A．直角三角形B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

9．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于()

A．B．C．或D．或

10．若，且，则的值为()

A．B．C．D．

11.设等差数列满足，公差，当且仅当时，数列的前项和取得值，求该数列首项的取值范围()

A．B．C．D．

12．在锐角三角形中，,,分别是角,,的对边,,

则的取值范围为()

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数,则的值为.

14．等差数列的前项和为,若,则等于.

15．已知内角的对边分别是,若,，

则的面积为.

16．已知数列满足：,若

，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围为.

三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本题满分10分)

已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设,求数列的前项和.

18．(本题满分12分)

（1）设为锐角，且,求的值；

（2）化简求值：.

19．(本题满分12分)

已知函数

（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；

（2）已知中,角的对边分别为,若,求.

20．（本小题满分12分）

已知数列前项和

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

21．（本小题满分12分）

的内角的对边分别为,且

（1）证明：成等比数列；

（2）若角的平分线交于点,且,求.

22．（本小题满分12分）

已知数列满足，,数列满足,,对任意都有

（1）求数列、的通项公式；

（2）令.求证:.

【答案】

一．选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分.

1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.D10.A11.C12.B

12.【解析】由条件

根据余弦定理得：

是锐角，.即

又是锐角三角形，

，即

,.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.214.1815.16.

16.【解析】：由得，，易知，则，可得，则，

由得>，则恒成立，的最小值为3，

则的取值范围为.

三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本题满分10分)

解：（1）设数列公差为d,……………………………………………1分

成等比数列

…………………………………2分

∴（舍）或,…………………………………………………3分

∴………………………………………………………………………5分

（2）令

………………………………6分

………………………………7分

……………………………………8分

……………………………………9分

…………………………………10分

18．(本题满分12分)

解：（1）为锐角，………………………………1分

为锐角，………………………………2分

………………………………3分

…………………………………………4分

………………………………………………5分

……………………………………………………6分

（2）原式=………………………………………………7分

…………………………………………………8分

……………………………………………………10分

………………………………………………12分

19．(本题满分12分)

解：（1）

…………………………………………1分

=…………………………………………3分

的最小正周期……………………………4分

要使函数的单调递增

………………………………………5分

故函数的单调递增区间………………6分

（2）

…………………………………7分

………………………………………8分

………………………………………………9分

在中，由正弦定理得：

，即………………………10分

,即…………………………………12分

20．(本题满分12分)

解：（1）数列前项和为

当时,

…………………………………………………………………1分

……………………………………………………………………3分

当时,，不满足…………………4分

∴的通项公式为………………………………6分

（2）当时,=………………………8分

当时,………………………………………………9分

……………………10分

………………………………………………………………11分

……………………………………………………………………12分

21．(本题满分12分)

解：（1）因为，

所以

化简可得……………………………………………………1分

由正弦定理得，，又因a、b、c均不为0………………………………3分

故成等比数列.…………………………………………………………4分

（2）由，

得，

又因为是角平分线，所以，

即，

化简得，，

即.…………………………………………………………6分

由（1）知，，解得，……………………………………7分

再由得，（为中边上的高），

即，又因为，所以.…………………………8分

在中由余弦定理可得，，…………10分

在中由余弦定理可得，，

即，求得.……………12分

（说明：角平分线定理得到同样得分）

（2）另解：同解法一算出.

在中由余弦定理可得，，……………10分

在中由余弦定理可得，，

即，求得.……………12分(说明：本题还有其它解法，阅卷老师根据实际情况参照上述评分标准给分。)

22．(本题满分12分)

解：（1）当时，，().

()……2分

又,也满足上式，故数列的通项公式().……………………3分

由，知数列是等比数列，其首项、公比均为

∴数列的通项公式……………………………4分

（2）∵①

∴②…………………………5分

由①②,得………………6分

……………………………………………………8分

……………………………………………………9分

又,∴…………………………………………………10分

又恒正.

故是递增数列,

∴.………………………………………………………………………12分

【二】

第Ⅰ卷（选择题，共60分）

一、选择题：本大题共有12小题，每小题5分，共60分；在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。

1．数列1，－4，9，－16，25，…的一个通项公式为()

A．B．

C．D．

2．计算的值等于()

A．B．C．D．

3．已知数列成等比数列,则=()

A．B．C．D．

4．等于()

A．－1B．1C．22D．－22

5．如图,D，C,B三点在地面同一直线上,从地面上C,D两点望山顶A，测得它们的

仰角分别为45°和30°,已知CD＝200米,点C位于BD上,则山高AB等于()

A．米B．米

C．米D．200米

6．若为锐角，且满足，，则的值为()

A．B．C．D．

7．《莱茵德纸草书》是世界上最古老的数学著作之一.书中有一道这样的题目：把100个面包分给5个人，使每人所得成等差数列，且使较大的三份之和的是较小的两份之和，则最小1份为()

A．B．C．D．

8．在中，＝(分别为角的对边)，则的

形状为()

A．直角三角形B．等边三角形

C．等腰三角形或直角三角形D．等腰直角三角形

9．已知△中，,,分别是、的等差中项与等比中项，则△的面积等于()

A．B．C．或D．或

10．若，且，则的值为()

A．B．C．D．

11．设等差数列满足,公差,当且仅当时,数列的前项和取得值，求该数列首项的取值范围()

A．B．C．D．

12．在锐角三角形中,,,分别是角,,的对边,

=,则的取值范围为()

A．B．C．D．

第Ⅱ卷（非选择题，共90分）

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分。

13．已知函数,则的值为.

14．等差数列的前项和为,若,则等于.

15．已知内角的对边分别是,若,，

则的面积为.

16．已知数列满足：，若

，且数列是单调递增数列,则实数的取值范围为.

三、解答题：本大题共6小题,共70分；解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17．(本题满分10分)

已知公差不为零的等差数列中，，且成等比数列.

（1）求数列的通项公式；

（2）设,求数列的前项和.

18．(本题满分12分)

（1）设为锐角，且,求的值；

（2）化简求值：.

19．(本题满分12分)

已知函数

（1）求函数的最小正周期和函数的单调递增区间；

（2）已知中,角的对边分别为,若,求.

20．（本小题满分12分）

已知数列前项和

（1）求数列的通项公式；

（2）若，求数列的前项和.

21．（本小题满分12分）

的内角的对边分别为,且.

（1）证明：成等比数列；

（2）若角的平分线交于点,且,求.

22．（本小题满分12分）

已知数列的前n项和为,,且(),数列满足,,对任意,都有.

（1）求数列、的通项公式；

（2）令.若对任意的,不等式恒成立,试求实数λ的取值范围.

【答案】

一．选择题：本大题共有12小题,每小题5分,共60分.

1.B2.D3.A4.B5.C6.D7.C8.A9.D10.A11.C12.B

12.【解析】由条件可得，，即

根据余弦定理得：

是锐角，.即

又是锐角三角形，

，即

,

.

二、填空题：本大题共4小题，每小题5分.

13.214.1815.16.

16.【解析】：由得，，易知，则，可得，则，

由得>，则恒成立，的最小值为3，，则的取值范围为.

三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

17．(本题满分10分)

解：（1）设数列公差为d,……………………………………………………1分

成等比数列

……………………………………2分

∴（舍）或,……………………………………………………3分

∴…………………………………………………………………………5分

（2）令

……………………………………6分

……………………………………7分

…………………………………………8分

…………………………………………9分

………………………………………10分

18．(本题满分12分)

解：（1）为锐角，………………………………1分

为锐角，………………………………2分

………………………………3分

…………………………………………4分

………………………………………………5分

……………………………………………………6分

（2）原式=………………………………………………7分

…………………………………………………8分

……………………………………………………10分

………………………………………………12分

19．(本题满分12分)

解：（1）

…………………………………………1分

=…………………………………………3分

的最小正周期……………………………4分

要使函数的单调递增

………………………………………5分

故函数的单调递增区间………………6分

（2）

………………………………………………7分

……………………………………………8分

………………………………………………9分

在中，由正弦定理得：

，即…………………………………………11分

,即………………………………12分

20．(本题满分12分)

解：解：（1）数列前项和为

当时,

……………………………………………………………………1分

…………………………………………………………………………3分

当时,，不满足…………………4分

∴的通项公式为……………………………………6分

（2）当时,=……………………8分

当时,…………………………………………………9分

…10分

…………………………………………11分

…………………………………………12分

21．(本题满分12分)

解：（1）因为，

所以

化简可得……………………………………………………1分

由正弦定理得，，又因a、b、c均不为0……………………………3分

故成等比数列.…………………………………………………………4分

（2）由，

得，

又因为是角平分线，所以，即，

化简得，，即.……………………………6分

由（1）知，，解得，……………………………………7分

再由得，（为中边上的高），

即，又因为，所以.…………………………8分

在中由余弦定理可得，，…………10分

在中由余弦定理可得，，

即，求得.……………12分

（说明：角平分线定理得到同样得分）

（2）另解：同解法一算出.

在中由余弦定理可得，，……………10分

在中由余弦定理可得，，

即，求得.……………12分(说明：本题还有其它解法，阅卷老师根据实际情况参照上述评分标准给分。)

22．(本题满分12分)

解：（1），

当时，

∴，即().……………………………1分

∴()，

又,也满足上式，故数列的通项公式().…………………3分

（说明：学生由，同样得分）.

由，知数列是等比数列，其首项、公比均为，

∴数列的通项公式…………………………………………………4分

（2）∵<1>

∴<2>…………6分

由<1><2>,得……………7分

…………………………………………………8分

…………………………………………………9分

又

不等式

即，

即（）恒成立.…………………………………10分

方法一：设（），

当时，恒成立，则满足条件；

当时，由二次函数性质知不恒成立；

当时，由于对称轴,则在上单调递减，

恒成立，则满足条件，

综上所述，实数λ的取值范围是.……………………………………………12分

方法二：也即（）恒成立，

令．则

,

由，单调递增且大于0，

∴单调递增，

当时，，且，故，

∴实数λ的取值范围是……………………………………………12分